行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标 准形．
第二章 矩阵的运算
14
例如，
1 0 1 0 4
A
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4c1c2
1 0
0 c 5 4 c 1 3 c 2 3 c 3 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 4 4
0 0 0
1 0 0
x1 1
B4
对应方程组为
x2
0
x 3 0
第二章 矩阵的运算
12
矩阵B3 和B4 都称为行阶梯形 . 矩阵 特点：
（1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零；
（2）、每个台 阶 只有一行，
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
A
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
A
r42r10
r2 r1
0 0
1 1 0
3 3 0
2 2 0
4 6 2
4 10 6
第二章 矩阵的运算
17
r3 r2
3 0
r4 r3
0 0
2 1 0 0
3 3 0 0
4 2 0 0
5 4 2 0
9
4 6 0
(行阶梯形矩 阵)
2 2×1
x1
2x2 x3 x2 2x3 0
1
3 1 x2 3x3 0
1
2 (B2 )
3
第二章 矩阵的运算
2
3 2
x1
2x2 x3 x2 2x3
0
1
1 2
x3 0
3
由③得 x3 0 ,代入②,得 x2 0 ;以 x2 0 ,x3 0
代入①,得 x1 1 ,于是得方程组的解:
第二章 矩阵的运算
6
2、矩阵的初等变换
定义9 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两 i,j两 行 ,记 行 （ ri 作 rj对 ）调 ； 2以数 k0乘以某一行的 ; 所
（ i行 第 k ,记 乘 r i 作 k ）
3把某一行所有 k倍元 加素 到的 另一
对应的元素上 j行去 的 k（ 倍第 加到 i行 第上 记作 ri kjr） .
x1 x
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0
x 3 0
第二章 矩阵的运算
3
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换
（1）交换方程次序； ( i 与 j 相互替换）
（2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k 替换 i）
（3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ）
就称这两个线性方程组等价
第二章 矩阵的运算
9
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）： 2 3 4 2
B 1 2 1 1 2 2 8 2
r1 r2 r3 2
1 2 1 1
2 3 4 2 B1
1 1 4 1
第二章 矩阵的运算
10
1 2 1 1
B1 2 3 4 2
1 1 4 1
r22r1 1 2 1 1
第二章 矩阵的运算
5
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 3 4 2 B 1 2 1 1
2 2 8 2
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组（1）的增广矩阵）的变换．即
(1)交换两行; (2)某一行乘以常数k;
(3)某一行乘以常数k加到另一行.
一、矩阵的初等变换
1、引例 求解线性方程组
x21x1 2x32x2x34x312
1 2
(1)
2x1 2x2 8x3 2
3
分析：用加、减消元法解下列方程组,观察其过程．
第二章 矩阵的运算
1
解
(1)
1 2 3 2
x21x1 2x32x2x34x312 x1 x2 4x3 1
1
2 (B1 )
3
所有与矩阵 A等价的矩阵组成的一个集合， 称为一个等价类，标准形 F是这个等价类中最简 单的矩阵.
第二章 矩阵的运算
16
例2-16 利用矩阵的初等行变换,将
3 2 3 4 5 9
A
3 0
1 1
0 3
2 2
1 6
5 10
6 4 6 8 12 24
化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.
解
3 2 3 4 5 9
0 0 0
033033
F
矩阵 F称为矩 A的 阵 标.准形
第二章 矩阵的运算
15
特点：F的左上角是一阵 个， 单其 位余 矩元素 为零 .
mn矩阵 A总可经过初等标 变准 换形 化为
FEr O O Omn
此标准m 形 ,n,由 r三个数唯一确r定 就， 是其 行阶梯形矩阵的 中行 非 . 数 零行
第二章 矩阵的运算
7
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初 等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
ri rj; ri (k1)或ri k; ri( k)rj或 rikj.r
r3 r1
0 1 2 0 1 3
0 B2 0
1 2 1 1
r3 r2
0 1
2
0 B3
0 0 1 0
第二章 矩阵的运算
11
由方程组( B 3 )得到解的回代过程,也可用矩阵
的初等变换来完成,即
r31
B3
r2 2r3 r1 r3
1 0
0 1
0 0
1
0 B4
r12r2 0 0 1 0
第二章 矩阵的运算
8
如果矩A经 阵有限次初等矩 变阵 换 B，变成 就称矩A与 阵B等价，记 A~作 B．
等价关系的性质： （ 1 ） 反身 性 A A ； （ 2 ） 对 若 称 A B ,则 性 B A;
（ 3 ）若 传 A B B 递 , C 则 性 , A C. 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
第二章 矩阵的运算
13
行阶梯形矩阵 A 还称为行最简形矩阵,即非
零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列 的其他元素都是零.
对于任何A矩 mn,阵 总可经过有限次初等 变换把他变为行 和阶 行梯 最形 简 . 形
注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行 阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．
第二章 矩阵的运算
4
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) i j (B), 则(B) i j ( A); 若( A) i k (B), 则(B) i k ( A); 若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．