43xx11
x1 x2 2x3 x4 6x2 2x3 2x4 6x2 9x3 7x4
4 4 9
(1)
(2) (3)
(4)
2 1 1 1 2
方程组的增广矩阵B
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
(1) (2) x1x22x3x44(1)r1 r211214
00 0 1 4 00 0 0 0
1 0 2 0 2 1 0 0 0 0
~00
1 0
1 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 1
3 4
~00
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
第二节 矩阵的秩
在m×n阶矩阵A中，任取k行与k列(k≤m， k ≤n)，位于这些行列交叉点处的k2个元素，不 改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行 列式，称为矩阵A的k阶子式。
(3)2
~
3x1 2 2 x1 x 6 1 x 2 3x x 2 29 x3 x x3 3 7x x x4 4 4 9 2 2(((4 3 2))) r3~ 22 2 3 63 1 19 1 1 719 2 2
(2 (3 )) 2( 2()1)x1x22x3x44 (1)r2 r3 2r 2r11121 4 (4) ~ 3(1) 2 3x 3 x2 2 x 2 2 3x 3 x3 3 x3 2 4x x x4 4 4 0 3 6(((2 3 4)))r4 ~ 3r0 0 0 3 2 3 2 33 4 2 1 06 3
(3)3(2)x1x22x3x44 (1)r33r211214
(4)3
~
x2x3 2x x x4 4 4 0 6 3(((3 2 4))) r4 ~ 30 0 01 0 0 0 011 1 2 06 3
(3)2(4)x1x22x3x44 (1)r32r411214
(4) (3) ~
显然，三种初等变换都是可逆的，且其变
换是同一类型的初等变换。变换ri↔rj的逆变换 就是本身；变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ；变换
ri+krj 的逆变换为ri k rj。
如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B，
称矩阵 A与 B是等价的，记为A～B 。
矩阵的等价关系有如下性质：
☞ 反身性： A～ A
x2x3x x0 4 4 0 0 3(((3 4 2)))r4 ~r30 0 01 0 0 0 011 1 0 0 03
x (1)(2)(3) 1 x3 4 (1)r1r2r310104
(2)(3) ~
x2x3 3 (2) x43(3) 00 (4)
r2r3
~
01103 00013 00000
2 3137r4r1 1 2024
解 ： A1 3 2 22 38 7 03 420 34rrr1 1 3 ~2 3rrr2 2 20 0 0 6 8 18 1 6
1 9 7
1 12 10
r38r2 r46r2
12
0
24
12 0 24
r2~(1)0010011141r4~r30010011141
(((3 33))) ~ (( (42 2))) x1 3x x2 2 x2 2 3x x x3 3 3 3x x x x4 4 4 4 0 4 6 9((((2 1 3 4))))
r3 r3 (r2 2)1121 4 r4~ r3 0 0 13 31 11 06
00 0 39
定义：下面三种变换称为矩阵的初等行变换： 1)交换两行(记为ri↔rj);
2)以数k 0乘某一行所有元素（记作rj×k）;
3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素 上去（记作ri+krj ）
把定义中和“行”换成“列”，即得矩阵的 初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成 “c”）。
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩 阵的初等变换。
对称性： A～B ，则B ～ A
传递性： A～B， B ～ C，则A ～ C
在数学上，我们把满足上述三条性质的关 系称之为等价。
由前面的引例可以看出，同时也不难证明 对矩阵进行行的初等变换，可以把矩阵化为行 阶梯矩阵，进而可以化为行最简矩阵。
对行最简矩阵再施以列的初等变换，行最 简矩阵可变成一种形状更简单的矩阵，称它为 矩阵的标准形。矩阵标准形的特点是：其左上 角是一单位矩阵，其余元素全是零。可以证明， 任何一个m×n阶矩阵 A，都可以经过初等
矩阵的初等变换
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 矩阵的秩 §3.3 初等矩阵 §3.4 线性方程组的解
第一节
矩阵的初 等变换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的 运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理 论的探讨中都可起到非常重要的作用。 引例：用消元法解下面的线性方程组
2x1 x2 x3 x4 2
变化化为标准形F。
F
Er 0
0 0mn
此标准形由m、n、r三个数完全确定，其中
r就是行阶梯矩阵中非零行的行数，所有与A等
价的矩阵组成了一个集合，这个集合称为一个
等价类，标准形F是这个等价类中形状最简单的
矩阵。
2 3 137 例1.把矩阵A1322803204化为行阶梯阵
237 4 3 和行最简阵，并求它的标准形。
m×n阶矩阵A中的k阶子式共有 Cmk Cnk 个。
设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D， 且所有r＋1阶子式(如果存在的话)全等于0， 那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为 矩阵的秩。记作R(A)。同时规定，零矩阵的秩 等于0。
(3)给某一方程乘以常数k加到另一个方程上去。
上述的三种操作又都是可逆的，因而变换前的 方程组与变换后的方程组是同解方程组。同时 还看到，上述变换过程中实际上只对方程组的 系数和常数进行运算，这就相当于是对该方程 组所对应的增广矩阵进行了： (1)给某一行所有元素都乘以一个非零常数； (2)交换两行元素的位置； (3)给某一行所有元素乘常数 k 加到另一行的 对应元素上去。
x x1 2 xx33 4 3 令 x3c， 即 方 程 组 的 解 为 ：
x43
x1 c4 1 4
x
xxx234
cc3 3
c11
3 0
0 3
在上述过程中，对线性方程组的消元操作实
际上就是对整个线性方程组进行了三种操作:
(1)对某一方程两边同时乘以不为零的常数；
(2)交换方程组中两个方程的位置；