B 4231
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
1 1 2 1 4
B1
2 4 3
1 6
6
1 2 9
1 2
7
942
显然 交换B的第1行与第2行即得B1
2
❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
4 4 9
增广矩阵的比较
B 4231
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
B3
0 1 4 3
3 1
6 6
3 2
2 9
1 1
2 7
46 94
显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3
4
❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
与B行等价 记作 A ~r B 如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B 就称矩阵A
与B列等价 记作 A ~c B 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与B
等价 记作 A ~ B ❖等价关系的性质
(i)反身性 A~A (ii)对称性 若A~B 则B~A (iii)传递性 若A~B B~C 则A~C
1 1
4 0Βιβλιοθήκη r43r10 5 0 3
5 3 6 3 4 3
r43r2
0 0
0 0
0 2 6 0 1 3
~ ~ r3r4
r42r3
1 0
1 2 1 1
1 1
4 0
r1r2 r2r3
1 0
0 1 1 1
0 0
4 3
0 0 0 1 3
0 0 0 1 3
0 0 0 20 06
0 0 0 0 0
4 2 9
增广矩阵的比较
B 4231
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
B2
21 23
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
24 92
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2
3
❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①2②
①2②
3x2 3x3 x4 6
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7x4
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
③2
③2
2x1 x2 x3 x4 2
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
x4 x4 7 x4
❖初等变换的符号 rirj(cicj)对调i j两行(列) 换法变换 rik(cik)表示第i行(列)乘非零数k 倍法变换 ri+krj(ci+kcj)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上 消法变换 这三种变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等
变换
6
❖矩阵的等价关系 如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B 就称矩阵A
7
❖矩阵初等变换举例
2 1 1 1 2 r1r2 1 1 2 1 4
~ 1 1 2 1 4 r32 2 1 1 1 2
4 3
6 6
2 9
2 7
94
2 3 1 1 2 3 6 9 7 9
~ ~ r2r3
r32r1
1 0
1 2 2 2
1 2
4 0
r22 r35r2
1 0
1 2 1 1
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵
8
行阶梯形矩阵特点：
行最简形矩阵特点：
可画出一条阶梯线，线的下方全为0；
非零行的第一个非零元为1，且这
每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行 些非零元所在列的其它元素都为0．
数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）
后面的第一个元素为非零元，也就是非零行 的．第一个非零元
1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0
1 0 1 0 4 0 1 1 0 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0
行最简形矩阵
行阶梯形矩阵
9
❖矩阵初等变换举例
2 1 1 1 2 r1r2 1 1 2 1 4
~ 1 1 2 1 4 r32 2 1 1 1 2
4 3
6 6
2 9
2 7
94
2 3 1 1 2 3 6 9 7 9
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换完
全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上 就得到矩
阵的三种初等变换
5
❖矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换 (i)对调两行(列) (ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素 (3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运 算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨 中都可起重要的作用
1
❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上
~ ~ r2r3
r32r1
1 0
1 2 2 2
1 2
4 0
r22 r35r2
1 0
1 2 1 1
1 1
4 0
r43r1
0 5 0 3
5 3 6 3 4 3
r43r2
0 0
0 0
0 2 6 0 1 3
~ ~ r3r4
r42r3
1 0
1 2 1 1
1 1
4 0
r1r2 r2r3