第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程．
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法． 教学过程： 一、准备：
1． 已知“若12a a +∈R ，
，且121a a +=，则12
11
4a a +≥”，试请此结论推广猜想． （答案：若12n a a a +∈R ，
，，，且121n a a a +++=，则
212
111
n
n a a a +++
≥） 2．已知a b c +∈R ，
，，1a b c ++=，求证：1
119a b c
++≥． 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？ 二、讲授新课： 1． 教学例题：
①出示例1：已知a b c ，，是不全相等的正数，求证：
222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>．
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点
② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立． 框图表示：
要点：顺推证法；由因导果．
③ 练习：已知a b c ，，是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c
a b c
+-+-+-++>．
④ 例题讲解：
P37例1：△ABC 在平面α外，AB ∩α=P ，BC ∩α=Q ，AC ∩α=R ，求证：PQR 三点共线.
P37例2：在△ABC 中，设,,ABC CB a CA b S ===
△求证 P37例3：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列． 求证：△ABC 为等边三角形．
三题的共同点分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化题目中已知关系？
→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点．
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件 2． 练习：
① ,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B +，求证：60A B +=︒．（提示：算
tan()A B +）
② 已知,a b c >> 求证：
114
a b b c a c
+---≥
． 3． 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12Q Q ，，，直到最后的结论是Q ．运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题．
三、巩固练习：
1． 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=．（教材P 52 练习 1题） （两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程） 2． ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113
a b b c a b c
+=
++++． 3． 作业：
第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程． 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法． 教学过程： 一、准备：
1． 提问：基本不等式的形式？
2． 讨论：如何证明基本不等式
(00)2
a b
ab a b +>>≥，． （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
二、讲授新课： 1． 教学例题：
① 出示例4：求证3+75＜2．
讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程 （注意格式）
→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法
② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止． 框图表示：
要点：逆推证法；执果索因．
③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11
2
23
33
2
()()x y x y +>+．
先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明． ④ 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）
2． 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大．
提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2πl ，截面积为2
π2πl ⎛⎫
⎪⎝⎭
，周
长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2
2
π2π4l l ⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
3． 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知
12P P ，
，，直到所有的已知P 都成立； 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”（分析），从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已
知条件和结论的途径． （框图示意） 三、巩固练习：
1． 设a b c ，，是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：2224c a b ab --+≥．
略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 4sin ab C ab C -+≥，
即证：2cos C C -≥，cos 2C C +≤，即证：π
sin()16
C +≤（成立）． 2． 作业：。