不等式组与方程组的完
美结合
Revised at 2 pm on December 25, 2020.
不等式组与方程组的完美结合 对于不等式组的考查，往往不再是某一知识点的简单重复，而是灵活地把不等式与其他知识结合起来，下面一起赏析不等式组与方程组相结合考题.
一、根据方程组解的关系列不等式组
例1（2010年贵州黔东南州）关于x ，y 的方程组⎩
⎨⎧=++=-m y x m y x 523 的解满足x>y>0，则m 的取值范围是（ ）.
(A) m>2 (B)m>－3 (C)－3<m<2 (D)m<3或m>2
分析: 解决本题可先解方程组,然后根据x>y>0列出关于m 的不等式组,即可求到m 的范围.
解: 解方程组,得⎩
⎪⎨⎪⎧x=2m+1y=m-2 由x>y>0,得⎩⎪⎨⎪⎧2m+1>m-2 m-2>0 解这个不等式组,得m>2.
故选(A).
二、根据不等式组解的范围列方程组
例2 （2009年山东烟台）如果不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2+a ≥22x-b<3
的解集是0≤x<1,那么a+b 的值为________.
分析: 解决本题可先解不等式组,求出不等式组的解集,然后与已知的解集进行比较,列出关于a ,b 的方程组,即可求到a ,b 的值.
解: 解不等式组,得⎩
⎪⎨⎪⎧x≥4-2a
x<b+32 , 因为不等式组的解集为0≤x<1, 所以⎩⎪⎨⎪⎧4-2a =0
b+32
=1 解这个方程组,得a =2,b=－1,所以a +b=2+(－1)=2.
三、方程组与不等式组携手
例3 （2010年福州市）郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包的价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典.
（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?
（2）郑老师计划用1000元为全班40位同学没认购买一件学习用品（一个书包或一本词典）后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品，共有哪几种购买书包和词典的方案？
分析：（1）每个书包和每本词典的价格，可根据问题中的相等关系，列出方程组进行求出；（2）求共有几种方案，则需要根据“余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品”中所包含的不等关系列不等式组.
设每个书包的价格为x 元，每本词典的价格为y 元,根据题意,得
⎩⎨⎧x+y=8 3x+2y=124 解这个方程组,得⎩
⎨⎧x=28y=20 答:每个书包的的价格为28元,每本词典的价格为20元.
(2)设购买书包y 个,则购买词典(40－y)本,根据题意,得
解得10≤y≤,
因为y 为整数,所以y 的值为10或11或12.
所以有三种购买方案,分别是: ①书包10个,词典30本;②书包11个,词典29本;③书包12个,词典28本.
点击不等式（组）决策题
学习了一元一次不等式（组）以后，可以利用一元一次不等式（组）解决许多与生活密切相关的实际问题，特别是经营决策问题，下面分类举例说明，供同学们参考．
一、最优决策
例1．（2010年山西省）某服装店欲购甲、乙两种新款运动服，甲款每套进价350元，乙款每套进价200元，该店计划用不低于7600元且不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服。
(1) 该店订购这两款运动服，共有哪几种方案？
(2) 若该店以甲款每套400元，乙款每套300元的价格全部出售，哪种方案获利最
大？
分析：(1) 设该店订购甲款运动服x 套，根据资金不低于7600元且不高于8000元列不等式组求整数解.(2)根据3种方案的获利数比较确定.
[解] 设该店订购甲款运动服x 套，则订购乙款运动服(30x )套，由题意，得
(1) ⎩⎨⎧≤-+≥-+8000
)30(2003507600)30(200350x x x x ，解这个不等式组，得332x 340， ∵x 为整数，∴x 取11，12，13，∴30x 取19，18，17。
答：该店订购这两款运动服，共有3种方案。
方案一：甲款11套，乙款19套； 方案二：甲款12套，乙款18套； 方案三：甲款13套，乙款17套。
(2) 三种方案分别获利为：
方案一：(400350)11(300200)19=2450(元)。
方案二：(400350)12(300200)18=2400(元)。
方案三：(400350)13(300200)17=2350(元)。
∵2450>2400>2350，∴方案一即甲款11套，乙款19套，获利最大。
点评：
解答方案最优问题一般需构建不等式(组)或函数模型进行分类讨论.
二、方案决策
例2．（2010黑龙江哈尔滨）君实机械厂为青扬公司生产A 、B 两种产品，该机械厂由甲车间生产A 种产品，乙车间生产B 种产品，两车间同时生产．甲车间每天生
产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同．
（1）求甲车间每天生产多少件A种产品乙车间每天生产多少件B种产品
（2）君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元．现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共80件，君实机械厂
甲、乙两车间在没有库存的情况下只生产8天，若青扬公司按出厂价购买
A、B两种产品的费用超过15000元而不超过15080元．请你通过计算为青
扬公司设计购买方案．
分析：第1问较简单，可利用一元一次方程或二元一次方程组求解，第2问购买产品的费用由两部分组成，一是A种产品的费用，二是B种产品的费用，根据题意可列出不等式组，进而设计方案.
解：（1）设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产（x+2）件A种产品.
根据题意3（x+2）=4x
解得x=6
∴x+2=8
答：甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每天生产6件B种产品.
（2）设青扬公司购买B种产品m件，则购买A种产品（80－m）件，∵m为整数∴m为46或47或48或49
又∵乙车间8天生产48件∴m为46或47或48
∴有三种购买方案：购买A种产品32件，B种产品48件；购买A种产品33
件，B种产品47件；购买A种产品34件，B种产品46件.
点评：本题以产品的加工与经销问题背景，借助方程与不等式，进行方案设计，突出考查了学生综合运用方程与不等式知识解决实际问题的能力，体现了建模的数学思想.
小试牛刀：
1、（2010年福州市）郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典贵8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．
①每个书包和每本词典的价格各是多少元？
②郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品（一个书包或．一
本词典）后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案？
解：（1）设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为(8)
x-元. 根据题意得解得28
x=
∴820
x-=．
答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．
（2）设购买书包y个，则购买词典(40)y
-本. 根据题意得:
解得1012.5
y
≤≤．
因为y取整数，所以y的值为10或11或12．
所以有三种购买方案：①书包10个，词典30本；
②书包11个，词典29本；
③书包12个，词典28本．。