方程组与不等式（组）的结合
一. 由方程组构造不等式求解
例1. m 为何值时，方程组2448
x my x y +=+=⎧⎨⎩的解是（1）正数；（2）正整数。

分析：先求出方程组的解，再确定m 的取值范围。

解：（1）解方程组2448x my x y +=+=⎧⎨⎩得x m m y m =--=--8168128, 因为x y 、均为正数，所以x y >>00，
由y >0即-->128
0m ， 得m -<80，m <8 由x >0即
81680m m -->，得 8160m -<（因为m -<80）
综上所述m <2。

（2）因为y m =--128
要使y 为正整数，m -8应为-12的负因数，所以 m -=------81264321、、、、、，
所以765424、、、、、
-=m 又因为只有在m <2时，x y 、才为正数，所以m 只能取-4。

又当m =-4时，x m m =--=8168
4，所以当m =-4时，方程组有正整数解。

练习：已知，关于x y 、的方程组2246x y m x y m +=-=-⎧⎨
⎩
求当x y <3时的m 的取值范围。

二. 由不等式组构造二元一次方程组求解
例2. 不等式组237635x a b b x a -<-<⎧⎨⎩
的解集是522<<x ，求a b 、的值。

分析：首先求不等式组的解集，再根据不等式组提供的解集为522<<x 方程组，求a b 、的值。

解不等式组23716352x a b b x a -<-<⎧⎨⎩()()
不等式（1）的解集是x b a <
+732，
不等式（2）的解集是x b >
-653
所以不等式组的解集为 -+<<+563372
a b x a b 又因为不等式组的解集为522<<x ， 所以-+=+=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪5635372
22a b a b
解不等式组得a b ==⎧⎨⎩
35 练习：若不等式组x b x a +<->⎧⎨⎩
11的解集为13<<x 。

求a b 、的值。

三. 由方程组构造不等式组求解。

例3. k 为何整数时，关于x y 、的方程组372520x y k x y +=+=⎧⎨
⎩的解为非负数，求k 的值。

分析：先解方程组求x y 、的值；再根据满足条件x y ≥≥00，转化为求不等式组的解集，即求k 的取值范围。

解：解方程组372520
x y k x y +=+=⎧⎨⎩
得x k y k
=-=-⎧⎨⎩5140602
因为x y ≥≥00，
所以⎩
⎨⎧≥-≥-026001405k k 解得2830≤≤k 因为k 为整数，所以k =282930、、。

练习：求k 为何值时，方程组kx y x ky -=+=⎧⎨⎩2334的解集为x y ><⎧⎨⎩
00 四. 由方程组构造特殊不等式求解
例4. k 为何值时，方程组3133
x y k x y +=++=⎧⎨⎩满足01<+<x y 。

分析：先求出方程组的解x y 、，由于满足01<+<x y 条件得到特殊不等式。

如何解这个不等式，方程有两种（1）直接求解（2）化为不等式组求解。

解方程组311332x y k x y +=++=⎧⎨⎩
()() 由（2）得399x y += （3） 由（3）-()1得8888y k y k =-=-， 把y k =-88
代入（2）得 x y x k =-=
3338， 所以不等式组解集为x k y k ==-⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪3888 因为01<+<x y 所以03888
1<+-<k k 0388<+-<k k ，所以-<<40k。