云南师大附中2018届高三上学期12月高考适应性月考卷（五）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合5 |9xA xx-⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，集合{}|(3)(10)0B x Z x x=∈--≤，则A B=I（）A．∅B．[3,5)(9,10]U C．{}3,4,10D．R2.复数1111i izi i-+=-+-，则复数z的虚部是（）A．2-B．2i-C．2D．i3.为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（）A．各月的平均最高气温都不高于25度B．七月的平均温差比一月的平均温差小C．平均最高气温低于20度的月份有5个D．六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度4.为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有（）A．140种B．70种C．35种D．84种5.在等差数列{}na中，若59103a a a++=，则数列{}na的前15项的和为（）A．15 B．25 C．35 D．456.已知抛物线C：24y x=的焦点为F，过点F且倾斜角为3π的直线交曲线C于A，B两点，则弦AB的中点到y轴的距离为（）A．163B．133C．83D．537.若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（）A．2B．23C．3D．228.规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”．如图，若输入的891a=，则输出的n为（）A．2 B．3 C．4 D．59.已知函数||()cosxf x e x=+，若(21)()f x f x-≥，则x的取值范围为（）A．1 (,][1,)3-∞+∞UB．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．1(,]2-∞D．1[,)2+∞10.如图，函数()f x的图象为折线ABC，则不等式()xf x xe≥的解集是（）A．[]3,0-B．[]3,1-C．[]3,2-D．(,1]-∞11.已知半径为5的求O被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为3和4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为（）A．72πB．2π72π2π(7225)π(35225)π12.已知椭圆C ：22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与椭圆C 相交于点A ，B ，2l与椭圆C 相交于点C ，D ，则下列叙述不正确的是（ ） A ．存在直线1l ，2l使得||||AB CD +值为7B ．存在直线1l ，2l使得||||AB CD +值为487C ．四边形ABCD 的面积存在最大值，且最大值为6D ．四边形ABCD 的面积存在最小值，且最小值为57649第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若x ，y 满足约束条件11,11,x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩则34z x y =-的最小值为 ． 14.已知nS 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，当2n ≥时，11n n S a -+=，则8a = ．15.在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆外接圆的圆心，则AO CB ⋅=u u u r u u u r．16.在ABC ∆中，D 为AC 上一点，且2AD =，1DC =，BD 为ABC ∠的角平分线，则ABC ∆面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数2()22cos 1f x x x =++． （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域；（2）在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别是a ，b ，c ，()3f B =，2b =，a c +=，求ABC ∆的面积．18.随着我国经济的快速发展，民用汽车的保有量也迅速增长．机动车保有量的发展影响到环境质量、交通安全、道路建设等诸多方面．在我国，尤其是大中型城市，机动车已成为城市空气污染的重要来源．因此，合理预测机动车保有量是未来进行机动车污染防治规划、道路发展规划等的重要前提．从2012年到2016年，根据“云南省某市国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，该市机动车保年份2012 2013 2014 2015 2016年份代码x 1 2 3 4 5机动车保有量y（万辆）169 181 196 215 230（1）在图所给的坐标系中作出数据对应的散点图；（2）建立机动车保有量y关于年份代码x的回归方程；（3）按照当前的变化趋势，预测2017年该市机动车保有量．附注：回归直线方程$$y a bx=+$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ni iiniix y nx ybx nx==-=-∑∑$，$a y bx=-$．19.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，AB AC⊥，顶点1A在底面ABC上的射影恰为AC的中点M，2AB AC==，13AA=．（1）证明：1AB CC ⊥；（2）若点P 为11B C 的中点，求二面角1P AB A --的余弦值．20.椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，过其右焦点F 与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M ，1||2MF =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆上的动点，且点P 与点A ，B 不重合，直线PA 与直线3x =相交于点S ，直线PB 与直线3x =相交于点T ，求证：以线段ST 为直径的圆恒过定点．21.已知函数ln(1)1()x x f x e ++=．（1）求()f x 的单调区间；（2）若21ln(1)2ln(1)20x x x x x ke++++++-≤在1[,)2-+∞上恒成立，求正整数k 的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知抛物线C 的方程为28y x =，以抛物线C 的焦点F 为极点，以x 轴在点F 右侧部分为极轴建立（1）求抛物线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 是曲线C 上的两个点，若FP FQ ⊥，求11||||FP FQ +的最大值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()ln(|21||23|)f x x x =+--. （1）求不等死()0f x ≤的解集； （2）当m 取何值时，()f x m <恒成立.理科数学试卷答案 一、选择题1-5:CACBA 6-10:DBCAB 11、12：CD13.4- 14.128 15.10- 16.3 三、解答题17.解：（1）2()3sin 22cos 12f x x x =+-+Q 3sin 2cos22x x =++π=2sin 226x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，πππ7π022666x x ∴+Q ≤≤，≤≤，π12sin 226x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭≤≤，π12sin 2246x ⎛⎫∴++ ⎪⎝⎭≤≤， 所以函数()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域为[14]，． （2）由()3f B =得π2sin 2236B ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，又ππ13π2666B <+<Q，π5π266B ∴+=，π3B ∴=，由2b =及余弦定理得：2242cos60a c ac =+-︒，∴2()34a c ac +-=，又3a c b +=，代入上式解得83ac =，∴ABC △的面积1123sin sin 6022S ac B ac ==︒=． 18.解：（1）数据对应的散点图如图8所示.（2）3198.2x y ==，，515221515615.6105i ii ii x yx y bxx==-===-∑∑$，$151.4a y bx =-=$，所以回归直线方程为$15.6151.4y x =+．（3）代入2017年的年份代码6x =，得$15.66151.4245y =⨯+=，所以按照当前的变化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆．19．（1）证明：因为顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点M ， 所以1A M ABC ⊥平面，又AB ABC ⊂平面，所以1A M AB ⊥，又因为AB AC ⊥，而111A M A ACC ⊂平面，11AC A ACC ⊂平面且1A M AC M =I ， 所以AB ⊥平面11A ACC ，又因为111CC A ACC ⊂平面， 所以1AB CC ⊥．（2）解：如图9，以M 为原点，建立空间直角坐标系M xyz -，则1(000)(210)(010)(0022)M B A A --，，，，，，，，，，，， 11(2022)(010)(0222)(112)B C C P ，，，，，，，，，，，，于是1(200)(0122)AB AA ==u u u r u u u r，，，，，，求得平面1ABA 的一个法向量为(042)n =r，，，由(200)(1222)AB AP ==u u u r u u u r，，，，，，求得平面PAB 的一个法向量为(02m =u r ，，，则||cos ||||m n m n m n 〈〉===u r ru r r g u r r g ，，所以二面角1P AB A --的余弦值为．20．（1）解：c e a ==因为，又21||2b MF a ==，联立解得：21a b ==，， 所以椭圆C 的标准方程为22141x y +=．（2）证明：设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为(2)y k x =+， 联立3x =得(35)S k ，． 00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：220001(2)41x y x +=≠±，整理得：22001(4)4y x =--，故2020144y x =--，又02y k x =+，02y k x '=-(k k '，分别为直线PA ，PB 的斜率)，所以2020144y kk x '==--，所以直线PB 的方程为：1(2)4y x k =--，联立3x =得134T k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，， 所以以ST 为直径的圆的方程为：2225151(3)2828k k x y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令0y =，解得：3x =±，30⎛⎫ ⎪ ⎪21．解：（1）函数()f x 的定义域为11ln(1)1(1)()e x x x f x --++'-+∞=，，，由于1(0)01ln(1)1f y x x '==--++，在(1)-+∞，上是减函数， 所以当10x -<<时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为(10)-，，单调递减区间为(0)+∞，． （2）由21ln(1)2ln(1)2e 0x x x x x k ++++++-≤在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立， 整理得：21(2)[ln(1)1]e x x x k ++++≥在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立即可. 令211(2)[ln(1)1](2)[ln(1)1]()e e e x x xx x x x h x ++++++++==g ，当1x >-时，1e 2x x +>+，以及在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上()0h x >，得ln(1)1()e ()x h x x f x ++=<在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立， 由（1）知()f x 的单调递增区间为(10)-，，单调递减区间为(0)+∞，． 所以有max ()(0)1f x f ==，即()()1h x f x <≤恒成立， 所以正整数k 的最小值为1．22．解：（1）由抛物线的定义得：1(0)4cos ρρρθ=>+，即：4(0)1cos ρρθ=>-．（2）由（1）得：12ππ1cos 1cos 211112sin cos 24||||444FP FQ θθθθθρρ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭+=+===，当且仅当3π4θ=时等号成立，故11||||FP FQ +的最大值为24． 23．解：（1）由()0f x ≤有：ln(|21||23|)ln1x x +--≤， 所以0|21||23|1x x <+--≤，即12021231x x x ⎧-⎪⎨⎪<--+-⎩≤，≤或1322021231x x x ⎧-<<⎪⎨⎪<++-⎩，≤或32021231x x x ⎧⎪⎨⎪<+-+⎩≥，≤， 解得不等式的解集为1324x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．（2）由()f x m <恒成立得max ()f x m <即可.由（1）0|21||23|x x <+--得函数()f x 的定义域为12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，， 所以有13ln(42)22()3ln 42x x f x x ⎧⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，≥，所以max ()ln 4f x =，即ln 4m >．云南师大附中2018届高考适应性月考卷（五） 理科数学参考答案1．(5)(9)A =-∞+∞U ，，，{345678910}B =，，，，，，，，所以{3410}A B =I ，，，故选C ． 2．由221i 1i (1i)(1i)4i2i 1i 1i (1i)(1i)2z -+--+-=-===-+-+-，故选A ．3．由雷达图可知平均最高气温低于20度的月份有一月、二月、十一月、十二月共四个，故选C ．4．分两类：（1）2男1女，有2145C C 30=g 种；（2）1男2女，有1245C C 40=g 种，所以共有图 12145C C g +1245C C 70=g 种，故选B ．5．设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，由59101832133a a a a d a ++=+==，1581515S a ==，故选A ．6．由题意知过点F 的直线方程为3(1)y x =-，联立方程23(1)4y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，消去y 得：231030x x -+=.设11()A x y ，，22()B x y ，，则12103x x +=，所以弦AB 的中点的横坐标为53，故到y 轴的距离为53，故选D ．7．如图1所示三棱锥A −BCD ，三棱锥在边长为2的正方体中，可知 正方体体对角线AC 即为三棱锥最长的棱，且23AC =B ． 8．由题意知：输入的891a =，则程序运行如下： 当1n =时，981m =，189t =，792a =， 当2n =时，972m =，279t =，693a =，当3n =时，963m =，369t =，594a =， 当4n =时，954m =，459t =，495a =， 此时程序结束，输出4n =，故选C ．9．由||()e cos x f x x =+，知()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()f x 为增函数，故(21)()f x f x -≥等价于不等式|21|||x x -≥，解得x 的取值范围为1[1)3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U ，，，故选A ．10．如图2，由()e x f x x ≥，需满足函数()f x 的图象不在函数e x x 图 象的下方，令()e x g x x =，所以()(1)e x g x x '=+，则()e xg x x =在(1]-∞-，上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增，且当0x <时， ()0g x <，(0)0g =，(1)e g =，而由图可知函数图 22e2e [30]()3e 2e (02]x xf x x x ⎧+∈-⎪=⎨⎪-+∈⎩，，，，，，则(1)e f =，由题意可知，不等式的解集为[31]-，，故选B ． 11．（1）当两截面圆在球心的同侧时，如图3，则AB 为大截面圆的直径，CD 为小截面圆的直径，梯形ABDC 为圆台的轴截面，由题意知，13OO =，24OO =，则圆台的高为121O O =，2AC =面积为1(8π6π)272π2S =+=g 侧.CD（2）当两截面圆在球心的异侧时，如图4，则AB 为大截面圆的直径，为小截面圆的直径，梯形ABDC 为圆台的轴截面，由题意知，13OO =，24OO =，则圆台的高为127O O =，52AC =1(8π6π)52352π2S =+=g 侧，综上所述，故选C ．12．当直线1l ，2l 一个斜率为零一个斜率不存在时，可得AB 即为长轴，CD 为通径，则||||7AB CD +=，则A 是正确的；当直线1l ，2l 的斜率都存在时，不妨令直线1l 的斜率为(0)k k ≠，由题意知1l 的直线方程为(1)y k x =-，联立方程22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，消去y 得：2222(34)84120k x k x k +-+-=，设11()A x y ，，22()B x y ，，由韦达定理知：2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+g ，所以2212212(1)||1|34k AB k x x k +=+-=+，同理2212(1)||34k CD k +=+，特别地当21k =时，24||||7AB CD ==，即48||||7AB CD +=，则B 正确 ；由于AB CD⊥，所以||||2ABCD AB CD S =g ，又2242224212(1)12(1)122412||||123434122512k k k k AB CD k k k k ⎛⎫⎛⎫++++=== ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭g图 5图 6图7242221576121121121122512491225k k k k k ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎡⎫ ⎪-=-∈ ⎪⎪⎢++⎛⎫ ⎪⎣⎭⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，故288649ABCD S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，； 当k 不存在或0k =，6ABCDS =，故288649ABCD S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，综上所述C 选项正确，D 选项错误，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16 答案 4-12810-313．由题意可知，线性区域是如图5的阴影部分，由344z y x =-，则4z -为直线的截距，由图可知，当01x y ==，时，z 取到最 小值4-.14．由11a =，且11n n S a -+=，所以11n n S a ++=，可得：12n n a a +=，所以{}n a 是以首项为1，公比为2的等比数列，则12n n a -=，所以782128a ==.15．如图6，由O 是ABC △外接圆的圆心，取AB 的中点M ，取AC 的中点N ，连接OM ，ON ，所以AO CB AO =u u u r u u u r u u u r g g()AB AC AO AB AO AC -=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ()()AM MO AB AN NO +-+u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r g g22()()1022AB AC AC AM AB AN AC =-=-=-u u u r u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r g g ．16．如图7，由于BD 为ABC ∠的角平分线，且2AD =， 1CD =，由角平分线定理知：2AB ADBC DC ==，令BC m =， 2AB m =，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知：13m <<，在ABC △中，由余弦定理知：2224959cos 2244m m ABC m m m +-∠==-⨯⨯，所以12sin 2ABC S m m ABC m =∠=g g g △m = 3=，当且仅当2219m m -=-，即m =时取等号，所以ABC △面积的最大值为3.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()22cos 12f x x x =+-+Q 2cos22x x ++π=2sin 226x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，πππ7π022666x x ∴+Q ≤≤，≤≤，π12sin 226x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭≤≤，π12sin 2246x ⎛⎫∴++ ⎪⎝⎭≤≤，所以函数()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域为[14]，．…………………………………………（6分） （Ⅱ）由()3f B =得π2sin 2236B ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，又ππ13π2666B <+<Q，π5π266B ∴+=，π3B ∴=，由2b =及余弦定理得：2242cos60a c ac =+-︒，∴2()34a c ac +-=，又a c +=，代入上式解得83ac =，∴ABC △的面积11sin sin 6022S ac B ac ==︒．…………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）数据对应的散点图如图8所示.图8………………………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）3198.2x y ==，，515221515615.6105i ii i i x yx ybx x==-===-∑∑$，$151.4ay bx =-=$，所以回归直线方程为$15.6151.4y x =+．………………………………………………（10分）（Ⅲ）代入2017年的年份代码6x =，得$15.66151.4245y =⨯+=，所以按照当前的变化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆．…………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：因为顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点M ， 所以1A M ABC ⊥平面，又AB ABC ⊂平面，所以1A M AB ⊥，又因为AB AC ⊥，而111A M A ACC ⊂平面，11AC A ACC ⊂平面且1A M AC M =I ， 所以AB ⊥平面11A ACC ，又因为111CC A ACC ⊂平面， 所以1AB CC ⊥．…………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：如图9，以M 为原点，建立空间直角坐标系M xyz -，则1(000)(210)(010)(00M B A A --，，，，，，，，，，，，11(20(010)(02(11B C C P ，，，，，，，，，，，，[KS5UKS5U]于是1(200)(01AB AA ==u u u r u u u r，，，，，，求得平面1ABA的一个法向量为(04n =r，，，由(200)(12AB AP ==u u u r u u u r，，，，，，求得平面PAB 的一个法向量为(02m =u r ，，，则||cos ||||m n m n m n 〈〉===u r ru r r g u r r g ，，所以二面角1P AB A --的余弦值为．……………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：c e a =因为，又21||2b MF a ==，联立解得：21a b ==，， 所以椭圆C 的标准方程为22141x y +=．…………………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为(2)y k x =+， 联立3x =得(35)S k ，． 00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：220001(2)41x y x +=≠±，整理得：22001(4)4y x =--，故2020144y x =--，又02y k x =+，02y k x '=-(k k '，分别为直线PA ，PB 的斜率)，所以2020144y kk x '==--，所以直线PB 的方程为：1(2)4y x k =--，图9联立3x =得134T k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，， 所以以ST 为直径的圆的方程为：2225151(3)2828k k x y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令0y =，解得：3x =±，所以以线段ST为直径的圆恒过定点30⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．…………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为11ln(1)1(1)()e x x x f x --++'-+∞=，，，由于1(0)01ln(1)1f y x x '==--++，在(1)-+∞，上是减函数， 所以当10x -<<时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为(10)-，，单调递减区间为(0)+∞，．…………………（5分） （Ⅱ）由21ln(1)2ln(1)2e 0x x x x x k ++++++-≤在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立， 整理得：21(2)[ln(1)1]e x x x k ++++≥在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立即可. 令211(2)[ln(1)1](2)[ln(1)1]()e e e x x xx x x x h x ++++++++==g ，当1x >-时，1e 2x x +>+，以及在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上()0h x >，得ln(1)1()e ()x h x x f x ++=<在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立， 由（Ⅰ）知()f x 的单调递增区间为(10)-，，单调递减区间为(0)+∞，． 所以有max ()(0)1f x f ==，即()()1h x f x <≤恒成立，所以正整数k 的最小值为1．…………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由抛物线的定义得：1(0)4cos ρρρθ=>+，即：4(0)1cos ρρθ=>-．………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：12ππ1cos 1cos 211112sin cos 24||||444FP FQ θθθθθρρ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭+=+===24≤，当且仅当3π4θ=时等号成立，故11||||FP FQ +的最大值为．………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 解：（Ⅰ）由()0f x ≤有：ln(|21||23|)ln1x x +--≤， 所以0|21||23|1x x <+--≤，即12021231x x x ⎧-⎪⎨⎪<--+-⎩≤，≤或1322021231x x x ⎧-<<⎪⎨⎪<++-⎩，≤或32021231x x x ⎧⎪⎨⎪<+-+⎩≥，≤，解得不等式的解集为1324x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．…………………………………………………（5分）（Ⅱ）由()f x m <恒成立得max ()f x m <即可.由（Ⅰ）0|21||23|x x <+--得函数()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，， 所以有13ln(42)22()3ln 42x x f x x ⎧⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，≥，所以max ()ln 4f x =，即ln 4m >．………………………………………………………………………………（10分）图1云南师大附中2018届高考适应性月考卷（五） 理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C ACBADBCABCD【解析】1．(5)(9)A =-∞+∞U ，，，{345678910}B =，，，，，，，，所以{3410}A B =I ，，，故选C ． 2．由221i 1i (1i)(1i)4i2i 1i 1i (1i)(1i)2z -+--+-=-===-+-+-，故选A ．3．由雷达图可知平均最高气温低于20度的月份有一月、二月、十一月、十二月共四个，故选C ．4．分两类：（1）2男1女，有2145C C 30=g 种；（2）1男2女，有1245C C 40=g 种，所以共有2145C C g +1245C C 70=g 种，故选B ．5．设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，由59101832133a a a a d a ++=+==，1581515S a ==，故选A ．6．由题意知过点F 的直线方程为3(1)y x =-，联立方程23(1)4y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，消去y 得：231030x x -+=.设11()A x y ，，22()B x y ，，则12103x x +=，所以弦AB 的中点的横坐标为53，故到y 轴的距离为53，故选D ．7．如图1所示三棱锥A −BCD ，三棱锥在边长为2的正方体中，可知 正方体体对角线AC 即为三棱锥最长的棱，且23AC =B ． 8．由题意知：输入的891a =，则程序运行如下： 当1n =时，981m =，189t =，792a =， 当2n =时，972m =，279t =，693a =，当3n =时，963m =，369t =，594a =， 当4n =时，954m =，459t =，495a =， 此时程序结束，输出4n =，故选C ．图 29．由||()e cos x f x x =+，知()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()f x 为增函数，故(21)()f x f x -≥等价于不等式|21|||x x -≥，解得x 的取值范围为1[1)3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U ，，，故选A ．10．如图2，由()e x f x x ≥，需满足函数()f x 的图象不在函数e x x 图 象的下方，令()e x g x x =，所以()(1)e x g x x '=+，则()e xg x x =在(1]-∞-，上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增，且当0x <时， ()0g x <，(0)0g =，(1)e g =，而由图可知函数 2e2e [30]()3e 2e (02]x xf x x x ⎧+∈-⎪=⎨⎪-+∈⎩，，，，，，则(1)e f =，由题意可知，不等式的解集为[31]-，，故选B ． 11．（1）当两截面圆在球心的同侧时，如图3，则AB 为大截面圆的直径，CD 为小截面圆的直径，梯形ABDC 为圆台的轴截面，由题意知，13OO =，24OO =，则圆台的高为121O O =，2AC =面积为1(8π6π)272π2S =+=g 侧.CD（2）当两截面圆在球心的异侧时，如图4，则AB 为大截面圆的直径，为小截面圆的直径，梯形ABDC 为圆台的轴截面，由题意知，13OO =，24OO =，则圆台的高为127O O =，52AC =1(8π6π)52352π2S =+=g 侧，综上所述，故选C ．12．当直线1l ，2l 一个斜率为零一个斜率不存在时，可得AB 即为长轴，CD 为通径，则||||7AB CD +=，则A 是正确的；当直线1l ，2l 的斜率都存在时，不妨令直线1l 的斜率为(0)k k ≠，由题意知1l 的直线方程为(1)y k x =-，联立方程22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，消去y 得：2222(34)84120k x k x k +-+-=，设11()A x y ，，22()B x y ，，由韦达图 5定理知：2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+g ，所以2212212(1)||1|34k AB k x x k +=+-=+，同理2212(1)||34k CD k +=+，特别地当21k =时，24||||7AB CD ==，即48||||7AB CD +=，则B 正确 ；由于AB CD⊥，所以||||2ABCD AB CD S =g ，又2242224212(1)12(1)122412||||123434122512k k k k AB CD k k k k ⎛⎫⎛⎫++++=== ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭g242221576121121121122512491225k k k k k ⎛⎫⎪⎛⎫⎡⎫ ⎪-=-∈ ⎪⎪⎢++⎛⎫ ⎪⎣⎭⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，故288649ABCD S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，； 当k 不存在或0k =，6ABCDS =，故288649ABCD S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，综上所述C 选项正确，D 选项错误，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16 答案 4-12810-3【解析】13．由题意可知，线性区域是如图5的阴影部分，由344z y x =-，则4z -为直线的截距，由图可知，当01x y ==，时，z 取到最 小值4-.14．由11a =，且11n n S a -+=，所以11n n S a ++=，可得：12n n a a +=，所以{}n a 是以首项为1，公比为2的等比数列，则12n n a -=，所以782128a ==. 15．如图6，由O 是ABC △外接圆的圆心，取AB 的中点M ，取AC 的中点N ，连接OM ，ON ，所以AO CB AO =u u u r u u u r u u u rg g()AB AC AO AB AO AC -=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ()()AM MO AB AN NO +-+u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r g g图 6图722()()1022AB AC AC AM AB AN AC =-=-=-u u u r u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r g g ．16．如图7，由于BD 为ABC ∠的角平分线，且2AD =， 1CD =，由角平分线定理知：2AB ADBC DC ==，令BC m =， 2AB m =，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知：13m <<，在ABC △中，由余弦定理知：2224959cos 2244m m ABC m m m +-∠==-⨯⨯，所以212sin 1cos 2ABC S m m ABC m ABC =∠=-∠g g g △2222222225999933191(1)(9)444444442m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫-+-⎛⎫⎛⎫=------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3=，当且仅当2219m m -=-，即5m =时取等号，所以ABC △面积的最大值为3.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()322cos 12f x x x =+-+Q 3sin 2cos22x x ++π=2sin 226x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，πππ7π022666x x ∴+Q ≤≤，≤≤，π12sin 226x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭≤≤，π12sin 2246x ⎛⎫∴++ ⎪⎝⎭≤≤，所以函数()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域为[14]，．…………………………………………（6分） （Ⅱ）由()3f B =得π2sin 2236B ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，又ππ13π2666B <+<Q，π5π266B ∴+=，π3B ∴=，由2b =及余弦定理得：2242cos60a c ac =+-︒，∴2()34a c ac +-=，图8 又3a c b +=，代入上式解得83ac =，∴ABC △的面积1123sin sin 6022S ac B ac ==︒=．…………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）数据对应的散点图如图8所示.………………………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）3198.2x y ==，，515221515615.6105i ii i i x yx ybx x==-===-∑∑$，$151.4ay bx =-=$，所以回归直线方程为$15.6151.4y x =+．………………………………………………（10分）（Ⅲ）代入2017年的年份代码6x =，得$15.66151.4245y =⨯+=，所以按照当前的变化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆．…………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：因为顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点M ， 所以1A M ABC ⊥平面，又AB ABC ⊂平面，所以1A M AB ⊥，又因为AB AC ⊥，而111A M A ACC ⊂平面，11AC A ACC ⊂平面且1A M AC M =I ， 所以AB ⊥平面11A ACC ，又因为111CC A ACC ⊂平面， 所以1AB CC ⊥．…………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：如图9，以M 为原点，建立空间直角坐标系M xyz -，则1(000)(210)(010)(00M B A A --，，，，，，，，，，，，11(20(010)(02(11B C C P ，，，，，，，，，，，，于是1(200)(01AB AA ==u u u r u u u r，，，，，，求得平面1ABA的一个法向量为(04n =r，，，由(200)(12AB AP ==u u u r u u u r，，，，，，求得平面PAB 的一个法向量为(02m =u r ，，，则||cos ||||m n m n m n 〈〉===u r ru r r g u r r g ，，所以二面角1P AB A --的余弦值为．……………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：c e a =因为，又21||2b MF a ==，联立解得：21a b ==，， 所以椭圆C 的标准方程为22141x y +=．…………………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为(2)y k x =+， 联立3x =得(35)S k ，． 00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：220001(2)41x y x +=≠±，整理得：22001(4)4y x =--，故2020144y x =--，又02y k x =+，02y k x '=-(k k '，分别为直线PA ，PB 的斜率)，图9所以2020144y kk x '==--，所以直线PB 的方程为：1(2)4y x k =--，联立3x =得134T k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，， 所以以ST 为直径的圆的方程为：2225151(3)2828k k x y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令0y =，解得：3x =±，所以以线段ST为直径的圆恒过定点30⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．…………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为11ln(1)1(1)()e x x x f x --++'-+∞=，，，由于1(0)01ln(1)1f y x x '==--++，在(1)-+∞，上是减函数， 所以当10x -<<时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为(10)-，，单调递减区间为(0)+∞，．…………………（5分） （Ⅱ）由21ln(1)2ln(1)2e0x x x x x k ++++++-≤在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立，整理得：21(2)[ln(1)1]e x x x k ++++≥在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立即可. 令211(2)[ln(1)1](2)[ln(1)1]()e e e x x xx x x x h x ++++++++==g ，当1x >-时，1e 2x x +>+，以及在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上()0h x >， 得ln(1)1()e ()x h x x f x ++=<在12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立，由（Ⅰ）知()f x 的单调递增区间为(10)-，，单调递减区间为(0)+∞，．所以有max ()(0)1f x f ==，即()()1h x f x <≤恒成立，所以正整数k 的最小值为1．…………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由抛物线的定义得：1(0)4cos ρρρθ=>+，即：4(0)1cos ρρθ=>-．………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：12ππ1cos 1cos 211112sin cos 24||||444FP FQ θθθθθρρ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭+=+===24≤，当且仅当3π4θ=时等号成立，故11||||FP FQ +的最大值为．………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 解：（Ⅰ）由()0f x ≤有：ln(|21||23|)ln1x x +--≤， 所以0|21||23|1x x <+--≤，即12021231x x x ⎧-⎪⎨⎪<--+-⎩≤，≤或1322021231x x x ⎧-<<⎪⎨⎪<++-⎩，≤或32021231x x x ⎧⎪⎨⎪<+-+⎩≥，≤，解得不等式的解集为1324x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．…………………………………………………（5分）（Ⅱ）由()f x m <恒成立得max ()f x m <即可.由（Ⅰ）0|21||23|x x <+--得函数()f x 的定义域为12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，，所以有13ln(42)22()3ln42x xf xx⎧⎛⎫-<<⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎩，≥，所以max()ln4f x=，即ln4m>．………………………………………………………………………………（10分）。