四川省成都市2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 理本试卷分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分。

满分150分，考试时间120 分钟。

注意事项：1．答题前，务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分,请将答案涂在答题卷上)1、已知集合{}2|540A x N x x =∈-+≤，{}2|40B x x =-=，下列结论成立的是（ ） A ．B A ⊆ B ．A B A =UC ．A B A =ID ．{}2A B =I2、若复数z 满足20171zi i=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1i - B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3、已知()21xx f x =-，()2x g x =则下列结论正确的是（ ） A ．()()()h x f x g x =+是偶函数 B ．()()()h x f x g x =+是奇函数 C ．()()()h x f x g x =是奇函数 D ．()()()h x f x g x =是偶函数4、运行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．0 B ． 12 C. -1 D ．32-5、已知函数()()22sin ,,123f x x x ππωϕ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦的图象如图所示，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则()12f x x +的值为 （ ） A ． 3 B ．2 C. 1 D ． 0 6、设(){},|0,01A x y x m y =<<<<， s 为()e 1n+的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），n m s =,若任取(),a b A ∈，则满足1ab >的概率是( )A ．2e B ．1eC ．e 2e -D ．e 1e -7、设实数x ，y 满足约束条件3240,40,20,x y x ay x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩已知2z x y =+的最大值是7，最小值是26-，则实数a 的值为（ ） A ．6B ．6-C ．1-D ．18、 已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（ ）A ． 2B ．3 C.52 D ．729、集装箱有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖.若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（ ） A ．16625 B ．96625 C ．624625 D ．462510、设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、 ，其焦距为2c ，点,2a Q c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且1125PF PQ F F +<恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．12,52⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．12,42⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C. 12,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．22,52⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 （ ）A ．1235π B ．1243π C. 1534π D ．1615π12、已知2()(ln )f x x x a a =-+,则下列结论中错误的是（ ）A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>≥．B.000,0,()0a x f x ∃>∃>≤.C. 0,0,()0a x f x ∀>∀>≥D.000,0,()0a x f x ∃>∃>≥第Ⅱ卷二．填空题（本大题4个小题，每题5分，共20分，请把答案填在答题卷上）13、等比数列{}n a 中，1473692,18a a a a a a ++=++=，则{}n a 的前9项和9S = ． 14、 已知0>ω，在函数x y ωsin =与x y ωcos =的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为 ．15、 已知双曲线221y x m-=的左右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线交双曲线右支于,A B 两点，若1ABF ∆是以A 为直角顶点的等腰三角形，则12AF F ∆的面积为 ．16、 已知△ABC 是半径为5的圆O 的内接三角形，且4tan 3A =，若(,)AO x AB y AC x y R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则x y + 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin()2sin ()24C A B π-=-． （Ⅰ）求sin cos A B 的值； （Ⅱ）若233a b =，求B ．18、（本小题满分12分）“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30），[30,40），[40,50），[50,60），[60,70），[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图．问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在[40,70）的人数； （2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20,40）的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[30,40）的人数X 的分布列及数学期望．19、（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC =45°， AD =AC =1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO =1，M 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面ACM ；（Ⅱ）设直线AM 与平面ABCD 所成的角为α，二面角M —AC —B 的大小 为β，求sin α·cos β的值.20.如图，已知抛物线E ：2y x =与圆M ：222(4)x y r -+=（0r >）相交于A 、B 、C 、D 四个点．（Ⅰ）求r 的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 的坐标．21. 设函数()()2,1(xf x eg x kx k ==+∈R ）.（1）若直线()=y g x 和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意()0,x m ∈都有()()2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围.22.选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线l的参数方程为11x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-． （1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）已知与直线l 平行的直线l '过点()2,0M ，且与曲线C 交于,A B 两点，试求AB ．成都外国语学校2018届高二期末考试理科数学答案1-12：DAABC C DCBB DC13、1426或 14、π 15、422- 16、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-85,17.解：（Ⅰ）sin()1cos()2A B C π-=--1sin C =-1sin()A B =-+，故2sin cos 1A B =，∴1sin cos 2A B =． （Ⅱ）由正弦定理得sin 23sin 3A aB b ==， 由（Ⅰ）知2331sin cos sin cos sin 2332A B B B B ===， ∴3sin 22B =， ∴23B π=或23π， ∴6B π=或3π． 18.【解析】（1）由频率分布直方图知年龄在[40,70）的频率为（0．0200．0300．025）10 0．75，所以40名读书者中年龄分布在[40,70）的人数为400.7530．……………………2分（3）年龄在[)2030，的读书者有2人，年龄在[)3040，的读书者有4人，设年龄在[)3040，的读书者人数为X, X 的所有可能取值是0，1，2，2024261(0)=15C C P x C ⋅==，1124268(1)=15C C P x C ⋅==，022422(2)=5C C P x C ⋅==，X 的分布列如下：X 0 1 2 P11581525数学期望EX =1824(0)0+1+2=151553P x ==⋅⋅⋅.19.（1）证明：连结OM ，在△PBD 中，OM ∥PB ，OM ⊂平面ACM ，PB ⊄平面ACM ，故PB ∥平面ACM ；（4分）（2）取DO 的中点N ，连结MN ，AN ，则MN ∥PO ，∵PO ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ， 故∠MAN =α为所求的直线AM 与平面ABCD 所成的角. ∵1122MN PO ==，在Rt △ADO 中，22151(),2DO =+=152AN DO ==，在Rt △AMN 中， 22513()(),424AM =+= ∴2sin 3MN AM α==， （8分） 取AO 的中点R ，连结NR ，MR ，∵NR ∥AD ，∴NR ⊥OA ，MN ⊥平面ABCD ， 由三垂线定理知MR ⊥AO ，故∠MRN 为二面角M —AC —B 的补角，即为π-β. ∵11,,22NR MN ==∴2cos()cos πββ-==-， （11分） ∴2sin cos .αβ=-g （12分） 20.解：（Ⅰ）将抛物线E ：2y x =代入圆M ：222(4)x y r -+=（0r >）的方程， 消去2y ，整理得227160x x r -+-=，①E 与M 有四个交点的充要条件是：方程①有两个不相等的正根1x ，2x ，由此得2212212(7)4(16)0,70,160,r x x x x r ⎧∆=--->⎪+=>⎨⎪=->⎩解得215164r <<，又0r >，所以r 的取值范围为15(,4)2． （Ⅱ）设四个交点的坐标分别为11(,)A x x ，11(,)B x x -，22(,)C x x -，22(,)D x x ， 则直线AC 、BD 的方程分别为211121()x x y x x x x x ---=--，211121()x x y x x x x x ++=--，解得点P 的坐标为12(,0)x x ， 设12t x x =，由216t r =-7(0,)2t ∈．由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积 则2112211212||()||()2S x x x x x x x x =⋅⋅-=-，∴2212121212()4(2)S x x x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦，将127x x +=，12x x t =代入上式，并令2()f t S =，得232()(72)(72)82898343f t t t t t t =+-=--++（702t <<）， ∴2'()2456982(27)(67)f t t t t t =--+=-+-，令'()0f t =，得76t =，或72t =-（舍去）． 当706t <<时，'()0f t >；当76t =时，'()0f t =；当7762t <<时，'()0f t <，故当且仅当76t =时，()f t 有最大值，即四边形ABCD 的面积最大，故所求的点P 的坐标为7(,0)6．21. 解：(1)设切点的坐标为()2,tt e，由()2x f x e =得()2'2x f x e =，所以切线方程为()222t t y e e x t -=-，即()2212t t y e x t e =+-，由已知()22212t t y e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，()222,121tte k t e ∴=-=，令()()1x h x x e =-，则()'xh x xe =-，当(),0x ∈-∞时，()()'0,h x h x >单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()'0,h x h x <单调递减，()()01h x h ∴≤=.当且仅当0x =时等号成立，0,2t k ∴==.（注明：若由函数()2xf x e =与()1g x kx =+相交于点()0,1，直线()1g x kx =+和函数()2x f x e =的图象相切于()0,1，得出022k e ==，得3分）(2) ①当2k >时，由（1）结合函数的图象知，存在00x >，使得对于任意的()00,x x ∈，都有()()f x g x <，则不等式()()2f x g x x ->等价于()()2f x g x x ->，即()2210x k x e -+->，设()()()2221,'2xxt x k x e t x k x e =-+-=--，令()'0t x >得12ln22k x -<，令()'0t x <得12ln22k x ->.若()()0121224ln 0,0,ln ,,2222k k k x t x --⎛⎫<≤≤⊆+∞∴ ⎪⎝⎭Q 在()00,x 上单调递减，注意到()00t =，所以对任意的()00,x x ∈，都有()0t x <，与题设不符. 若()1212124,ln 0,0,ln ,ln ,222222k k k k t x ---⎛⎫⎛⎫>>⊆-∞∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在120,ln 22k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()00t =Q ，所以对任意的120,ln 22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0t x >，符合题设.此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意()0,x m ∈，都有()()2f x g x x ->.②当02k <≤时，由(1)结合函数的图象知()()22100,xex x -+≥>()()()()()22121220x x f x g x e kx e x k x k x -=--=-++-≥-≥Q ，对任意0x >都成立，()()2f x g x x ∴->等价于()2210x e k x -+->.设()()221x x e k x ϕ=-+-，则()()2'22x x e k ϕ=-+，由()'0x ϕ>，得()12ln 0,'022k x x ϕ+>><得()12ln ,22k x x ϕ+<∴在120,ln 22k +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，注意到()00ϕ=，所以对任意的120,ln 22k x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0x ϕ<，不符合题设.综上所述，k 的取值范围为()4,+∞.22.解析：（1）把直线l 的参数方程化为普通方程为)311y x =-+，∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴直线l 3cos sin 310ρθρθ-=，由22cos 1cos θρθ=-，可得()221cos 2cos ρθρθ-=，∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =． （2）直线l 的倾斜角为3π，∴直线l '的倾斜角也为3π，又直线l '过点()2,0M ，∴直线l '的参数方程为12232x t y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩（t '为参数），将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=，设点A B 、对应的参数分别为12,t t ''．由一元二次方程的根与系数的关系知1212164,33t t t t ''''=-+=， ∴'2'12'2'1'2'12)(t t t t t t AB -+=-==3134．。