α β a A 线、面垂直的判定与性质
一、线、面垂直的判定与性质
1.线面垂直的定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面α 互相垂直.
2.线面垂直的判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 直线与平面垂直
3.
（1）的射影所成的角（2）（3一条直线与平面所成的角的取值范围是 4.二面角相关概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作
垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. ∠AOB
即为二面角α
-AB-β的平面角
注意：二面角的平面角必须满足：
（1）角的顶点在棱上.（2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱.
二面角的取值范围 5.面面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记为β⊥α
6.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
7.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行
8.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 面面垂直⇒线面垂直
α
⊥l 记为⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫
l a l ⊥b l ⊥α⊂a α⊂b A b a = ]
90,0[0[]]
0[180,000π，或a β⊂a α⊥面⇒βα⊥
//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭a b α
a b
l a a l αβαββ⊥⎫⎪=⎪⎬⊂⎪⎪⊥⎭a α⇒⊥
二、例题解析
题型一、判断问题
例1、直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()
A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定
变式：如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；
④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直()
A．①③B．①②C．②④D．①④
例2、已知直线a∥平面α，a⊥平面β，则( )
A．α⊥βB．α∥βC．α与β不垂直D．以上都有可能
变式：下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
例3、已知b⊥平面α，a⊂α，则直线a 与直线b 的位置关系是( )
A．a∥b B．a⊥b C．直线a 与直线b 垂直相交D．直线a 与直线b 垂直且异面
变式1：下面四个命题，其中真命题的个数为( )
①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l 与平面α不垂直，则直线l 和平面α内的所有直线都不垂直；
④如果直线l 与平面α不垂直，则平面α内也可以有无数条直线与直线l 垂直．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
变式2：已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是()
①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任何一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. A．4 B．3C．2D．1
题型二：求角问题（线面角、面面角）
例1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值．
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
变式：如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5且它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，
求MC与平面ABC所成角的正弦值．
例2、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BC －A 1的平面角是( )
A ．∠ABC
B ．∠ABB 1
C ．∠ABA 1
D ．∠ABC 1
变式：如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，
P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝3，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，
求二面角P －CD －B 的大小．
题型三：证明问题
例1、如图，在三棱锥 A-BCD 中，AD ，BC ，CD 两两互相垂直，M ，N
分别为 AB ，AC 的中点．
(1)求证：BC ∥平面 MND ；
(2)求证：平面 MND ⊥平面 ACD .
变式： 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，AB=2，
,侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；
（2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.
BC A B C D P
三、巩固练习
1．在三棱锥V -ABC 中，VA ＝VC ，AB ＝BC ，则下列结论一定成立的是( )
A ．VA ⊥BC
B ．AB ⊥VC
C ．VB ⊥AC
D ．VA ⊥VB
2．若A ∈α，B ∈α，A ∈l ，B ∈l ，P ∈l ，则( )
A ．P ⊂α
B ．P α
C ．l α
D ．P ∈α
3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )
A ．异面
B ．相交
C ．平行
D ．不能确定
4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与
平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )
A.63
B.2 65
C.155
D.105
5．设x ，y ，z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：
①x ，y ，z 均为直线；②x ，y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x ，y 是平面；④x ，y ，z 均为平面．其中使“x ⊥z ，且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是( )
A ．③④
B ．①③
C ．②③
D ．①②
6．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与A 1D 所成的角等于__________．
7如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则二面角C 1-BD -C 的正切值为________．
8.如图，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，
AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图
所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22
. (1)证明：DE ∥平面BCF ；
(2)证明：CF ⊥平面ABF ；
(3)当AD ＝23
时，求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG .。