空间变化率


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练习3 质量为 m的质点在外力F的作用下沿x轴运动。 已知t = 0时质点位于原点，初速度为零。力F随距离线 性减小，x = 0处，F=F0; x=L处，F = 0。试求质点在 x=L处的速率。
1 2 解: 应用动能定理 A mv 0 2
F0 由题意 F F0 x L
光滑平面, 缓慢拉回, 则拉 力与链下垂部分重力平衡, 设下垂部分长为 x , 质 量 m x ，以向下为正：
0
F
O
0.2 l 0.8 l
x
0
mg mgl AG FG dx 2lxdx 50 l 0. mgl AF AG 50
mx G g l
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0.1
A
kxdx Mgdx 3 J
0 0.1
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0.2
3. 动能定理 由 d Ek F d r 得质点的动能定理
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A
r2
r1
Ek 2 F d r d Ek Ek 2 Ek1 Ek
Ek1
由质点系的动能
l
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0
0.8 l
解二: Ep=0
0.2 l 质心C
用保守力做功与势 能变化的关系计算
令桌面 初态: 末态:
mg mg 1 mg Ep1 hc 5 5 10 50
Ep 0
重力做功:
外力功:
mgl A Ep Ep 2 Ep1 50 mgl A A 50
因 为 A外 0 A非 保 内 A摩 A支 撑 A摩
所以 1 2 A摩 m v m gR 2 1 ( 2 62 2 9.8 4)J 42.4 J 2
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练习6 一质量为 m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动 (v ＜＜ c) ， 离开地面的高度等于地球半径的二倍 (即2R)。试以 m、R、引力恒量 G、地球质量 M 表示出：
1 2 Ek Ek i mi vi i i 2
z
r1
O
m1
m2
对于第i个质点mi , 所有外力、 x 内力共同做功，其动能定理为
r2 r c mN rN
mc
y
Ai ( Fi fi ) d ri EKi
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对于整个系统，其动能定理为
3) 保守力为其相关势能梯度的负值:
F
m θ dl
Fl
l
dA F dl Fl dl dE p dEp Fl dl
Ep 在 l 方向
保守力在 l 方向投影
F保 gradEp Ep Ep Ep Ep x i y j z k
2R
r xi yj
2 A F d r F0 x d x F0 y d y 2 F0 R
0 0
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练习2 如图 M =2kg , k =200N m , s = 0.2m , g ≈ 10ms
-1
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-2
不计轮、绳质量和摩擦, 弹簧最初为自然长度， 缓慢下拉s, 则 AF = ?
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3. 势能 势能曲线 凡保守力的功均可表示为与相互作用物体相对位置 有关的某函数在始末位置的值之差，我们将该函数定 义为此物体系的势能。
保守力 势能(Ep ) 势能零点 Ep 势能曲线
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重 力 质点mgh 刚体mghc 弹力 引力
h=0
O h Ep O Ep O x r
1 2 kx 2
注意： 1) 功是标量(代数量)
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A>0
A<0 A=0
力对物体做功
物体反抗阻力做功 力作用点无位移 力与位移相互垂直
A总=A1+A2+……
2) 功是过程量 与力作用点的位移相关 mg h
v
地面系 AG≠0 电梯系 AG = 0
与参考系的选择相关
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③ 一对作用力与反作用力做功的代数和不一定为零
解:
kx0 Mg 0 x0 0.1m
s 0.2m F 弹簧伸长 0.1 m O k 得 s 物体上升 0.1 m M x 缓慢下拉: 每时刻物体处于平衡态 kx (0 < x ≤ 0.1m) 前0.1m为变力 F= kx0 =Mg (0.1 < x ≤0.2m) 后0.1m为恒力
(1) 卫星的动能。
(2) 卫星在地球引力场中的引力势能。 (3) 卫星的总机械能。
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m
F
R OM 2R
r
解： (1)
v c,
非相对论问题
(2)
(3)
mM mM Ep G 2 dr G r 3R 3R GMm E Ek Ep 6R
约束于引力场中，未摆脱地球影响
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2. 功
力对空间累积 a
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中学知识恒力作功
F

F
A F s cos F s
s
s
b
(1) 变力的功 d 元功： A F dr F dr cos 直角坐标系：
Fds cos
ds
dr
b
r F Fxi Fy j Fz k a dr dxi dyj dzk dA F dr Fxdx Fydy Fz dz
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解: (1) 重力的功 d A重力 mgd h
A
R
B
m
O
R
B
A重 力 mg d h m gR
A
B
dh
2 9.8 4J 7.84 J
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(2) 以B点为重力势能零点，求摩 擦力的功为 由功能原理 A外 A非保内 E 得
A
m
O
R
B
F0 F0 L A F d x (F0 x ) d x 0 0 L 2 F0 L v m
L L
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练习4 均匀链 m , 长 l 置于光滑桌面上,下垂部分长 0.2 l , 施力将其缓慢拉回桌面。 用两种方法求出此过 程中外力所做的功。
解一: 用变力做功计算
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mM v2 G m 2 3R 3R 1 2 GmM Ek mv 2 6R
思考: 卫星对接问题
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设飞船 a 、b 圆轨道在同一平面内，飞船 a 要追上 b 并与之对接，能否直接加速？
b
Rb
Rc
a
c
Ra
GMm E Ek Ep 6R
加速，发动机做功，ΔE＞0,
F1外 F 2外 F21 F3外
外力：系统外的物体对系 统内任一质点的作用力。
F12
m1
F外 Fi外
i
F13
F31
m2 F23 F32
m3
质点系内质点间的内力总是成对出现，因此必有
F内 Fi内 0
i
同一力对某一系统为外力，而对另一系统则可能为 内力。
Ep 2 0
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4. 功能原理 质点系动能定理
A外 A EK 内
A外 A保内 A非保内 EK
A外 A非保内 EK Ep E
质点系外力和非保守内力做功代数和等于点系 总机械能的增量
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EP
练习5 如图所示，质量m = 2kg的物体从静止开始， 沿1/4圆弧从A滑到B，在B处速度的大小为v 6 m s 1。 已知圆的半径R = 4m, 求物体从A到B的过程中 (1) 重力对它作的功。 A O m (2) 摩擦力对它作的功。
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大学物理 练习1 一质点做圆周运动，有一力 F F0 xi yj 作 用于质点，在质点由原点至P(0,2R)点过程中，力 F 做 的功 Am
解：
.
o
F F0 xi F0 yj
r
x
0
dr dxi dyj
状态改变量 dr d Ek 动能的时间变化率 F d Ek F d r dt dt
※ 迄今，最不可思议的动能是，宇宙射线中有些质子的动能 达到 1019 eV，是其静止能量的1010倍。 过程量
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内力和外力： 内力：系统内质点间的 相互作用力。
x=0 r
mM G r
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保守力与相关势能的关系：
1) 凡保守力都有其相关势能, 势能属于物体系, 保守
力为该势能系统的内力。
2) 保守力的功等于其相关势能增量的负值
A保 = -ΔEp
物体在场中某点的势能等于将物体从该点移到零 势点过程中保守力做的功
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2. 保守力 做功与路径无关， 只与起点、终点位置有关
A F dr
a b
m
L1
b
F dr
a
b
F
L2
（路径L1）
（路径L2）
a
对沿闭合路径运动一周的物体做功为零