2013年广东省高考数学理科试题(已编辑好)绝密★启用前 试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学（理科）台体的体积公式hS S S SV )(312121++=，其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x |x 2+2x =0,x ∈R}，N={x |x 2-2x =0,x ∈R}，则N M ⋃=（ ）A ．{0}B ．{0，2}C ．{-2,0}D ．{-2,0,2} 2．定义域为R 的四个函数y =x 3，y =2x ，y =x 2+1，y =2sin x 中，奇函数的个数是（ ）A ． 4B ．3C ．2D ．13．若复数z 满足i z =2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）A ．（2,4）B ．（2,-4）C ． (4,-2)D ．(4,2)4．已知离散型随机变量X 的分布列如右表，则X 的数学期望E （X ）=（ ）A ．23B ．2C ．25D ．35．某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是（ ）A ．4B ．314C ．316D ．6X 1 2 3P 53 103 1017=_______．13．给定区域D ：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+0444x y x y x ，令点集T ={(x 0,y 0)∈D |x 0,y 0∈Z}是z =x +y在D 上取得最大值或最小值的点，则T 中的点共确定____条不同的直线．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ty tx sin 2cos 2（t 为参数），C 在点（1,1）处的切线为L ，一座标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，则L 的极坐标方程为_________________． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O上，延长BC 到D 是BC =CD ，过C 作⊙O 的切线交AD 于E ．若AB =6，ED =2，则BC =______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分12分）已知函数R x x x f ∈-=),12cos(2)(π．（1）求)6(π-f 的值；（2）若)2,23(,53cos ππθθ∈=，求)32(πθ+f ． 17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数． （1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．18．（本小题满分4分）如图5，在等腰直角三角形ABC 中，∠A =90°，BC =6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，2==BE CD ，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图6所示的四棱椎BCDE A -'，其中3='O A ． （1）证明：O A '⊥平面BCDE ； （2）求二面角B CD A --'的平面角的余弦值． 19．（本小题满分14分）设数列{}na 的前n 项和为S n ，已知*211,32312,1N n n n a n S a n n ∈---==+． （1）求2a 的值；（2）求数列{}na 的通项公式na ；（3）证明：对一切正整数n ，有471111321<++++na a a a ．20．（本小题满分14分）已知抛物线c 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线L ：x -y -2=0的距离为223．设P 为直线L 上的点，过点P 做抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． （1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （x 0，y 0）为直线L 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线L 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值． 21．（本小题满分14分）设函数)()1()(2R k kx e x x f x∈--=． （1）当k =1时，求函数)(x f 的单调区间；（2）当k ∈]121，（时，求函数)(x f 在[0,k ]上的最大值M ．2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)答案数学（理科）一、选择题1-5．DCCAB 6-8．DBB 二、填空题9．(-2,1) 10．-1 11．7 12．20 13．6 14．2)4(sin =+πθρ 15．32 三、解答题16．（1）由题意1222)4cos(2)126cos(2)6(=⨯=-=--=-ππππf（2）∵)2,23(,53cos ππθθ∈=，∴54-sin =θ．∴252453)54(2cos sin 22sin ,2571)53(21-cos 22cos 22-=⨯-⨯==-=-⨯==θθθθθ∴)4sin 2sin 4cos 2(cos 2)42cos(2)1232cos(2)32(πθπθπθππθπθ-=+=-+=+f2517)2524(2572sin 2cos )2sin 222cos 22(2=---=-=-=θθθθ．17．（1）样本均值为226302521201917=+++++=x ． （2）根据题意，抽取的6名员工中优秀员工有2人，优秀员工所占比例为3162=， 故12名员工中优秀员工人数为41231=⨯（人）． （3）记事件A 为“抽取的工人中恰有一名为优秀员工”，由于优秀员工4人，非优秀员工为8人，故事件A 发生的概率为33166684)(2121814=⨯==C C C A P ， 即抽取的工人中恰有一名为优秀员工的概率为3316． 18．（1）折叠前连接OA 交DE 于F ， ∵折叠前△ABC 为等腰直角三角形，且斜边BC =6， 所以OA ⊥BC ，OA=3，AC =BC =23又2==BE CD∴BC ∥DE ，22==AE AD ∴OA ⊥DE ，22==AE AD ∴AF =2，OF =1折叠后DE ⊥OF ，DE ⊥A ′F ，OF ∩A ′F =F ∴DE ⊥面A ′OF ，又OF A O A '⊂'面 ∴DE ⊥A ′O又A ′F =2，OF =1，A ′O =3∴△A ′OF 为直角三角形，且∠A ′OF =90° ∴A ′O ⊥OF ，又BCDE DE 面⊂，BCDE OF 面⊂，且DE ∩OF =F ， ∴A ′O ⊥面BCDE ．（2）过O 做OH ⊥交CD 的延长线于H ，连接H A '，∴OH =22AO =223，230)3()223(2222=+=+'='OH O A H A∵∠A ′HO 即为二面角B CD A --'的平面角，故cos ∠A ′HO=5153023=='H A OH ． 19．（1）令*21,32312N n n n a n Sn n∈---=+中n =1得,32131221---=a a ∴42212=+=a a（2）由*21,32312N n n n a n S n n ∈---=+；得)2)(1(612326121231++-=---=++n n n na n n n na S n n n∴)3)(2)(1(612)1(21+++-+=++n n n a n S n n两式相减得)2)(1(2122)1(121++--+=-+++n n na a n S S n n n n∴)2)(1(2122)1(121++--+=+++n n na a n a n n n∴)2)(1(212)2(2)1(12++++=+++n n a n a n n n∴11212++=+++n a n a n n ，∴11212=+-+++n a n a n n又由（1）知112,22,111221=-==a a a a∴为公差的等差数列，为首相，是以11⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n∴nn a n=．∴)(*2N n n a n∈=．（3）∵)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<n n n n n n∴)1111(21)4121(21)311(2111312111111222321+--++-+-+<++++=++++n n na a a a n47)111(2147)111211(211<++-=+--++=n n n n20．（1）依题意得0,22322>=--c c ，∴1=c ．∴抛物线焦点坐标为（0,1），抛物线解析式为x 2=4y（2）设A （x 1，421x ），B （x 2，422x ），∴可设A 、B 中点坐标为M)82(222121x x x x ++，所以直线PA ：424)(22112111x x x x x x x y -=+-=，直线PB ：424)(22222222x x x x x x x y -=+-=两式相减得)2(244202121212221x x x x x x x x x x +--=-+-=∵21x x≠，∴0221≠-x x ，0221=+-x x x∴2210x x x+=， ∴0212x x x=+将P （0x ，0x -2）带入PA ：42211x x x y -=得4422221212110x x x x x x x =-+=-∴84021-=x x x∴2428168482)(8020020212212221+-=+-=-+=+x x x x x x x x x x∴A 、B 中点坐标为M （0x ，242020+-x x ）∴直线AB 的斜率24)(4021122122x x x x x x x k AB =+=--=故直线AB 的方程为22242)(20002000+-=+-+-=x x x x x x x x y ．（3）由于A 点到焦点F 的距离等于A 点到准线y =-1的距离，∴|AF |=1421+x ，|BF |=1422+x29)23(2962142)2(14)4()14)(14(200200202022212212221+-=+-=++-+-=+++=++=⋅x x x x x x x x x x x x BF AF∴当230=x 时，BFAF ⋅取最小值29．21．（1）k =1时2)1()(x e x x f x--= ∴)2(2)1()(-=--+='xxxe x x e x e xf 当x <0时02<-xe ，故0)2()(>-='xex x f ,)(x f 单调递增；0< x <ln2时02>-xe ，故0)2()(<-='xe x xf ，)(x f 单调递减； x>ln2时02>-x e ，故0)2()(>-='xe x xf ，)(x f 单调递增； 综上，)(x f 的单调增区间为)0,(-∞和),2(ln +∞，单调减区间为)2ln ,0(．（2）)2(2)1()(k e x kx e x e x f xx x -=--+='∵121≤<k ，∴221≤<k 由（1）可知)(x f 的在（0，ln2k ）上单调递减，在（ln2k ，+∞）上单调递增设)121(，2ln )(≤<-=x x x x g 则xx x g 11221)(-=-=' ∵121≤<x ，∴211<≤x ，∴0111≤-<-x ∴x x x g 2ln )(-=在⎥⎦⎤⎝⎛121，上单调递减． ∵121≤<k ， ∴02ln 1)1()(>-=>g k g ∴02ln >-k k 即k k 2ln >∴)(x f 的在（0，ln2k ）上单调递减，在（ln2k ，k ）上单调递增．∴)(x f 的在[0，k ]上的最大值应在端点处取得． 而1)0(-=f ，1)1(2)1()(3-=<--=f k e k k f k∴当x =0时)(x f 取最大值1-．。