第一章 勾股定理单元测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列各组中，不能构成直角三角形的是 （ ）.（A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，32 （D ）9，40，41 2. 如图1，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ：BC=5：3，则AC= （ ）.（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）123. 已知：如图2，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为 （ ）. （A ）9 （B ）3 （C ）49 （D ）29 4. 如图3，在△ABC 中，AD ⊥BC 与D ，AB=17，BD=15，DC=6，则AC 的长为（ ）.（A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）85. 若三角形三边长为a 、b 、c ，且满足等式ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是（ ）.（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）直角三角形 6. 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为 （ ）.（A ）6 （B ）8.5 （C ）1320 （D ）1360 7. 高为3，底边长为8的等腰三角形腰长为 （ ）.（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）68. 一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需 （ ）. （A ）6秒 （B ）5秒 （C ）4秒 （D ）3秒9. 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b ，那么2)(b a + 的值为 （ ）.（A ）49 （B ）25 （C ）13 （D ）110. 如图5所示，在长方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且BE=12，BF=16，则由点E 到F 的最短距离为 （ ）. （A ）20 （B ）24 （C ）28 （D ）32 二、填空题（每小题3分，共30分）11. 写出两组直角三角形的三边长 .（要求都是勾股数） 12. 如图6（1）、（2）中，（1）正方形A 的面积为 . （2）斜边x= .13. 如图7，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．14. 四根小木棒的长分别为5cm ，8cm ，12cm ，13cm ，任选三根组成三角形，其中有 个直角三角形.15. 如图8，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现直角边沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为 ． 三、简答题（50分）16.（8分）如图9，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积.17.（8分）如图10，方格纸上每个小正方形的面积为1个单位.（1）在方格纸上，以线段AB为边画正方形并计算所画正方形的面积，解释你的计算方法.（2）你能在图上画出面积依次为5个单位、10个单位、13个单位的正方形吗？18.（8分）如图11，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑行爱好者从A点到E点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）19.（8分）如图12，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？20.（8分）如图13（1）所示为一个无盖的正方体纸盒，现将其展开成平面图，如图13（2）所示.已知展开图中每个正方形的边长为1.（1）求该展开图中可画出最长线段的长度，并求出这样的线段可画几条. （2）试比较立体图中∠ABC 与平面展开图中///C B A 的大小关系.21.（8分）如图14，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米.（1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？，8．现在要将绿地22.（8分）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m m扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．参考答案一、选择题1.C2.B3.C4.B5.D6.D7.C8.C9.A 10.A 二、填空题11.略 12.（1）36，（2）13 13. 2π 14. 1 15. 415 三、简答题16. 在Rt △ABC 中，AC=54322=+. 又因为22213125=+，即222CD AC AD =+.所以∠DAC=90°.所以125214321⨯⨯+⨯⨯=+=∆∆ABC Rt ACD Rt ABCD S S S 四边形=6+30=36. 17.略18. 约22米.根据半圆柱的展开图可计算得：AE=22)4(1822≈+π米. 19. 如图12，在Rt △ABC 中，根据勾股 定理可知，BC=30004000500022=-（米）. 3000÷20=150米/秒=540千米/小时. 所以飞机每小时飞行540千米. 20. （1）10；（2）4条21. （1）7米；（2）不是.设滑动后梯子的底端到墙的距离为x 米，得方程， 222)424(25--=x ，解得x=15，所以梯子向后滑动了8米.22.在Rt ABC △中，9086ACB AC BC ∠===°，，由勾股定理有：10AB =，扩充部分为Rt ACD △，扩充成等腰ABD △，应分以下三种情况：①如图1，当10AB AD ==时，可求6CD CB ==,得ABD △的周长为32m ．②如图2，当10AB BD ==时，可求4CD =,由勾股定理得：45AD =,得ABD △的周长为()2045m +．③如图3，当AB 为底时，设AD BD x ==，则6CD x =-，由勾股定理得：253x=,得ABD△的周长为80m3．备用题：1. 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么2)(ba+的值为（）.（A）1（B）12（C）13（D）252. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）.（A）532、（B）1086、（C）222543、、（D）1、2、33. 如图2，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边上的高.若AB=5cm，BC=6cm，那么AD= cm.4. 正方体的棱长为2cm，用经过A、B、C三点平面截这个正方体，所得截面的周长是cm.5. 如图4，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去ADCBAD BCAD BC图1图2 图3图1掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m 的半圆，其边缘AB=CD=20m ， 点E 在CD 上，CE=2m ，一滑行爱好者从A 点到E 点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）6. 为了打击索马里海盗，保护各国商船顺利通行，我海军某部奉命前往某海域执行保航任务.某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45°并距该岛20海里的B 处待命.位于该岛正西方向C 出的某外国商船招到海盗袭击，船长发现在其北偏东60°方向有我军护航舰（图5），便发出紧急求救信号.我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援. 该船舰需要多少分钟可以达到商船所在位置处？（结果精确到个位）答案提示：1. D2. A3. 44. 65. 约22米.根据半圆柱的展开图可计算得：AE=22)4(1822≈+π米. 6. 约38分.提示：过点A 作AM ⊥BC 于D ，根据勾股定理分别在Rt △ ABD 和 Rt △ACD 中求出BD 和CD 的长，即BD+CD 为航程.S4S3S2S1图1L321勾股定理新题型赏析一、 图形信息题例1. 在直线L 上依次摆放着七个正方形(如图1所示),已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S3、S4,则S 1+S 2+S 3+S 4= .分析: 经过观察图形,可以看出正放着正方形面积与斜放置的正方形之间关系为: S 1+S 2=1; S 2+S 3=2; S 3+S 4=3;这样数形结合可把问题解决.解: S 1代表的面积为S 1的正方形边长的平方, S 2代表的面积为S 2的正方形边长的平方,所以S 1+S 2=斜放置的正方形面积为1;同理S 3+S 4=斜放置的正方形面积为3,故S 1+S 2+S 3+S 4=1+3=4. 二、规律探究题例 2.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下表：（1）请你分别观察a 、b 、c 与n （n ＞1） 之间的关系，并分别用含n 的代数式表示a 、b 、c ：a= ，b= ，c= ； （2）猜想以a 、b 、c 为边的三角形是否 为直角三角形，并验证你的猜想. 解：（1）12-n ；2n ；12+n（2）猜想以a 、b 、c 为边的三角形是直角三角形. 验证：由于2222)1(n n +-1241224224++=++-=n n n n n ,因为,12)1(2422++=+n n n 所以图222222222121c b a n n n =++=+-，即）（）（.故以a 、b 、c 为边的三角形是直角三角形.三、开放题例3.如图2所示，是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，以线段AB （A ，B 为格点）为一条直角边任1C 意画一个Rt △ABC ，且点C 为格点，并求出以BC 为边的正方形的面积.分析：这是一道结论开放题，据题意经过分析，符合要求的点C 有多个，如图2所示，1C ，2C ，3C ，4C ，5C ，6C 都是符合要求的点.解：画出的Rt △ABC 如图2中所示，41624222+=+=BC =20，所以以BC 为边的正方形面积为20. 四、方案设计题例4. 如图3所示，MN 表示一条铁路，A,B 是两个城市，它们到铁路所在直线，它们到铁路所在直线MN 的垂直距离分别为1AA =20km ，1BB =40km ，且11B A =80km.现要在11,B A 之间设一个中转站P ，使两个城市到中转站的距离之和最短.请你设计一个方案确定P点的位置，并求出这个最短距离.分析：本题为最佳方案设计题，要寻找点P 的思路根据“两点之间线段最段”，只要将点A 移到MN 的另一侧即可，也就是A 与点'A 关于MN 对称，此时PA=P 'A ，因此PA+PB= P 'A +PB='A B ，故点P 到点A ，B 距离之和最短.解：如图3，作点A 关于MN 的对称点'A ，连接'A B ，交MN 于点P ，则点P 就是要确定的中转站的位置，最短距离即为PA+PB.过点'A 作'A 'B ⊥1BB ，交1BB 的延长线于'B 点.在Rt △'A B 'B 中，'A 'B =11B A =80km ，'BB =1BB +1'B B =1BB +'1A A =1BB +1AA =40+20=60（km ），所以2222''2'1006080=+==B A B A ，所以'A B=100km ，由点的对称性可知AP+BP= P 'A +PB='A B=100km ，所以这个最短距离为100km.。