圆锥曲线与方程（双曲线练习题）一、选择题1.已知方程22121x y k k +=--的图象是双曲线，那么 的取值范围是（ ）A .B .C .D .2.双曲线22221(00)x y a b a b->>＝，的左、右焦点分别为12F ,F ,P 是双曲线上一点，满足212|PF F F |=，直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（ ）A.54B.533.过双曲线2212y x -=的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有（ ）A .1条B .2条C .3条D .4条4.等轴双曲线222:C x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A,B 两点，AB ＝C 的实轴长等于（ ）5.已知双曲线x y m2219的一条渐近线的方程为yx 5，则双曲线的焦点到直线的距离为( ) A ．2 B . C . D . 6.若直线过点(3,0)与双曲线224936xy 只有一个公共点，则这样的直线有（ ）A .1条B .2条C .3条D .4条7.方程221()23x y k k k -∈-+R ＝表示双曲线的充要条件是（ ）A.2k >或3k <-B.3k <-C.2k >D.32k -<<二、填空题8.过原点的直线，如果它与双曲线22134y x -=相交，则直线的斜率的取值范围是 .9.设为双曲线2214x y 上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是 ．10.过双曲线22221(,0)x y a b a b 的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 .11.已知双曲线22221(00)x y a ,b a b-=>>的渐近线与圆22420x y x +-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．三、解答题（本题共3小题，共41分） 12.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在轴上,虚轴长为12，离心率为54； （2）顶点间的距离为6，渐近线方程为y x 3213.已知双曲线22221x y a b-＝(a ＞0，b ＞0)的右焦点为(0)F c,．（1）若双曲线的一条渐近线方程为y x =且2c =，求双曲线的方程；（2）以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为求双曲线的离心率．14.已知双曲线x y a b 22221a b （0,0)的离心率23e，原点O 到过点(,0),(0,)A a B b （1）求双曲线的方程；（2）已知直线5(0)y kx k 交双曲线于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值一、选择题1.C 解析：由方程的图象是双曲线知，,即2.D 解析：设1PF 与圆相切于点M ，因为212PF F F =，所以12PF F △为等腰三角形，所以1114F M PF =. 又因为在直角1F MO △中，2222211FM FO a c a =-=-，所以1114F M b PF ==.① 又12222PF PF a c a =+=+，②222c a b =+,③由①②③解得53c a =．3.C 解析：由题意知，.当只与双曲线右支相交时，的最小值是通径长，长度为，此时只有一条直线符合条件； 当与双曲线的两支都相交时，的最小值是实轴两顶点间的距离，长度为，无最大值， 结合双曲线的对称性，可得此时有2条直线符合条件. 综上可得，有3条直线符合条件.4.C 解析：设等轴双曲线C 的方程为22x y λ-=．①∵ 抛物线2162168y x p p ===，，，∴ 42p=．∴ 抛物线的准线方程为4x =-． 设等轴双曲线与抛物线的准线4x =-的两个交点为(4),(4)(0)A ,y B ,y y --->，则()2AB |y y |y =--==，∴y =．将4x =-，y =22(4)λ--=，∴ 4λ=.∴ 等轴双曲线C 的方程为224x y -=，即22144x y -＝.∴ 双曲线C 的实轴长为4．5.C 解析：双曲线2219x y m-=的一条渐近线方程为y ，即.不妨设双曲线的右焦点为,则焦点到直线l的距离为d =.6.C 解析：将双曲线化为标准方程为22194x y -=则点(3,0)为双曲线的右顶点.过点(3,0)与x 轴垂直的直线满足题意，过点(3,0)与双曲线渐近线平行的两条直线也满足题意，因此这样的直线共有3条.7.A 解析：方程221()23＝x y k k k R -∈-+表示双曲线，当且仅当(2)(3)>0k k -+，∴ 2k >或3k <-.反之，当2k >或3k <-时，双曲线方程中分母同号，方程221()23＝x y k k k R -∈-+表示双曲线.二、填空题8.3,,⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∞∞ 解析：双曲线22134y x -=的渐近线方程为y =.若直线l 与双曲线相交，则k k >< 9. 解析：设,，则00,22x y xy，即，.将代入双曲线方程，得点的轨迹方程为224414x y ，即. 10.2 解析：设双曲线的左焦点为右顶点为又因为MN 为圆的直径且点A 在圆上，所以F 为圆的圆心，且所以2b c a a =+，即22c a c a a -=+.由c e a=，得2e e - 11.(1,2] 解析：由圆22420x y x +-+=化为22(2)2x y -+=，得到圆心(20)，，半径r∵ 双曲线22221(00)x y a ,b a b -=>>的渐近线b y x a±＝与圆22420x y x +-+=有交点，∴22b a≤．∴ 12c e a ＜＝．∴ 该双曲线的离心率的取值范围是(1,2]． 三、解答题12.解：（1）焦点在轴上，设所求双曲线的标准方程为x y a b a b ()222210,0．由题意，得222212,5,4,b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩解得8,6.a b =⎧⎨=⎩所以双曲线的标准方程为2216436x y ．（2）方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的标准方程为222210,0x y a b a b->>=()由题意，得2632a b a =⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得3,9,2a b ⎧==⎪⎨⎪⎩所以焦点在轴上的双曲线的标准方程为2219814x y ．同理可求焦点在轴上的双曲线的标准方程为22194y x ． 方法二：设以32y x 为渐近线的双曲线的方程为22(0).49x y λλ当λ＞时，6，解得λ94．此时，所求的双曲线的标准方程为2219814x y ． 当λ＜时，96λ，解得λ．此时，所求的双曲线的标准方程为22194y x． 13.解：（1）∵ 双曲线22221x y a b -＝的渐近线方程为b y x a=±，∴ 若双曲线的一条渐近线方程为y x =，可得1ba=，解得a b =.∵2c ==，∴a b ==由此可得双曲线的方程为22122x y -＝.（2）设点A 的坐标为()m,n ，可得直线AO的斜率满足n k m ==m =.① ∵ 以点O 为圆心，c 为半径的圆方程为222x y c +=， ∴ 将①代入圆方程，得2223n n c +=，解得12n c =，m =.将点12A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入双曲线方程，得2222121c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-＝. 化简，得2222223144c b c a a b -=.∵ 222c a b =+，∴ 将222b c a =-代入上式，化简、整理，得42243204c c a a -+=. 两边都除以4a ，整理，得423840e e -+=，解得223e =或22e =. ∵ 双曲线的离心率1e >，∴ 该双曲线的离心率2e =(负值舍去）. 14.解：（1）因为c a ，原点O 到直线：的距离abd ca b 223， 所以1, 3.b a 故所求双曲线的方程为22 1.3x y（2）把5y kx 代入2233x y 中,消去，整理，得22(13)30780k x kx .设C x y D x y CD 1122(,),(,),的中点是00,（）E x y ，则120215213x x k x k，y kx k 00255.13BEy k x k0011，所以000,x ky k 即2215501313k kk k k++=--. 又,所以,即。