结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
y yx
x x (x, y)
y y (x, y)
xy yx xy (x, y)
x xy
y
应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
x
yx
xy
y
x
2. 平面应变问题
(1) 几何特征
无限长等直柱形体：一个 方向的尺寸比另两个方向 的尺寸大得多，且沿纵向 几何形状和尺寸不变化。
（3）若AB面为物体的边界S，则 px f x py f y
l( x )s m( yx )s fx （2-18）—— 平面问题的应力边界条件 m( y )s l( xy )s f y
2. 一点的主应力与应力主向
O
y
x
（1）主应力
若某一斜面上 N 0 ，则该斜面上的正
应力 N 称为该点一个主应力 ；
如图选取坐标系，以板的中面
为xy 平面，垂直于中面的任一直线
b
为 z 轴。由于板面上不受力，有
x
z
t
z z t 0 因板很薄，且外力
zx
2 z t
2
0
沿 z 轴方向不变。 可认为整个薄板的
zy z t 0 各点都有：
z 0
zx 0 zy 0
y
a
y
2
由剪应力互等定理，有 zx xz 0 zy yz 0
（掌握这些假定的含义及作用）
（1）两类平面问题：
平面应力问题
几何特征 受力特征 应力特征
x , y , xy yx
几何特征; 平面应变问题 受力特征;
应变特征。
x , y , xy yx
x
z
b
t
y
y
a
(
x
,
y
,
，
xy
z
0, xz
yz
0)
水
滚
坝
柱
( x , y , xy , z 0, xz yz 0)
yx
P dx x dy ds
A px
当 N 0时，有
px l
p
y
m
N p
l x m yx l m y l xy m
y
xy N
B py
N pN
px l x m yx
求解得： m x
l
yx
m yx l y
py m y l xy
N lpx mpy
第二章 平面问题的基本理论
要点 —— 建立平面问题的基本方程 包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；
变形协调方程；边界条件的描述；方程 的求解方法等
主要内容
§2-1 平面应力问题与平面应变问题 §2-2 平衡微分方程 §2-3 平面问题中一点的应力状态 §2-4 几何方程 刚体位移 §2-5 物理方程 §2-6 边界条件 §2-7 圣维南原理及其应用 §2-8 按位移求解平面问题 §2-9 按应力求解平面问题 相容方程 §2-10 常体力情况下的简化 应力函数
N
1 4
1 2
l
2
2
(
2
1)
O
2
1
P
dy
dx ds
N
y
B
显然，当
1 l 2 0(l 2
1) 2
时，τN为最大、最小值：
max 1 2
min
2
x A
N sN
由 l 1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。 2
前面内容回顾与小结：
基本假定： （1） 连续性假定； （2） 线弹性假定； （3） 均匀性假定； （4） 各向同性假定； （5）小变形假定。
(2)平面应变问题中应力分量： x , y , z , xy ( zx zy 0)
可近似为平面应变问题的例子：
—— 仅为 x y ；重力坝等。
如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力 问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
两类平面问题：
2
(
x
y
)
(
x
y
2 xy
)
0
N lpy mpx
1 x y
2
2
x
2
y
2
2 xy
（2-7）
—— 平面应力状态主应力的计算公式
由式（2-7）易得：
I 1 2 x y —— 平面应力状态应力第一不变量
（2）应力主向
主应力 所在的平面 —— 称为主平面；
m yx l y
1 x y
2
2
x
2
y
2
2 xy
（2-7）
tan 1
1 xy
x
tan 2
xy 2 y
（2-8） 表明：σ1 与 σ2 互相垂直。
max 1 2
min
2
τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。
PA的正应变：
O
x
dx
u x
PB的正应变：
dx
sec
dx
主应力 所在平面的法线方向 —— 称为应力主向；
设σ1 与 x 轴的夹角为α1， σ1与坐标轴正向的 方向余弦为 l1、m1，则
m x
l
yx
tan
1
sin 1 cos1
cos(90 1) cos1
m1 l1
1 x xy
(或 xy ) 1 y
设σ2 与 x 轴的夹角为α2， σ2与坐标轴正向的方向余弦为 l2、
水坝
滚柱
(2) 外力特征
外力（体力、面力）方向平行于横截
面，大小沿纵向长度不变化，且面力只作
用于柱体的侧面。
(3) 变形特征
厚壁圆筒
如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。
设 z方向为无限长，则任一横截面均为对称面，u, x ,L x ,L
沿 z方向都不变化，仅为 x，y 的函数。
ydx 1 ( xy
xy
x
dy)dx 1
xydy 1 f ydx dy 1 0
两边同除以dx dy，并整理得：
y
y
xy
x
fy
0
x
平面问题的平衡微分方程：
O
x
x
yx
y
fx
0
xy
x
y
y
fy
0
（2-2）
y
yx
x
yx
y
y
P D
xy
B
dy
yxA
fx
x
x
x
dx
fy
C
xy
xy
因为任一横截面均为对称面，则有
w0
所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。
—— 平面位移问题
z 0 zy yz 0 zx xz 0
x x (x, y) y y (x, y) —— 平面应变问题
xy yx xy (x, y)
水坝
注： (1)平面应变问题中 z 0 但是， z 0 z ( x y )
MD 0
( xy
xy
x
dx)dy 1
dx 2
xy
y
yx
dy
y
P
x xy D B
yx dy
1ydx 2
yxA
fx
x
x
x
dx
fy
C
xy
xy
x
dx
y
y
y
dy
(
yx
yx
y
dy)dx 1 dy 2
yx
dx
1
dy 2
0
整理得：
xy
1 2
xy
x
dx
yx
1 2
yx
y
dy
当 dx 0, dy 0 时，有 xy yx —— 剪应力互等定理
x
dx
y
y
y
dy
说明： （1）两个平衡微分方程，三个未知量： x , y , xy yx
—— 超静定问题，需找补充方程才能求解。
（2）对于平面应变问题，z方向自成平衡， x、y方向的 平衡方程相同，故上述方程两类平面问题均适用；
（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、 石料、混凝土等）；
表明： σ1 与 σ2 互相垂直。
结论
任一点P，一定存在两 互相
垂直的主应力σ1 、 σ2 。
（3）σN 的主应力表示
O
x
2
1
P
dy
dx ds
A
y
N
N
B
pN
由 N l 2 x m2 y 2lm xy
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy
N l 21 m2 2
l 2 (1 2 ) 2
最大、最小剪应力：
由 N lm( 2 1)
l 2 m2 1 m (1 l 2 )
N l 1 l 2 ( 2 1) N l 2 l 4 ( 2 1)
最大、最小剪应力
由 N lm( 2 1)
l 2 m2 1 m (1 l 2 )
N l 1 l 2 ( 2 1) N l 2 l 4 ( 2 1)
m2，则
tan 2
sin 2 cos2
cos(90 2 ) cos2
m2 l2
2 x xy
(或 xy ) 2 y
应力主向的计算公式：
tan 1
1 xy
x
tan 2
xy 2
y
（2-8）
由 1 2 x y 得