整除1、一个六位数1234WW 是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少 【分析】 设这个六位数为1234A B ，因为它是88的倍数，而88811=⨯，8与11互素，所以，这个六位数既是8的倍数，又是11的倍数．由1234A B 能被8整除，可知34B 可被8整除，所以4B =，又由被11整除的数的特征（若一个数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除），可得(234)(14)4A A ++-++=-能被11整除，则40A -=，即4A =，而124344881413÷=，所以这个数是124344，它除以88的商是1413．2、六位数7365E F 是1375的倍数，这个六位数是________.【分析】 7136253、已知23abcd ，11bcda ，9cdab ，5dabc ，那么abcd 是______【分析】 由于cdab 是9的倍数，所以()a b c d +++能被9整除，由于abcd 与cdab 的各位数字之和相同，所以abcd 也是9的倍数；由于bcda 是11的倍数，那么其奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除，也就是()b d +与()c a +的差能被11整除．所以abcd 的奇数位数字之和()d b +与偶数位数字之和()c a +的差也能被11整除，也就是说abcd 也是11的倍数．根据题意abcd 是23的倍数，所以abcd 是9，11，23的公倍数．911232277⨯⨯=，所以abcd 一定是2277的倍数．因为dabc 是5的倍数，所以5c =（a ，b ，c ，d 均不等于0），那么4554abcd =4、请从小到大写出5个素数，要求后面一个比前面大12．【分析】 从大于10的素数末位只有 1379、、、入手，得到均矛盾．只有5172941535、一串数1，2，4，7，11，16，22，29，L ，这串数的组成规律，第二个数比第一个数多1，第三个数比第二个数多2，第四个数比第三个数多3，以此类推，那么这串数左起第2017个数除以5的余数是多少【分析】 设这串数为12342017,,,,,,a a a a a L L ，依题意知：11a =，211a =+3112a =++41123a =+++L201711232016110082017a =+++++=+⨯L因为100852013÷=L L ，20175=4032÷L L ，所以()1100820171322mod5+⨯≡+⨯≡，因此这串数左起第2017个数除以5的余数是2．6、求所有满足下列条件的四位数abcd ，满足()2abcd ab cd=+，其中数字c 可以是0．【分析】 ()2100abcd ab cd ab cd =+=+；所以()()991ab ab cd ab cd =++-；因为99911=⨯，所以11|ab cd +或11|1ab cd +-；100ab cd +==，199ab cd +-<．（1）当11|ab cd +时，11110ab cd ab cd ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩或22121ab cd ab cd ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩或33132ab cd ab cd ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩或44143ab cd ab cd ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩或55154ab cd ab cd ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩ 或66165ab cd ab cd ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩或77176ab cd ab cd ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩或88187ab cd ab cd ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩或99198ab cd ab cd ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩； 因为()()99|1ab cd ab cd ++-，所以()()9|1ab cd ab cd ++-； 因为ab cd +和1ab cd +-互质，所以9|ab cd +或9|1ab cd +-； 所以55154ab cd ab cd ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩或99198ab cd ab cd ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩；所以3025abcd =或9801．（2）当11|1ab cd +-时，11112ab cd ab cd ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩或12223ab cd ab cd ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩或13334ab cd ab cd ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩或14445ab cd ab cd ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩或15556ab cd ab cd ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩ 或16667ab cd ab cd ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩或17778ab cd ab cd ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩或18889ab cd ab cd ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩； 因为()()99|1ab cd ab cd ++-，所以()()9|1ab cd ab cd ++-； 因为ab cd +和1ab cd +-互质，所以9|ab cd +或9|1ab cd +-； 所以14445ab cd ab cd ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩；所以2025abcd =． 综上所述，3025abcd =或9801或2025．计算1、计算：57191232348910+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯L ． 【分析】 原式23349101232348910+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯L1111111113122423797881089111111111324798101223788911111111111111111111123243568798102237889⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+-++-+-+-+-+-++-+- ⎪ ⎝⎭⎝L L L L L 11111112291095881382381909901515⎪⎭⎛⎫⎛⎫=⨯+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+===2、计算：333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯． 【分析】 原式11111113[(...)]3123234234345171819181920=⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1131920111391231819201819206840⨯⨯-=-==⨯⨯⨯⨯⨯⨯3、计算：999897112323434599100101++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L _________=． 【分析】 99123⨯⨯=1001123-⨯⨯=100123⨯⨯-123⨯=100123⨯⨯-123⨯ 98234⨯⨯=1002234-⨯⨯=100234⨯⨯-2234⨯⨯=100234⨯⨯-134⨯ 97345⨯⨯=1003345-⨯⨯=100345⨯⨯-3345⨯⨯=100345⨯⨯-145⨯…… 199100101⨯⨯=1009999100101-⨯⨯=10099100101⨯⨯-9999100101⨯⨯=10099100101⨯⨯-1100101⨯ 原式100100100100111...(...)123234345991001012334100101=++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111151100()()2422101002101101=⨯⨯---=4、计算：1111120102638272330314151119120123124+++++++++． 【分析】 原式11111111111111123303141317717430341431⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111112337434=++++++127=．应用题1、若234a b c ==，且0abc ≠，则2a b c b+-的值是（ ） A 、2 B 、2- C 、3 D 、3-【分析】 B2、一个书柜，甲乙合作5天能完成，乙丙合作6天能完成，甲丙合作7.5天完成．现在甲乙丙三人一起合作完成，共得工资3690元．如果按个人能力分配，甲、乙、丙应各得工资多少【分析】 根据题意可求出三人工作能力之比．甲乙合作一天可完成全工程的15，乙丙合作一天可完成全工程的16，甲丙合作一天可完成全工程的17.5，由此三人合作一天可完成全工程的1111()2567.54++÷=，从而可得甲乙丙三人各工作一天完成工程的111111(),(),()4647.545---．然后可求得三人能力的比，再按比例分配求得各人应得的工资数．解：甲、乙、丙三人能力之比111111():():()5:7:34647.545---= 甲、乙、丙三人各得工资数： 甲：5536903690123057315⨯=⨯=++（元）； 乙：7736903690172257315⨯=⨯=++（元）； 丙：333690369073857315⨯=⨯=++（元）.3、有一批工人完成某项工程，如果能增加8个人，则10天就能完成；如果能增加3个人，就要20天才能完成．现在只能增加2个人，那么完成这项工程需要多少天【分析】 设总工程量为1，增加8人后，工作效率变为110，如果增加3人， 那么工作效率为120，所以5个人的工作效率为111102020-=， 平均每个人的工作效率为11520100÷=，如果增加2人，就是从工作效率为110的工人中减少6个人，此时这批工人的工作效率为11161010025-⨯=，完成这项工程需要25天．4、某厂共有4个车间．第一车间的人数是其余车间总人数的13，第二车间的人数是其余车间总人数的14，第三车间的人数是其余车间总人数的15，第四车间有460人．该厂共有 人【分析】 第一车间是其余车间总人数的13，所以第一车间的人数占该厂总人数的11134=+； 第二车间的人数是其余车间总人数的14，所以第二车间的人数占该厂总人数11145=+； 第三车间的人数是其余车间总人数的15，所以第三个车间的人数占该厂总人数的11156=+． 又因为该厂共有四个车间，所以第四个车间的人数占该厂总人数的11123145660---=． 因为第四车间共有460人，所以该厂共有11146011200456⎛⎫÷---= ⎪⎝⎭人．5、甲、乙两人共同清理400米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行清理，最初甲清理的速度比乙快13，后来，乙用10分钟去调换工具，回来继续清理，但工作效率比原来提高了一倍，结果从甲、乙开始清理时算起，经过1小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长．求乙换工具后又工作了多少分钟【分析】 此题用列方程的方法较为简单．由题意可知：甲的速度为400210603÷=米/分钟， 乙换工具前的速度是1015(1)332÷+=米/分钟，乙换工具后的速度是5252⨯=米/分钟．设乙换工具后又工作了x 分钟，5(6010)540022x x ⨯--+⨯=÷，得30x =． 所以乙换工具后又工作了30分钟．6、某次数学竞赛一、二、三等奖．已知：()1甲、乙两校获一等奖的人数相等； ()2甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的比例是乙校相应比例的56； ()3甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的15； ()4甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的12； ()5甲校获二等奖的人数是乙校二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的比例是（ ）【分析】 甲、乙两校获一等奖的人数相等，而甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的比例是乙校相应的比例的56，说明甲校的人数是乙校的65． 设乙校的总人数为“1”，则甲校的总人数为65，两校总人数为611155+=． 甲、乙两校获二等奖的人数总和为611115525⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭．甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍，所以甲校获二等奖的人数为11 4.5925 4.5125⨯=+，乙校获二等奖的人数为1192252525-=． 甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的12， 所以甲校获三等奖的人数为613525⨯= 甲校获一等奖的人数为6936525525--=．乙校获一等奖的人数与甲校相同，也为625，乙校一等奖占总人数的6612525÷=．7、甲、乙、丙三人去泰山春游，甲负责买车票，乙负责买食品，丙负责买饮料．结果乙花的钱是甲的910，丙花的钱是乙的23．根据费用均摊的原则，丙又拿出35元还给甲和乙．问：甲、乙分别应得多少元【分析】 方法一：整体法，设乙花的钱为“1”，则甲花的钱为9101109÷=，丙花的钱为22133⨯=．所以在均摊前，丙花的钱占总数的21026139325⎛⎫÷++= ⎪⎝⎭，而均摊后丙花的钱占总数的13．均摊前后钱的总数不变，所以总的钱数为1635375325⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭元．均摊前甲花的钱占总数的10102219935⎛⎫÷++= ⎪⎝⎭，所以分到的钱是213752553⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭元，乙得到的是352510-=元． 方法二：份数法，甲、乙、丙花的钱数之比是10:9:6．甲、乙比丙多花的钱数之比是()()106:964:3--=．甲、乙比丙多花的钱三人平分，每人分到()74333+÷=(份)，甲多出了75433-=(份)，乙多出了72333-=(份)．甲、乙应得钱的比例为52:5:233=，甲应得5352552⨯=+(元)，乙应得352510-=(元)．8、参加某选拔赛第一轮比赛的男、女生人数之比是4:3，所有参加第二轮比赛的91人中男、女生人数之比是8:5，第一轮中被淘汰的男、女生人数之比是3:4，那么参加第一轮比赛的学生共有 人【分析】 参加考试的男生占了总人数的44437=+， 如果第一轮中被淘汰的男生也占了总淘汰人数的47， 那么参加第二轮比赛的91人中男生应该是491527⨯=人． 而现在参加第二轮的男生有8915685⨯=+人， 因为实际淘汰的男生只有占了总淘汰人数的37， 那么总淘汰人数是()4356522877⎛⎫-÷-= ⎪⎝⎭人， 参加第一轮比赛的学生共有9128119+=人．9、一批零件，由甲、乙两人合作，12天可以完成．现在由甲先制作4天后，两人再合作6天，剩下的零件还需要乙单独制作8天才能完成．又知道甲在合作过程中一共生产了144个零件，问乙共做了____个零件．【分析】 因为一批零件，由甲、乙两人合作，12天可以完成．现在由甲先制作4天后，两人再合作6天，剩下的零件还需要乙单独制作8天才能完成．相当于甲乙合作了6410+=天，剩下的是乙单独工作了844-=天．所以就是乙单独工作的4天的工作量是甲和乙两人同时工作12102-=天的工作量．所以甲和乙的工作效率是相同的，根据题意已经知道甲在制作过程中一共生产了144个零件，那么同理乙也做了144614336÷⨯=个零件．10、一件工程，由甲、乙、丙三人分段去完成．甲先做8小时，完成23；乙继续做2小时，完成余下的23；丙再做30分钟完成全工程．如一开始就由三人合做，几小时可以完成【分析】 先求出甲的工作效率218312÷= 再求出乙的工作效率221(1)2339-⨯÷= 最后求出丙的工作效率2212(1)(1)3329-⨯-÷= 如果一开始三人合做11221()212995÷++=小时 11、一项工程，甲单独做12天完成，乙单独做10天完成．现在甲、乙两人合作8天完成任务，但这段时间里，甲休息了2天．那么，这段时间中乙休息了（ ）天．【分析】 假设总工作量为"1"， 则甲每天完成112，乙每天完成110， 甲6天完成了12，所以乙也应该完成12，其需要115210÷=（天），所以乙休息了3（天）12、甲、乙、丙合作承包一项工程，6天可以完成；已知甲单独做所需天数与乙丙两人合作所需的天数相同，甲乙合作所需的天数的4倍与丙单独完成这项工程所需的天数相同，求乙、丙单独完成这项工程各需多少天【分析】由题目可知：甲的工作效率=乙丙工作效率之和而甲乙丙三人的工作效率和为16，所以甲的工作效率为112甲乙的工作效率之和=丙的工作效率4⨯可求出丙的工作效率为11(41) 630÷+=所以乙的工作效率为1111 6123020 --=所以乙、丙单独完成这项工程各需20天和30天13、某工程如果由A、B、C三小队合干，需要4天完成，其中C小队的工作效率比A、B两队的工作效率都高，；由B、C、D小队合干，需要6天完成；由A、D小队合干，需8天完成．按A、B、C、D的顺序，每个小队干1天，依次轮流干到工程完成，第几小队收尾【分析】四队效率之和11113 ()2 46848++÷=循环3次还剩133 134816 -⨯=又因为31164<，又因为题目告诉C小队的工作效率比A、B两队的工作效率都高，所以C小队的工作效率大于113412÷=，A、B两队的工作效率和小于16，而明显31166>，所以工程是由第三小队收尾的．14、一件工作，甲、乙、丙三人合作，6天可以完成．如果乙单独完成，所需天数是甲、丙合作完成所需天数的3倍，如果丙单独完成，所需天数是甲、乙合作完成所需天数的4倍，甲、乙、丙三人单独完成这件工作各需要多少天【分析】因为乙单独完成所需天数是甲、丙合作完成所需天数的3倍，即甲、丙合作一天的工作量乙需要做3天，所以甲、乙、丙合作一天的工作量乙需要做314+=天，所以乙单独完成这项工作需要4624⨯=天；因为丙单独完成所需天数是甲、乙合作完成所需天数的4倍，即甲、乙合作一天的工作量丙需要做4天，所以甲、乙、丙合作一天的工作量丙需要做415+=天，所以丙单独完成这项工作需要5630⨯=天；甲、乙、丙同时工作需要6天完成，则甲、乙、丙的工作效率是16．现在有知道乙工作效率是124，丙工作效率是130，所以甲的工作效率是1111162430120--=，则甲单独完成这项工作需要11120101101201111÷==天．15、加工一批零件，甲需要240天可以完成，而现在甲每工作2天需休息1天；乙需要405天可以完成，而现在乙每工作3天需要休息1天，现在甲、乙两人一起开始合作，多少天可以完成这项工作．【分析】 甲的工作效率为1240，乙的工作效率为1405现在甲每三天里有一天是休息，乙每四天里有一天是休息，取其最小公倍数每12天里，甲工作了8天，乙工作了9天，最后一天是两人一起休息 两人共完成了1118924040518⨯+⨯= 111818÷=，所以一共需要12181215⨯-=天16、有甲乙两根水管，分别同时给A 、B 两个大小相同的水池注水，在相同的时间内甲、乙两管注水量之比是7:5，经过123小时，A 、B 两池中注入的水之和恰好是一池，这时，甲管注水速度提高25%，乙管注水速度不变，那么甲管注满A 池时，乙管再经过多少小时注满B 池【分析】 设一个水池的容量为1 甲、乙两管注水速度的和是131237÷= 甲、乙两灌的注水速度分别为3717754⨯=+，35577528⨯=+ 后来甲管的注水速度是15(125%)416⨯+=， 注满A 池还需的时间是1154(12)43163-⨯÷=小时， A 池注满后，B 池还需要51414121283315÷--=小时才能注满．16、食品厂开工前运进一批面粉，开工后每天运进相同数量的面粉，如果派5名工人加工食品30天可以把面粉用完，如果派4名工人，40天可以把面粉用完，现在派4名工人加工了30天后，又增加了2名工人一起干，还需要多少天加工完【分析】 开工前运进的面粉相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的面粉相当于“新生长的草”，工人加工食品相当于“牛在吃草”．设1名工人用掉面粉的量为“1”份，那么每天运来的面粉量为(440530)(4030)1⨯-⨯÷-=份，原有面粉量为(51)30120-⨯=份．如果4名工人干30天，则会加工完430120⨯=份，而每天都有新进来1份的面粉，所以30天新进来30份的面粉，所以4名工人干30天会加工掉30天新运来的面粉量以及90份原有的面粉量，则原有还剩1209030-=份未加工，而后变成6名工人，还需要30(61)6÷-=天可以加工完．17、容量是100立方米的水池，有甲、乙两个进水管和一个排水管，甲、乙单独进水，分别需10小时和15小时才能将水池灌满．现水池中已有一些水，如甲、乙同时进水，排水管同时排水，6小时后水池中就没有水了，如甲水管进水，排水管同时打开，2小时后水排完，水池中原有多少立方米的水【分析】 此题类似于“牛吃草”问题，可将进水池中原有的水当成“原有的草”，将排水量看成 “新生长的草量”，进水量看成“牛吃草”．题目条件可以直接求出开甲、乙进水管的工作效率，所以也无需用分数来做，如题就分两种情况．根据条件甲开1小时，注入10立方米的水；乙开1小时，注入了20立方米的水．立方米水量，所以每小时排水管的出水量为80420÷=立方米 水池中原有20210220⨯-⨯=立方米的水．18、小明从A 地出发，沿公路朝一个方向慢跑，速度为2米/秒．过了一会儿，一只小狗从A 地出发追赶小明，6分钟后，另一只小狗也从A 地出发追赶小明，两只小狗的速度都是5米/秒，且都在追上小明后立即返回A 地，则两只小狗回到A 地的时间间隔为多少分钟（学生版拓展1）【分析】 设第一只小狗出发时，小明距离A 地s 米，则第一只小狗从出发到返回A 地所用的时间为22523⨯=-s s （秒）． 第二只狗出发时，小明距离A 地2660+⨯⨯s （米），则第二只小狗从出发到返回A 地所用的时间为266022480523+⨯⨯⨯=+-s s （秒）． 两只小狗回到A 地的时间间隔为2266048084033⎛⎫⨯++-= ⎪⎝⎭s s （秒）14=（分钟）．19、甲乙两人分别从小路两端,A B 两处同时出发相向而行，第一次相遇在距B处80米的地方，然后两人继续按原速向前行走，分别到,B A 处后立即返回，第二次相遇在距A 处30米的地方，照上面的走法，两人第三次相遇在距A 处多少米的地方【分析】 甲、乙第1次相遇共行1个单程，第2次相遇共行3个单程（如图所示），所以1个单程长80330210⨯-=米，乙每行80米，甲行21080130-=米，第3次迎面相遇时两人共行5个单程，此时乙行了805400⨯=米，不足2个单程，这说明在第3次相遇之前甲曾追上乙一次，第2次相遇后，甲要追上乙需比乙多行(302)⨯米，这期间乙行了130302(1)9680⨯÷-=米，此时距A 处3096126+=米（而此时的相遇正好是甲恰好追及乙）．。