《计算机数学基础(2)》数值分析试题 2002、9
之一[2000年(00)05]
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1. 若误差限为0.5×10－5，那么近似数0.003400有( )位有效数字.
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6
2. 当线性方程组A X ＝b 的系数矩阵A 是( )时，用列主元消去法解A X ＝b ，A 的主对角线的元素一定是主元.
(A) 上三角形矩阵 (B) 主对角线元素不为0的矩阵
(C)对称且严格对角占优矩阵 (D)正定对称矩阵
3. 下列条件中，不是分段线性插值函数P (x )必须满足的条件为( )
(A) P (x k )=y k ,(k =0,1,…,n ) (B) P (x )在[a ,b ]上连续
(C) P (x )在各子区间上是线性函数 (D) P (x )在各节点处可导
4. 有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是( )次的.
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 3
5. 解微分方程初值问题的方法，( )的局部截断误差为O (h 3).
(A) 欧拉法 (B)改进欧拉法 (C)三阶龙格－库塔法 (D) 四阶龙格－库塔法
二、填空题(每小题3分，共15分)
6.已知x *1=x 1±0.5×10－3，x *2=x 2±0.5×10－2，那么近似值x 1，x 2之差的误差限是
7. 用列主元消去法解线性方程组A X ＝b 时，在第k －1步消元时，在增广矩阵的第k
列取主元)1(-k rk a ，使得=-)1(k rk
a . 8. 已知函数f (0.4)=0.411, f (0.5)=0.578 , f (0.6)=0.697，用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式x 2的系数是 .
9. 牛顿－科茨求积公式中的科茨系数),...,1,0()(n k C n k =满足的两条性质是
.
10.用牛顿法求方程f (x )=0在[a ,b ]内的根，已知f '(x )在[a ,b ]内不为0，f "(x )在[a ,b ]内不变号，那么选择初始值x 0满足 ，则它的迭代解数列一定收敛到方程f (x )=0的根.
三、计算题(每小题15分，共60分)
11.
试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)
12. 将区间[1,9]8等分，试用复化梯形公式求积分
x x d 5691⎰- 的近似值，计算过程中保留3位小数.
13. 用弦截法求方程x －sin x －0.5=0在[1.4，1.6]之间的一个近似根，满足01.01≤-+k k x x ，计算过程保留4位小数. 14.用四阶龙格－库塔法求解初值问题
⎩
⎨⎧==+'0)0(1y y y 取h =0.2, 求x =0.2, 0.4时的数值解. 要求写出由h ,x k ,y k 直接计算y k +1的迭代公式.
计算过程保留3位小数. 已知四阶龙格－库塔法斜率值公式为
κ1=f (x k ,y k ) κ2=f (x k +12h ，y k +2h κ1) κ3=f (x k +12h ，y k +2
h κ2) κ4=f (x k +h ，y k +h κ3) 四、证明题(本题10分)
15. 证明解线性方程组A X =b 的雅可比迭代收敛，其中
A =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡110121014
《计算机数学基础(下)》数值分析试题答案
2000、8 之五
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1. B
2.C
3.D
4. A
5.B
二、填空题(每小题3分，共15分)
6. 0.55×10－2
7. )
1(max -≤≤k ik n i k a
8. －2.4 9. )
()(0
)(;1n k n n k n
k n k C C C -===∑(或归一性和对称性)
10. 0)()(00>''x f x f (或f (x 0)与f "(x 0)同号)
三、计算题(每小题15分，共60分)
11. 设直线y ＝a 0+a 1x ，那么a 0,a 1满足的法方程组公式为
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑k
k k k k
k y x x a x a y x a n a
2
1010 (3分)
代入数据，经计算得到法方程组为
⎩⎨⎧=+=+25
.1615.902240
2261010a a a a (9分)
解得a 0=1.229 a 1=1.483 (14分) 所求直线方程为 y =1.229+1.483x (15分)
12. 计算列表
h =1, 用梯形公式
(8分)
)12(])(2)()([2d 56718091分∑⎰
=++=-k k x f x f x f h x x )]557.6083.6568.5000.5359.4606.3646.2(271[21++++++++⨯=
=37.819 (15分) 13. 设f (x )=x －sin x －0.5，取6.1,4.110==x x ，f (1.4)=－0.085 5<0, f (1.6)=0.100 4>0，
故f (x )=0在[1.4, 1.6]内有根. (3分) 弦截法的公式为：)()()()(111--+---=n n n n n n n x x x f x f x f x x (n =1,2,…)
于是，代入函数f (x )，本题有迭代公式
)(s i n s i n 5.0s i n 11
11---+-+-----=n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x (7分) 9491.1)4.16.1(4
.1sin 6.1sin 4.16.15.06.1sin 6.16.12=-+-----=x 1.012=-x x 08 1，不满足精度要求. (11分)
当n =2时， 4970.1)6.14919.1(6
.1sin 4919.1sin 6.14919.15.04919.1sin 4919.14919.13=-+-----
=x 0051.023=-x x ，满足精度要求. 所求方程的解为x *≈1.4970 (15分)
14.κ1=f (x k ,y k )=1－y k
κ2=f (x k +12h ，y k +
2h κ1)＝1－122.0κ-k y ＝0.9(1－y k ) κ3=f (x k +1
2h ，y k +2h κ2)=22
2.01κ--k y ＝0.91(1－y k ) κ4=f (x k +h ，y k +h κ3)=32.01κ--k y =0.818(1－y k ) (5分)
代入公式)22(6
43211κκκκ++++=+h y y k k ＝)]1(818.0)1(91.02)1(9.021[(6
2.0k k k k k y y y y y -+-⨯+-⨯+-+ ＝k k k y y y 819.0181.0)1(181.0+=-+ (10分)
于是有 y (0.1)≈y 1181.00819.0181.0=⨯+=
y (0.2)≈y 2181.0819.0181.0⨯+=＝0.329 (15分)
四、证明题(本题 10分)
15. 由该线性方程组的系数矩阵A 得其雅可比迭代矩阵为
B 0＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----0105.005.0025.00 (4分)
求矩阵B 0的特征根，解
)625.0(5.025.0)5.0(105.05
.0025.022=-=⨯--=λλλλλλ
λλ
解得特征根：79.0,79.0,0321=-==λλλ. (8分) 因为所有1<k λ，由定理4可知，该线性方程组的雅可比迭代收敛. (10分)。