太原科技大学硕士研究生2014/2015学年第1学期《数值分析》课程试卷一、填空题（每空4分，共32分）1、设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-++<≤+=21,13210,)(2323x x bx x x x x x s 是以0,1,2为节点三次样条函数，则b=__-2___ 2、解线性方程组1231231238892688x x x x x x x x x -++=-⎧⎪-+=⎨⎪-+-=⎩ 的Jacobi 迭代格式（分量形式）为⎪⎩⎪⎨⎧+--=++-=++=+++)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1882/)96(88k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，其相应的迭代矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0812/102/9810。
3、方程03=-a x 的牛顿法的迭代格式为__3123kk k kx a x x x +-=-__________，其收敛的阶为 2 。
4、已知数x 的近似值0.937具有三位有效数字，则x 的相对误差限是310534.0-⨯解：x 1≈0.937， 311021)(-⨯≤x ε 33111110(x )2(x )0.53410x 0.937r εε--⨯=≤=⨯5、用列主元高斯消去法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=++=++2333220221321321x x x x x x x x 作第1次消元后的第2，3个方程分别为⎩⎨⎧=+--=-5.35.125.15.03232x x x x6、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3211A ，则=∞)(A Cond __4____.二、（本题满分15分）证明方程350x x --=在区间[1,2]有唯一实根，构造一种收敛的迭代格式1(),0,1,2,k k x x k φ+==使对任何初值0x ∈[1,2]都收敛，并说明收敛理由和收敛的阶。
解：（1）证明方程350x x --=在区间[1,2]有唯一实根.------5分设3()5f x x x =--，(1)(2)50f f =-<，而且2'()310f x x =->，所以3()5f x x x =--在区间[1,2]有唯一实根。
（2）构造迭代格式1(),0,1,2,k k x x k φ+==----------5分改写原方程为等价方程x =10,1,2,k x k +==…（3）说明收敛理由------4分由于()x ϕ=1<()x ϕ<2,而且'()x ϕ=2/3(5)/31/31x -+<<，故对0x ∈[1,2]都收敛。
（4）说明收敛的阶。
------1分'()a ϕ=2/3(5)/30a -+≠，故为线性收敛。
或者说收敛的阶为1.三、（本题满分15分）构造过节点(2,17),(0,1),(1,2),(2,19)-的牛顿差商表，并选取合适的节点分别构造二次、三次牛顿插值多项式)(),(32x P x P 以计算2(0.9)P 和3(0.9)p 。
--------------------- 5分把(2)17f -=，(2,0)8f -=-，(2,0,1)3f -=代入二阶牛顿插值多项式2001001201()()[,]()[,,]()()P x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--得:2()178(2)3(2)p x x x x =-+++----------------------------------------------4分故 2(0.9)178(0.92)3(0.92)0.9 1.63p =-+++=----------------------------1分 由三阶牛顿插值多项式：320123012()()[,,,]()()()p x p x f x x x x x x x x x x =+---将01232,0,1,2x x x x =-===和01235[,,,]4f x x x x =代入上式，得： 35178(2)3(2)4()(2)(1)x x x p x x x x -+++=++--------------------------------------4分故3250.924(0.9)(0.9)()(0.90)(0.91) 1.30p p +=+--≈-------------------------------1分四、（本题满分15分）设],[)(4b a C x f ∈，⎰--++-≈bab f a f a b b f a f a b dx x f )]()([12)()]()([2)(''2求上述求积公式的代数精度，并利用求积公式给出计算⎰b adx x f )(的一个复化求积公式。
考查知识点：根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
解：1)(=x f 时，左边=a b -=右边; ----------------------1x x f =)(时，左边=)(2122a b -=右边2)(x x f =时，左边=)(3133a b -=右边；3)(x x f =时，左边=)(4144a b -=右边4)(x x f =时，左边=≠-)(5155a b 右边;故而所给求积公式具有3次代数精度。
------------------22）将],[b a 作n 等分，记.0,,n i ih a x nab h i ≤≤+=-=-----------------------1分∑⎰⎰-=+=11,)()(n i x x bai idx x f dx x f ------------------------------1分而,)]()([12)]()([2)(11''21⎰+++-++≈i ix x i i i i x f x f h x f x f h dx x f --------------------2分由此可得复化公式21''110()[()()][()()]212n bi i i i ai hh f x dx f x f x f x f x -++=⎧≈++-⎨⎩∑⎰）=21''10[()())][()()]212n i i i h h f x f x f a f b -+=+-∑+----------------4五、（本题满分13分）应用数值积分的有关理论建立常微分方程初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy的Adams 二步显式公式：()()1113,,2n n n n n n hy y f x y f x y +--=+-⎡⎤⎣⎦ 证明：记,,0i b ah x a ib i n n -==+≤≤-----------------------------1分将原方程两边在区间[]1,n n x x +上积分得()()()()11,n nx n n x y x y x f x y x dx ++=+⎰-----------------------------------3分以1,n n x x +为插值节点作()(),f x y x 的一次插值多项式，()()()()()111111,,n nn n n n n n n nx x x x L x f x y x f x y x x x x x -------=+--，-----------3分代入前式，()()()()()()()()()()()()11111111111,,,3,,2n nn n nnx n n x x x n nn n n n n x x n n n nn n n n n y x y x f x y x dxx x x x y x f x y x dx f x y x dx x x x x hy x f x y f x y ++++-------≈+--=++--=+-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰-------------------------------------6分将()n y x 用n y 代替，将≈换成=，则命题得证。
六、（本题满分10分）（从下列两题中选择一道题完成）1、]1,1[,)(-=在x x f 求关于}x ,x {1,42span =φ的最佳平方逼近多项式。
解： 内积⎰-=11,)()(,dx x g x f g f ）（记240,121,x x φφφ===，，利用内积定义有2),(1100⎰-==dx ϕϕ，-------------------------0.5分32),(11210⎰-==dx x ϕϕ，52),(11420⎰-==dx x ϕϕ，52),(11411⎰-==dx x ϕϕ，72),(11621⎰-==dx x ϕϕ，92),(11822⎰-==dx x ϕϕ，1),(110==⎰-dx x f ϕ，-------------------------------1分21),(1121==⎰-dx x x f ϕ，------------------------------1分31),(1142==⎰-dx x x f ϕ-----------------------------1分法方程为：0122212351222235712223579c c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-------------------------------3分 0120.1171875,c 1.640625,c -0.8203125c ===得到f(x)的最佳平方逼多项式为24()0.1171875 1.640625x -0.8203125x p x =+-----------1分2、使电流i 通过Ω2的电阻，用伏特表测量电阻两端的电压V ，得到如下数据：试用最小二乘法建立电流i 与电压V 之间的经验公式。
解：（1）确定)(i V ϕ=的形式。
将表中给出的数据点描绘在坐标纸上，可以看出这些点位于一条直线的附近，故可选择线性函数来拟合这组实验数据，即取 bi a V +=（2）建立法方程组。
1112141618110A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，---------------------------263131221A A T ⎛⎫= ⎪⎝⎭，------------------------261.7442.4A y T ⎛⎫= ⎪⎝⎭--------------------------------2法方程：A Ac A y T T = ----------------3分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4.4427.6122131316b a（3）求经验公式解所得法方程组得0.2156164, 2.0320548a b =-=故所求经验公式为：0.2156164 2.03205479V i =-+--------------1分。