华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。

一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。

2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。

（12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。

2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。

（1）设{}∞
=0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。

（2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合：
四、（14分）对积分()10I f x dx =
⎰，试 （1）构造一个以012113,,424
x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度；
（3）用所得数值求积公式计算积分1
203x dx ⎰的精确值；
（4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。

（1）设⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。

（2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
六、（13分）对2阶线性方程组
11112212112222
a x a x
b a x a x b +=⎧⎨+=⎩ （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散；
（2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。

（1）证明：设方程f (x )=0在区间[0，1]上有惟一实根，如果用二分法求该方程的近似根，
要求绝对误差限为0.001，则至少要二分9次．
（2）试写出求
(0)a > 的Newton 迭代公式，并判定该迭代公式的收敛阶。

八、（12分）解答下列问题：
(1) 试分别运用Taylor 展开的方法和以差商离散导数项的方法推导出求解
y ’ = f (x , y), y (x 0) = y 0 的Euler 公式：
y n+1 = y n + h f (x n , y n )，n = 0,1,2…
(2) 若用Euler 公式解初值问题
试推导出该数值方法的绝对稳定条件。

2(0)3
y y y '=-⎧⎨=⎩。