2018北京市丰台区高三（上）期末数学（理）2018.1第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合1,0,1A ，21B x x，则A BU （）A ．1,1B ．1,0,1 C．11x x D ．1x x 2．“1x”是“21x”的（）A ．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．在极坐标系Ox 中，方程sin表示的曲线是（）A ．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线4．若,x y 满足1,1,0,xy xy x则2zxy 的最大值是（）A ．-2B ．-1C ．1D ．25．执行如图所示的程序框图，如果输入的x 的值在区间2, 1.5内，那么输出的y 属于（）A ．0,0.5 B．0,0.5 C．0.5,1 D．0.5,16．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（）A ．2B ．5 C ．22 D．37．过双曲线222210,0x y a bab的一个焦点F 作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为,A O 为坐标原点，若12OAOF ，则此双曲线的离心率为（）A ．2 B．3 C ．2 D．58．全集,,U x y x yZ Z ，非空集合S U ，且S 中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、y 轴和直线y x 均对称.下列命题：①若1,3S ，则1,3S ；②若0,4S ，则S 中至少有8个元素；③若0,0S ，则S 中元素的个数一定为偶数；④若,4,,x y x yxyS Z Z ，则,4,,x y x y x y S Z Z .其中正确命题的个数是（）A ．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知单位向量,a b r r 的夹角为120°，则a b ar r r．10．若复数1i 1i za 在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a．11．在52x 的展开式中，3x 项的系数是（用数字作答）．12．等差数列n a 的公差为2，且248,,a a a 成等比数列，那么1a ，数列n a 的前9项和9S ．13．能够说明“方程221313m xm ym m 的曲线是椭圆”为假命题的一个m 的值是．14．已知函数sin ,0,,,x x x f xx xg xf xkx kR .①当1k 时，函数g x 有个零点；②若函数g x 有三个零点，则k 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在ABC 中，23sin 22sin B B ．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若4a，63ABCS，求b 的值.16．某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加.（Ⅰ）求,a b的值；（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；（Ⅲ）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为X，求随机变量X的分布列和数学期望E X.17．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA底面ABCD，,E F分别是,AB PC的中点，2PA AD，2CD.（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求PC与平面EFD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱BC上是否存在一点M，使得平面PAM平面EFD？若存在，求出BMBC的值；若不存在，请说明理由.18．已知函数22lnf x x ax a x a R. （Ⅰ）求函数f x的单调区间；（Ⅱ）若0f x恒成立，求实数a的取值范围.19．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点1,0F 的距离和它到直线1x 的距离相等，记点P 的轨迹为C .（Ⅰ）求C 得方程；（Ⅱ）设点A 在曲线C 上，x 轴上一点B （在点F 右侧）满足AFFB .平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D ，试判断直线AD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.20．在数列n a 中，若12,a a 是整数，且1212121253,,,n n n n nnn nn a a a a a a a a a 为偶数，为奇数（n*N ，且3n）.（Ⅰ）若11a ，22a ，写出345,,a a a 的值；（Ⅱ）若在数列n a 的前2018项中，奇数的个数为t ，求t 得最大值；（Ⅲ）若数列na 中，1a 是奇数，213a a ，证明：对任意n*N ，n a 不是4的倍数.数学试题答案一、选择题1-4:CABD 5-8:ADCC 二、填空题9．1210．1 11．-4012．2，90 13．,123,m U U 中任取一值即为正确答案 14．1，0,三、解答题15．解：（Ⅰ）因为23sin 22sin BB ，所以223sin cos 2sin B B B .因为0B，所以sin 0B ，所以tan 3B ，所以3B.（Ⅱ）由63ABCS ，4a ，3B，得14sin 6323c .解得6c .由余弦定理可得22246246cos283b，解得27b.16．解：（Ⅰ）依题意2001004000b ，所以3b . 因为1001220153010310a ，所以10a ，3b.（Ⅱ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动”为事件A ，则203011002P A. 所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率约为12. （Ⅲ）X 可取0,10,20,30,40. 300.03100P X ；20100.2100P X；50200.5100P X；12300.12100P X；15400.15100P X .所以随机变量X 的分布列为：所以00.03100.2200.5300.12400.1521.6E X .17．解：（Ⅰ）证明：取PD 中点G ，连接,AG FG .因为,F G 分别是,PC PD 的中点，所以FG CD ∥，且12FGCD . 因为ABCD 是矩形，E 是AB 中点，所以AE FG ∥，AEFG .所以AEFG 为平行四边形. 所以EF AG ∥. 又因为AG平面PAD ，EF平面PAD ，所以EF ∥平面PAD .（Ⅱ）因为PA平面ABCD ，所以PA AB ，PAAD .因为四边形ABCD 是矩形，所以ABAD .如图建立直角坐标系Axyz ，所以2,0,02E，2,1,12F，0,2,0D ，所以0,1,1EF uu u r ，2,2,02DEuuu r.设平面EFD 的法向量为,,n x y z r，因为0n EF nDE r uu u r ruuu r，所以02202y zx y .令1y ，所以122z x，所以22,1,1nr.又因为2,2,2PCuu u r，设PC 与平面EFD 所成角为，所以sincos ,PC n PC nPC nuu u r r uu u r r uu u r r 422451010.所以PC 与平面EFD 所成角的正弦值为45.（Ⅲ）因为侧棱PA底面ABCD ，所以只要在BC 上找到一点M ，使得DE AM ，即可证明平面PAM平面EFD .设BC 上存在一点M ，则2,,00,2Mt t，所以2,,0AM t uuu r . 因为2,2,02EDuu u r ，所以令0AM EDuuu r uu u r，即120t ，所以12t. 所以在BC 存在一点M ，使得平面PAM平面EFD ，且14BMBC. 18．解：（Ⅰ）函数f x 的定义域为0,，2222x a x axax af xxx.由0f x ，可得xa 或2a x，当0a时，0f x在0,+上恒成立，所以f x 的单调递增区间是0,+，没有单调递减区间；当0a时，,,x fx f x 的变化情况如下表：所以f x 的单调递减区间是0,a ，单调递增区间是,a .当0a时，,,x fx f x 的变化情况如下表：所以f x 的单调递减区间是0,2a ，单调递增区间是,2a .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a 时，20f x x，符合题意.当0a 时，f x 的单调递减区间是0,a ，单调递增区间是,a ，所以0f x恒成立等价于min0f x，即0f a，所以222ln 0a aa a，所以01a .当0a 时，f x 的单调递减区间是0,2a ，单调递增区间是,2a ，所以0f x恒成立等价于min0f x，即02a f.所以222ln0422a aa a ，所以342e 0a .综上所述，实数a 的取值范围是342e ,1.19．解：（Ⅰ）因为动点P 到点1,0F 的距离和它到直线1x 的距离相等，所以动点P 的轨迹是以点1,0F 为焦点，直线1x为准线的抛物线.设C 的方程为22y px ，则12p ，即2p.所以C 的轨迹方程为24yx .（Ⅱ）设2,4mA m ，则22,04mB，所以直线AB 的斜率为22m m k. 设与AB 平行，且与抛物线C 相切的直线为2m yx b ，由242yx myx b 得2880myy b ，由64480m b 得2bm，所以4ym，所以点244,Dmm.当2244mm，即2m 时，直线AD 的方程为2224444mm m ymxm m，整理得2414m yx m，所以直线AD 过点1,0.当2244mm，即2m 时，直线AD 的方程为1x，过点1,0，综上所述，直线AD 过定点1,0.20．解：（Ⅰ）321537a a a ，4325329a a a ，54322a a a .所以37a ，429a ，522a .（Ⅱ）（i ）当12,a a 都是偶数时，12a a 是偶数，代入1253nn a a 得到3a 是偶数；因为23a a 是偶数，代入1253nn a a 得到4a 是偶数；如此下去，可得到数列n a 中项的奇偶情况是偶，偶，偶，偶，…所以前2018项中共有0个奇数.（ii ）当12,a a 都是奇数时，12a a 是奇数，代入12n n a a 得到3a 是偶数；因为23a a 是偶数，代入1253nn a a 得到4a 是奇数；因为34a a 是偶数，代入1253nn a a 得到5a 是奇数；如此下去，可得到数列n a 中项的奇偶情况是奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，…所以前2018项中共有1346个奇数.（iii ）当1a 是奇数，2a 是偶数时，理由同（ii ），可得数列n a 中项的奇偶情况是奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，…所以前2018项中共有1345个奇数.（iv ）当1a 是偶数，2a 是奇数时，理由同（ii ），可得数列n a 中项的奇偶情况是偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，…所以前2018项中共有1345个奇数.综上所述，前2018项中奇数的个数t 的最大值是1346. （Ⅲ）证明：因为1a 是奇数，所以由（Ⅱ）知，n a 不可能都是偶数，只能是偶奇奇，奇偶奇，奇奇偶三种情况. 因为1a 是奇数，且213a a ，所以2a 也是奇数.所以32112a a a a 为偶数，且不是4的倍数. 因为432153a a a a ，所以前4项没有4的倍数，假设存在最小正整数3t t ，使得t a 是4的倍数，则12,t ta a 均为奇数，所以3t a 一定是偶数，由于12353t t t a a a ，且12tt t a a a ，将这两个式子作和，可得3234t t t a a a .因为t a 是4的倍数，所以3t a 也是4的倍数，与t 是最小正整数使得t a 是4的倍数矛盾.所以假设不成立，即对任意n *N ，n a 不是4的倍数.。