第27章相似单元检测一． 选择题1．2017·重庆若△ABC ∽△DEF ，且相似比为3∶2，则△ABC 与△DEF 的对应高的比为( A )A ．3∶2B ．3∶5C ．9∶4D ．4∶92．下列说法中，正确的是( A)①对应角相等的两个多边形相似；②对应边成比例的两个多边形相似；③若两个多边形不相似，则对应角不相等；④若两个多边形不相似，则对应边不成比例；⑤边长分别为3，5的两个正方形是相似多边形；⑥全等多边形一定是相似多边形． A. ⑤⑥ B. ①④ C. ②⑥ D. ④⑥3．在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A ＝∠A 1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( D )A ．∠B ＝∠B 1 B.AB A 1B 1＝AC A 1C 1C.AB A 1B 1＝BC B 1C 1D.AB B 1C 1＝AC A 1C 14．2018·滨州在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为A(6，8)，B(10，2)．若以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩短为原来的12后得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为( C )A ．(5，1)B ．(4，3)C ．(3，4)D ．(1，5)5．在图K －6－2(b)中，由图K －6－2(a)放大或缩小而得到的图形有( B )图K －6－2A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．如图K －14－2，已知BC ∥ED ，下列说法不正确的是( D )图K －14－2A ．△ABC 与△ADE 是位似图形B ．点A 是△ABC 与△ADE 的位似中心C ．B 与D ，C 与E 是对应点 D ．AE ∶AD 是相似比7．如图K －13－3，以点O 为支点的杠杆，在A 端用竖直向上的拉力将重为G 的物体匀速拉起，当杠杆OA 水平时，拉力为F ；当杠杆被拉至OA 1时，拉力为F 1，过点B 1作B 1C ⊥OA ，过点A 1作A 1D ⊥OA ，垂足分别为C ，D .①△OB 1C ∽△OA 1D; ②OA ·OC ＝OB ·OD; ③OC ·G ＝OD ·F 1; ④F ＝F 1. 上述4个结论中，正确的有( D )图K －13－3A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图K －15－1，在平面直角坐标系中，有两点A(4，2)，B(3，0)，以原点O 为位似中心，A′B′与AB 的相似比为12，得到线段A′B′，正确的画法是( D )A BC D图K －15－19．下列四条线段中，不能成比例的是(C ) A ．a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4 B ．a ＝1，b ＝2，c ＝6，d ＝ 3 C ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10 D ．a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝2 310．将平面直角坐标系中某个图案各点的坐标作如下变化，其中属于位似变换的是( C )A ．将各点的纵坐标乘2，横坐标不变B ．将各点的横坐标除以2，纵坐标不变C ．将各点的横坐标、纵坐标都乘2D ．将各点的纵坐标减去2，横坐标加上211．2017·常州如图K －10－6，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD ＝2OA ＝6，AD ∶AB ＝3∶1，则点C 的坐标是( A )图K －10－6A ．(2，7)B ．(3，7)C ．(3，8)D ．(4，8)12．观察图K －6－1中各组图形，其中相似的图形有( B )图K －6－1A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 二、填空题13．如图K －11－8，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y ＝kx (x >0)经过斜边OA 的中点C ，与另一条直角边交于点D .若S △OCD ＝9，则S △OBD 的值为________．图K －11－8[答案] 6[解析] 如图，过点C 作CE ⊥x∵在Rt △OAB 中，∠OBA ＝90°， ∴CE ∥AB.∵C 为Rt △AOB 的斜边OA 的中点，∴CE 为Rt △AOB 的中位线，且S △OCD ＝S △ACD ，∴△OEC ∽△OBA ，且OC OA ＝12.∵双曲线所对应的函数解析式是y ＝kx，∴S △OBD ＝S △COE ＝12k ，∴S △AOB ＝4S △COE ＝2k.由S △AOB －S △OBD ＝S △OAD ＝2S △OCD ＝18，得2k －12k ＝18，解得k ＝12，∴S △OBD ＝12k ＝6.故答案为6.14．放大镜下的图形和原来的图形________相似图形；哈哈镜中的图形和原来的图形________相似图形．(填“是”或“不是”)[答案] 是 不是[解析] 放大镜下的图形与原来的图形形状相同，大小不相等，所以是相似图形；哈哈镜中的图形与原来的图形形状不同，大小也不相等，所以不是相似图形15．2017·兰州如图K －14－6，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心是点O ，OE OA ＝35，则FGBC＝________．图K －14－6[答案] 35[解析] ∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似， ∴△OEF ∽△OAB ，△OFG ∽△OBC ， ∴OF OB ＝OE OA ＝35，∴FG BC ＝OF OB ＝35. 16．如图K －9－5，D 是△ABC 内的一点，连接BD 并延长到点E ，连接AD ，AE ，若AD AB ＝DE BC ＝AEAC，且∠CAE ＝29°，则∠BAD ＝________°.图K －9－5[答案] 29[解析] ∵AD AB ＝DE BC ＝AEAC，∴△ADE ∽△ABC ， ∴∠DAE ＝∠BAC ，即∠BAD ＋∠DAC ＝∠DAC ＋∠CAE ， ∴∠BAD ＝∠CAE ＝29°. 三、解答题17．如图K －12－8是一个常见铁夹的侧面示意图，OA ，OB 表示铁夹的两个面，C 是轴，CD ⊥OA 于点D ，已知DA ＝15 mm ，DO ＝24 mm ，DC ＝10 mm ，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A ，B 两点间的距离．图K －12－8解：如图，连接AB ，同时连接OC E ，∵铁夹的侧面是轴对称图形，故⊥AB ，AE ＝BE. ∵∠COD ＝∠AOE ，∠CDO ＝∠AEO ＝90°，∴Rt △OCD ∽Rt △OAE ，∴OC OA ＝CDAE，而OC ＝OD 2＋DC 2＝242＋102＝26，∴2624＋15＝10AE，∴AE ＝39×1026＝15，∴AB ＝2AE ＝30(mm)．答：A ，B 两点间的距离为30 mm.18．如图K －7－3，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB ＝4.(1)求AD 的长；(2)求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比.链接听课例4归纳总结图K －7－3解：(1)设矩形ABCD 的长AD ＝x ，则DM ＝12AD ＝12x.∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似， ∴AD AB ＝CD DM ，即x 4＝412x ， ∴x ＝4 2或x ＝－4 2(舍去)． 即AD 的长为4 2.(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为4∶4 2＝1∶2(或2∶2)．19．如图K－14－11，矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，点A为位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB，AD的长．图K－14－11解：∵矩形ABCD的周长为24，∴AB＋AD＝12.设AB＝x，则AD＝12－x，AB′＝x＋4，AD′＝14－x.∵矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，∴ABAB′＝ADAD′，即xx＋4＝12－x14－x，解得x＝8，∴AB＝8，AD＝12－8＝4.20．2017·杭州如图K－10－10，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD＝3，AB＝5，求AFAG的值．图K－10－10解：(1)证明：∵AF⊥DE于点F，AG⊥BC于点G，∴∠AFE＝90°，∠AGC＝90°，∴∠AEF＝90°－∠EAF，∠C＝90°－∠GAC.又∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AEF＝∠C.又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.(2)∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B.又∵∠AFD＝∠AGB＝90°，∴△AFD∽△AGB，∴AFAG＝ADAB.∵AD＝3，AB＝5，∴AFAG＝3 5.21．2017·凉山州如图K－15－8，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC 的三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)．(1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)以原点O 为位似中心，在x 轴的上方画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且相似比为2，并求出△A 2B 2C 2的面积．图K －15－8解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1就是所要求的三角形． (2)如图所示，△A 2B 2C 2就是所要求的三角形．如图，分别过点A 2，C 2作2E ，F ， ∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且相似比为2， ∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10)，∴A 2E ＝2，C 2F ＝8，EF ＝10，B 2E ＝6，B 2F ＝4，∴S △A 2B 2C 2＝12×(2＋8)×10－12×2×6－12×4×8＝28.。