第二章 数列极限习题§1数列极限概念1、设n a =nn)1(1-+，n=1，2，…，a=0。

（1）对下列ε分别求出极限定义中相应的N ： 1ε=0.1，2ε=0.01，3ε=0.001；（2）对1ε，2ε，3ε可找到相应的N ，这是否证明了n a 趋于0？应该怎样做才对； （3）对给定的ε是否只能找到一个N ？ 2、按ε—N 定义证明：（1）∞→n lim 1+n n =1；（2）∞→n lim 2312322=-+n n n ；（3）∞→n lim n n n !；（4）∞→n lim sinn π=0；（5）∞→n lim n an=0（a >0）。

3、根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列： （1）∞→n limn1；（2）∞→n limn3；（3）∞→n lim 31n ；（4）∞→n lim n 31； （5）∞→n limn21；（6）∞→n limn10；（7）∞→n lim n21。

4、证明：若∞→n lim n a = a ，则对任一正整数k ，有∞→n lim k n a += a 。

5、试用定义1'证明： （1）数列{n1}不以1为极限；（2）数列{n n )1(-}发散。

6、证明定理2.1，并应用它证明数列{nn)1(1-+}的极限是1。

7、证明：若∞→n lim n a = a ，则∞→n lim |n a |= |a|。

当且仅当a 为何值时反之也成立？8、按ε—N 定义证明： （1）∞→n lim )1(n n -+=0；（2）∞→n lim3321n n++++ =0；（3）∞→n lim n a =1，其中,1nn -n 为偶数， n a =nnn +2，n 为奇数。

§2收敛数列的性质1、求下列极限：（1）∞→n lim 32413323++++n n n n ；（2）∞→n lim 221n n +；（3）∞→n lim 113)2(3)2(+++-+-n n nn ；（4）∞→n lim )(2n n n -+；（5）∞→n lim )1021(n n n +++ ；（6）∞→n lim n n31313121212122++++++ 。

2、设∞→n lim n a = a ，∞→n lim n b = b ，且a <b 。

证明：存在正数N ，使得当n >N 时有n a <n b 。

3、设{n a }为无穷小数列，{n b }为有界数列，证明：{n a n b }为无穷小数列。

4、求下列极限： （1）∞→n lim ))1(1321211(+++⋅+⋅n n ； （2）∞→n lim )2222(284n ；（3）∞→n lim )2122321(2n n -+++； （4）∞→n limnn11-； （5）∞→n lim ))2(1)1(11(222n n n ++++ ； （6）∞→n lim )12111(222nn n n ++++++ 。

5、设{n a }与{n b }中一个是收敛数列，另一个是发散数列。

证明{n a ±n b }是发散数列，又问{n a n b }和{nb a }（n b ≠0）是否必为发散数列？6、证明以下数列发散：（1）{1)1(+-n n n}；（2）{nn )1(-}；（3）{4cos πn }。

7、判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）： （1）若{12-k a }和{k a 2}都收敛，则{n a }收敛；（2）若{23-k a }，{13-k a }和{k a 3}都收敛，且有相同极限，则{n a }收敛 8、求下列极限： （1）∞→n limnn 2124321- ； （2）∞→n lim!!1n p np ∑=；（3）∞→n lim 10],)1[(<<-+αααn n ；（4）∞→n lim 1||),1()1)(1(22<+++ααααn。

9、设m a a a ,,,21 为m 个正数，证明： ∞→n limnnm n n a a a ++21=max{m a a a ,,,21 }。

10、设∞→n lim n a = a 。

证明：（1）∞→n limnna n ][= a ； （2）若a >0，n a >0，则∞→n lim nn a =1。

§3数列极限存在的条件1、利用∞→n lim nn)11(+= e 求下列极限： （1）∞→n lim nn)11(-； （2）∞→n lim 1)11(++n n；（3）∞→n lim n n )111(++； （4）∞→n lim n n)211(+； （5）∞→n lim nn)11(2+。

2、试问下面的解题方法是否正确： 求∞→n lim n2。

解：设n a =n2及lim n a = a 。

由于n a = 21-n a ，两边取极限（n →∞）得a = 2 a ，所以a = 0。

3、证明下列数列极限存在并求其值：（1）设1a =2，1+n a =n a 2，n=1，2，…； （2）设1a =c （c >0），1+n a =n a c +，n=1，2，…；（3）n a =!n c n （c >0），n=1，2，…。

4、利用{n n )11(+}为递增数列的结论，证明{n n )111(++}为递增数列。

5、应用柯西收敛准则，证明以下数列{n a }收敛：（1）n a =n n 2sin 22sin 21sin 2+++ ； （2）n a =222131211n++++ 。

6、证明：若单调数列{n a }含有一个收敛子列，则{n a }收敛：7、证明：若n a >0，且∞→n lim1+n na a =l >1，则∞→n lim n a =0。

8、证明：若{n a }为递增（递减）有界数列，则 ∞→n l i m n a =sup{n a }（inf{n a }）。

又问逆命题成立否？9、利用不等式1+n b -1+n a>（n+1）n a （b-a ），b >a>0证明：{1)11(++n n }为递减数列，并由此推出{n n)11(+}为有界数列。

10、证明：|e-n n )11(+|<n3。

提示：利用上题可知e <1)11(++n n ；又易证1)11(++n n <n 3+nn)11(+。

11、给定两正数1a 与1b （1a >1b ），作出其等差中项2a =211b a +与等比中项112b a b =，一般地令21nn n b a a +=+，n n n b a b =+1，n=1，2，…。

证明：lim n a 与lim n b 皆存在且相等。

12、设{n a }为有界数列，记-n a =sup{n a ，1+n a ，…}，-n a =inf{n a ，1+n a ，…}。

证明：（1）对任何正整数n ，-n a ≥-n a ；（2）{-n a }为递减有界数列，{-n a }为递增有界数列，且对任何正整数n ，m 有-n a ≥-m a ；（3）设-n a 和-n a 分别是{-n a }和{-n a }的极限，则-a ≥-a ；（4）{n a }收敛的充要条件是-a =-a 。

总练习题1、求下列数列的极限： （1）∞→n limnnn 33+；（2）∞→n lim n e n 5；（3）∞→n lim )122(n n n ++-+。

2、证明：（1）∞→n lim n q n 2=0（|q|<1）；（2）∞→n lima n n lg =0（a ≥1）；（3）∞→n lim n n !1=0。

3、设∞→n lim n a = a ，证明：（1）∞→n limna a a n+++ 21= a （又问由此等式能否反过来推出∞→n lim n a = a ）；（2）若n a >0（n=1，2，…），则∞→n lim n n a a a 21= a 。

4、应用上题的结论证明下列各题：（1）∞→n lim nn 131211++++=0；（2）∞→n limna =1（a >0）； （3）∞→n limnn =1； （4）∞→n limnn !1=0；（5）∞→n limnn n != e ； （6）∞→n limnn++++ 321=1；（7）若∞→n limnn b b 1+= a （n b >0），则∞→n lim n n b = a ；（8）若∞→n lim （n a -1-n a ）= d ，则∞→n limna n= d 。

5、证明：若{n a }为递增数列，{n b }为递减数列，且∞→n lim （n a -n b ）=0， 则∞→n lim n a 与∞→n lim n b 都存在且相等。

6、设数列{n a }满足：存在正数M ，对一切n 有||||||12312--++-+-=n n n a a a a a a A ≤M 。

证明：数列{n a }与{n A }都收敛。

7、设a >0，σ>0，1a =)(21a a σ+，)(211nn n a a a σ+=+，n=1，2，…。

证明：数列{n a }收敛，且其极限为σ。

8、设1a >1b >0，记 n a =211--+n n b a ，n b =11112----+n n n n b a b a ，n=2，3，…。

证明：数列{n a }与{n b }的极限都存在且等于11b a 。

9、按柯西收敛准则叙述数列{n a }发散的充要条件，并用它证明下列数列{n a }是发散的：（1）n a =n n)1(-；（2）n a =2sinπn ；（3）n a =n1211+++ 。

10、设∞→n lim n a = a ，∞→n lim n b = b 。

记n S = max{n a ，n b }，n T = min{n a ，n b }，n=1，2，…。

证明：（1）∞→n lim n S = max{ a ，b }；（2）∞→n lim n T = min{ a ，b }。

提示：参考第一章总练习题1。

习题答案§1数列极限概念3、（1）0，无穷小数列；（2）1；（3）0，无穷小数列；（4）0，无穷小数列；（5）0，无穷小数列；（6）1；（7）1。

§2收敛数列的性质 1、（1）41；（2）0；（3）31；（4）21；（5）10；（6）2。

4、（1）1；（2）2；（3）3；（4）1；（5）0；（6）1。

8、（1）0（提示：先证明n n 2124321- <121+n ）； （2）1（提示：!)!1(2!)!1()!2)(2(!!1n n n n n n p n np +-<+-+--<<∑=）； （3）0（提示：先证明0<1)1(-≤-+αααn n n ）；（4）α-11（提示：记n n p 22)1()1)(1(ααα+++= ，则121)1(+-=-n n p αα）。