专题：基本不等式求最值的类型及方法解析：y x 1 2(x 1) (x2(x 1)1)2(xL 2LJ 21(x 1)2 22(x 1)、几个重要的基本不等式:①a 2b 2 2ababa 2b 2(a 、 x 1 x 133立; b R),当且仅当a = b 时，“=”号成立;22(x 1)③a 3 成立• 注: 二、函数 b 32 ab ab2(a 、当且仅当b R )，当且仅当a = b 时，“=”号成立;2(x2(x 1)21)即x 2时，“ 5”号成立，故此函数最小值是 -23c 33abc abc — b 3c3 3-(a 、 b、R )，当且仅当a = b = c 时，“=”号成评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。

通常 要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。

类型n ：求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：33----- abc , b c 3v abcabc ---------------- (a 、3① 注意运用均值不等式求最值时的条件:② 熟悉一个重要的不等式链: abf(x) ax b (a 、 x 0)图象及性质 (1)函数 f (x) ax a 、 0图象如图: (2)函数 f(x) ax a 、0性质:①值域: ,2 ab] [2 ab,);R ),当且仅当a = b = c 时，“=”号定 、三 等 ;2 2a b J --------------2①yx 2解析：①Q 0•- y(3 2x)(0 xx - ,• 32 当且仅当 2. 42y sin x cos x当且仅当 故此函数最大值是(3 2x)(0②单调递增区间：( );单调递减区间::],(0,］，,0).2xx 3 2x 即 x,•• sin x2sin 2x sin 2x .2sin x 2② y sin xcosx(0 x ) 23x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ]1 ,231时，“=”号成立，故此函数最大值是 1。

0,cos x 0，则y 0 ,欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。

coSx 2cos x (01 2 2 2(sin x sin x 2cosx)21 sin2 x sin 2x 2co^ x 34二 -------- —)刃 tan x 2，即x arctan^^ 时“=”号成立,评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。

类型川：用均值不等式求最值等号不成立。

4x —x例 3、若 x 、y R ，求 f (x) (0 x 1)的最小值。

三、用均值不等式求最值的常见类型类型I ：求几个正数和的最小值。

解法一：(单调性法)由函数f(x)Kax 一(a 、b 0)图象及性质知，当x (0,1］时，函数x 例1、求函数y x 12(x 1)的最小值。

2(x 1)2f (x) x -是减函数。

证明:x任取X 2(0,1]且 0 禺X 2 1，则f (X i )4 4 f (X 2) (X 1 X 2)()X 1 X 2(X 1 X 2) 4 空上 X-|X 2(X iX 2)^・，X 1X 2当且仅当X 8即XX 812,此时y号成立，故此函数最小值是 1&■/ 0 X-I X 2 1 ,••• X 1X 2 0,空「X-|X 20，则 f(X i ) f(X 2)f (X i ) f (X 2),解法三：（三角换元法）令 解法f(X) X -在（0,1上是减函数。

X故当X 1时，f （X ） -在（0,1上有最小值5。

X（配方法）0 X 1，则有 f (X )则：X 2y 「sin X 22~cos X8csc ? sin则有2cos X2X 2sec X8(18 ~ 2 sin X 1 2cos X2 2 2cot X ) 2(1 tan X ) 10 8cot X 10 2 (8cot X ) (2tan 2 X )18,易求得X12,此时y 3时“=”号成立，故最小值是22ta n X1&2 .X 0且单调递减，则f （x ）.X ）2 4在（0,1］上也是减函数, 即 f (X ) X 4—在（0,1上是减函数，当X 1时，f （x ） X -在（0,1上有最小值5。

X X解法三：（拆分法） 4 1 3 f(X ) X (0 X 1) (X ) 2 X 1 3 5 ,X X X V X 1当且仅当 X 1时“=”号成立，故此函数最小值是 5。

易知当0 X 1时, 评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法 也是较为简洁实用得方法。

类型W:条件最值问题。

8 例4、已知正数X 、y 满足一 X -1，求X 2y 的最小值。

y 评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法:8 1 8 1X 2 y （ ）（X 2 y ） 2!- 一 J x 2y 8。

原因就是等号成立的条件不一致。

X y X y类型V ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数x 、y 满足xy X y 3，试求xy 、X y 的围。

解法一：由X 0, y0 ,则 xy X y 3 xy 3 X y 2 xy ,解法一：（利用均值不等式） X 2y 8 1X 16y( )(X 2y) 10 - X yy X18,解法当且仅当 X y 即X 12,y3 时“:=”号成立,X 16yy X8 1 X（消兀法） 1得 y 由y 0X yX 82X2(X 8] 16 c 16 , c 、 16 X XX 2 (X 8)X 8 X 8X 8 X 88 1 1故此函数最小值是 X 2y10 2 (X — 0 又 X 0 X 81&X 8，则即(xy)2 当且仅当当且仅当X 解法二：由则:则：xy当且仅当0,y2 xy3 0 解得xyy 且xy X y 3 即 X X xy (—2y 且xy X0 , xy，由y 3时取“=”号，故xy 的取值围是［9, y )2 (X y)24(X y) 12 0 X3时取“=”号，故X (X 1)yy2(舍)或xy 的取值围是［6, 8) ；68 10 1& X 2 3X X 1G (X(X 1)2 5(X1) 4(X 1)4(X 1)X 10)即X3，并求得3时取“=”号，故xy 的取值围是 [9,(X 1)X 4141 (X 1)「1 2)06 ,)09 ,)02 6,当且仅当x 1 —(x 0)即x 3，并求得y 3时取“=”号，故xy 的取值围是［9,)。

x 1 评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。

四、均值不等式易错例析： 9当且仅当2x 2x，即 36 x —岀时等号成立，所以当 x2ymin3 36。

x 4 x 9例1.求函数y ------------------------- -- 的最值。

x例3.x 25 x 2 4(xR)的最小值。

错解：y 2x 13x36 —36 一 c ■'36“13 x13 2、x25xxV x6时，y 的最小值为 错解:当且仅当x36即x6时取等号。

所以当 x 25,此函数没有最大值。

分析: 忽视了取最小值时须x 2分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。

所以y min 2x 4 x 9因为函数y 的定义域为，所以须对x 的正负加以分类讨论。

正解: 1)当x 0时,y 13 36 13 厂I 2. x 36 25 当且仅当x 6时取等号。

所以当 6 时，y min 25成立的条件, 4而此式化解得x 23，无解，所2)当x时,x c 36门 0， 0，xx36y 13 [(x)( )]13 12 136 x当且仅当x即x 6时取等号, 所以当x 92的最小值。

例2. 当x 0时，求y 4xx错解： 因为x 0，y4x 9 …9 2 24x 26 ■- xxx36分析: 所以当且仅当4x39时,.46y min—<x 6时,2318 。

36 x12xy max 13 12 1.用均值不等式求“和”或“积”9而上述解法中4x 与二x的最值时, 必须分别满足 “积为定值” 或“和为定值”，的积不是定值，导致错误。

正解：因为x 0，y 4x 2x 2x39 32x 2x2\x33 36以原函数y 取不到最小值2。

一21正解：令 t . x 4 t 2，则 y t - (t 2)15又因为t 1时，y t ［是递增的。

所以当t 2，即x 0时，y min1 4例4.已知x, y R 且 1，求u x y 的最小值.x y错解:u x y 2 xy 8, u 的最小值为8.分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为 正解：u (x y)(」—) 5经 丿5 49x y yx时成立，故取不到最小值 8.--和x y ，而这两个式子不能同x y4x当且仅当竺即x 3, y 6时等号成立.u 的最小值为9y x综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式 子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。

技巧一：凑项例1 :已知 x 5，求函数y 4x 21的最大值。

44x 5解：因4x 5 0,所以首先要“调整”符号，又(4x 2)g1§不是常数，所以对 4x 2要进行拆、凑项, 当且仅当5 4x 5,5 4x 0， y 4x 2 41 ，即x 1时，上式等号成立，故当5 4x154x 5X 1 时，y max技巧二：凑系数 例2.当时，求y x(8 2x)的最大值。

解析：由 「•二知， ，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到 2x (8 2x) 8为定值，故只需将 y x(8 2x)凑上一个系数即可。

A = ^(8-2X )气［2工•(E - 2巾 < 女骚亠:一吟-8 当二 —，即x = 2时取等号 当x = 2时，y x(8 2x)的最大值为8。

技巧三：分离 2x 27x 10 例3.求y (x 1)的值域。

x 1 解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x + 1 )的项，再将其分离。

—+ 5)，牛上+心季+屮=(小)X + 1 9 (当且仅当x = 1时取“=”号)。