证明不等式的13种方法
咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平
不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙.
1．排序方法
对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明.
例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证：
()22229 1.
a b c abc +++≥2．增量方法
在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R +
∈，试证：2222
a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法
利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式.
例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证：
2222222221.16
x y y z z x x y z +++≤4．切线方法
通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证：
323235
x y +≤++..
5．调整方法
局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明.
例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4
ab bc ca abc ++-≤
6．抽屉原理
在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果.
例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x
->+7．坐标方法
构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式.
例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证：
()()()22
22222
22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法
构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式.
例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+
∈≥求证：9．向量方法
构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去.
例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：
4
≤.
10．放缩方法
不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处.
例10已知数列{}n a 中，首项132
a =
，且对任意*1,n n N >∈，均有
11n n a a +=++()211332.42
n n n a -+<<⨯-11．函数方法
构造函数后，应用导数方法研究函数的单调性，据此可以证明一些不等式.
例11（2009年全国高中数学联赛第一试第15题改编）求证：
11.
≤
例12已知110,1,x x >≠且2*12(3)()31
n n n n x x x n N x ++=∈+，求证：数列{}n x 对任意*n N ∈都满足1n n x x +<，或满足1.
n n x x +>12．判别式法
在二次函数、二次方程的环境里，利用判别式可以证明一些不等式.
例13对于任意实数x,y,z,均有
()()()()22223111.4
x y z x y z +++≥++
当且仅当x y z ===.13．不等式法
一些重要不等式，诸如柯西不等式、均值不等式等等，都是证明一些不等式的有效工具.例14在ABC 中，求证：
2223sin sin sin .2224
A B C ++≥例15(2010年山东省高中数学预赛试题)设非负实数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：
19(19).4
abc ab bc ca abc ≤++≤+例16设,,a b c R +∈，且1abc ≥，正整数,m n 满足()2
1n m +>，求证：3
1.1m m m m n a b c a n b n c n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥ ⎪⎪⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。