蓝、白、黑4种颜色的口袋中，所以红球有 A
1种放法，其余的
4
四个球在四个位置全排列有
A
种4 放法，由分步乘法计数原理
4
得到不同的放法共有
A
1 4
A=44 96(种).
答案：96
考点2 组合问题的应用
【典例2】(1)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,
其和为偶数,则不同的取法共有( )
【解析】选C.①错误.当两个排列的所有元素完全相同,但其排 列顺序不同时,仍然不是相同排列,所以错误.②错误.组合数公 式的连乘形式常用于计算具体的组合数,阶乘形式常用于对含 有字母的排列数的式子进行变形,所以该说法错误.③正确.当两 个组合的元素完全相同时,能得出这两个组合是相同组合;当两 个组合相同时,能得出它们的元素完全相同.④正确.由定义易知, 取出的元素各不相同,因此取了的不能再取了.
【知识梳理】 1.排列与组合的概念
名称 排列
组合
从n个不同元素 中取出m(m≤n) 个元素
定义 按照一定的顺序_排__成__一__列__
合成一组
2.排列数与组合数的概念
名称 排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取 出m(m≤n)个元素的 所有不同
排列的个数 组合的个数
3.排列数与组合数公式
(1)排列数公式：
【规范解答】(1)选D.全是奇数时，有
C
=4 5(种)；全是偶数
5
时，有 C
4=1(种)；两奇两偶时，有
4
C24=C6520(种)，故共有
66种.
(2)分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，
有
C
1 3
C种24 不同的选法.
②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C
2 3
C
1 4
种不同的选法．
2.含有附加条件的组合问题的常用方法 通常用直接法或间接法,应注意“至少”“最多”“恰好”等 词的含义的理解,对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题, 既可考虑反面情形即间接求解,也可以分类研究进行直接求解. 提醒:区分一个问题是排列问题还是组合问题,关键在于是否与 顺序有关.
【变式训练】从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽 样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种 数为( )
A
种3 排法，由
4
分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×
A
＝3 48个， 4
故选C.
5.若 C 1 n3＝ C7 n， 则 C 1 n8 ＝
.
【解析】因为 C1n3＝C所7n，以13＝n－7，所以n＝20，
所以 C1280＝＝C2210 90.
答案：190
6.(2019·大纲版全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1
②再排其余3个字母,共有
A
种3 排法;所以一共有
3
=480(种)排法.
答案：480
C 3 6A 2 2A 2 2A 3 3
高考指数 ◆◆◆ ◆◆◆
【通关锦囊】
重点题型 分配问题 多元问题
破解策略
1.相同元素的“分配”问题,常用 的方法是采用“隔板法” 2.不同元素的“分配”问题,利用 分步计数原理,分两步完成,第一步 是分组,第二步是发放 3.限制条件的分配问题采用分类法 求解
A . A 1 3 0 种 B . C 1 3 0 种 C . C 1 3 0 A 1 3 0 种 D . 3 0 种
【解析】选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即C
3 10
.
2.从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的
4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有
种．
【解析】(间接法)共有 C74－＝C344 4(种)不同的选法． 答案：34
不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的 排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中
对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除 以定元素的全排列
正难则反,等价转化的方法
【变式训练】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单， 开演前又增加了2个新节目．如果将这2个新节目插入原节目单 中，那么不同插法的种数为( ) A.42 B.96 C.48 D.124
位(成一排),现有3名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有2
个连续空座位的候车方式的种数是( )
A.48
B.54 C.72
D.84
(2)(2019·大纲版全国卷)6个人排成一行,其中甲、乙两人不
相邻的不同排法共有
种.(用数字作答)
【解题视点】(1)6个候车位,有3名乘客,故有三个空座位,而
要求的恰好是2个连续空座位的候车种数,则空座位分为2个连
50 000的偶数共有( )
A.60个
B.48个
C.36个
D.24个
【解析】选C.由题意，符合要求的数字共有2× 3 A=33 36(个).
2.有5个不同的红球和2个不同的黑球排成一列，其中红球甲
和黑球乙相邻的排法有( )
A.720种 B.768种 C.960种 D.1 440种
【解析】选D.两个元素相邻的问题，一般用捆绑法，把红球甲
所以不同的选法共有 C13C42C =321C814+12=30(种)．
答案：30
【易错警示】分类讨论不全面致误 在本例的两个题中都涉及分类讨论,很容易因讨论不全面,
使得解答不全面,从而导致答案不正确.
【规律方法】 1.组合问题的常见题型及解题思路 (1)常见题型:一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问 题、分组问题等. (2)解题思路:①要在仔细审题的基础上,分清问题是否为组合问 题;②对较复杂的组合问题,要搞清是“分类”还是“分步”,一 般是先整体分类,然后局部分步,将复杂问题通过两个原理化归 为简单问题.
4．组合数的性质
(1) C
m n
=__C_nn__m _.
(2) Cm n Cm n1 =__C_mn_ 1__.
【考点自测】 1.(思考)下面关于排列和组合的结论正确的是( ) ①所有元素完全相同的两个排列为相同排列; ②组合数公式的阶乘形式主要用于计算具体的组合数; ③两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同; ④排列定义规定给出的n个元素各不相同,并且只研究被取出 的元素也各不相同的情况.也就是说,如果某个元素已被取出, 则这个元素就不再取了. A.①② B.②③ C.③④ D.①④
2.有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上 有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有( )
A . A 8 8 种 B . A 8 4 种 C . A 4 4 A 4 4 种 D . 2 A 4 4 种
【解析】选C.司机、售票员各有
A
种4 分配方法，由分步乘法
4
计数原理知共有
A
4 4
【解析】选A.方法一：分两种情况：
(1)增加的2个新节目相连，(2)增加的2个新节目不相连；故不
同插法的种数为 A16A22=A4622．
方法二：7个节目的全排列为 A
，7 两个新节目插入原节目单
7
中，那么不同插法的种数为
A
7 7
A
5 5
=A 472 2.
【加固训练】
1.数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于
考点3 排列、组合的综合应用
高频考点 通关
【考情】高考对排列、组合要求的特点是基础和全面,都是以
考查基本概念、基础知识和运算为主,能力要求主要是以考查
分析问题和解决问题为主,多以选择题和填空题的形式出现.
【典例3】(1)(2019·北京高考)从0,2中选一个数字,从
1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的
A
种2 排法,
4
则共有 A33 A=2472种候车方式.
(2)将除去甲、乙的四人排成一行有
A
种4 排法,四人中有5个空
4
排甲、乙,有
A
种2 排法,所以共有 5
A=44 4A852 0(种).
答案:480
【互动探究】把第(2)题中的“甲、乙两人不相邻”改为
“甲、乙两人相邻”，则不同排法共有多少种？
【解析】甲、乙两人相邻有
个数为( )
A.24 B.18 C.12 D.6
(2)(2019·浙江高考)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且
A,B均在C的同侧,则不同的排法共有
种(用数字作
答).
【解题视点】(1)考虑特殊元素0,与特殊位置个位.如果选0,则 0只能在十位,个位必须是奇数. (2)按照要求先排A,B,C,剩下的再排D,E,F.
A.C3 6C2 4 C.C1 50
B.C6 2C3 4 D.A3 6A2 4
【解析】选A.根据题意，即从6名女生，4名男生中抽取3名女
生，2名男生组成课外小组，则从6名女生中抽取3名女生有
C
3种情况，从4名男生中抽取2名男生有
6
C种24 情况，由分步
乘法计数原理，可得共 C36 C种42情况.
【加固训练】 1.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )
n!
①A
m n
=
_n_(_n_-_1_)_(_n_-_2_)_…__(_n_-_m_+_1_)_=___n__m___! _;
②A
n n
=_n_!_.
(2)组合数公式：
C
m n
A
m n
A
m m
=
nn1n2 nm 1
___________m __!__________
n!
=__m_!__n__m__ !__.
名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果