中考数学专题复习六 几何（圆）【教学笔记】一、与圆有关的计算问题（重点）1、扇形面积的计算扇形：扇形面积公式 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积圆锥侧面展开图：（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+（2）圆锥的体积：213V r h π=2、弧长的计算：弧长公式 180n Rl π=； 3、角度的计算二、圆的基本性质（重点）1、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．2、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半；推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）相等的圆周角所对的弧也相等。

（3）半圆（直径）所对的圆周角是直角。

（4）90°的圆周角所对的弦是直径。

注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。

3、垂径定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论：（1）平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 （4）在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等三、圆与函数图象的综合一、与圆有关的计算问题【例1】（2016•资阳）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（）A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π【解答】解：∵D为AB的中点，∴BC=BD=AB，∴∠A=30°，∠B=60°．∵AC=2，∴BC=AC•tan30°=2•=2，∴S阴影=S△AB C﹣S扇形C B D=×2×2﹣=2﹣π．故选A．【例2】（2014•资阳）如图，扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（）A．﹣2B．﹣2C．﹣D．﹣解答：连接OC，∵∠AOB=120°，C为弧AB中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC=OB=2，∴△AOC、△BOC是等边三角形，∴AC=BC=OA=2，∴△AOC的边AC上的高是=，△BOC边BC上的高为，∴阴影部分的面积是﹣×2×+﹣×2×=π﹣2，故选A．【例3】（2013•资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（）πBππ=【例4】（2015成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 弧线的长分别为（ ）A ．2，3πB ．πC 23πD ．43π【课后练习】1、（2015南充）如图，P A 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 的切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P =40°，则∠ACB 的大小是（ B ）A ．40°B ．60°C ．70°D ．80°2、（2015达州）如图，直径AB 为12的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B ′，则图中阴影部分的面积是（ B ）A ．12πB ．24πC ．6πD ．36π3、（2015内江）如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直径，∠BCD =120°，过D 点的切线PD 与直线AB 交于点P ，则∠ADP 的度数为（ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．45°解析：连接BD ，∵∠DAB=180°-∠C=50°，AB 是直径，∴∠ADB =90°，∠ABD =90°-∠DAB=40°，∵PD 是切线，∴∠ADP =∠B=40°．故选A ．4、（2015自贡）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝32，则阴影部分的面积为 A ．2π B ．π C ．3π D ．32π解析：∠BOD ＝60°5、（2015凉山州）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠OBC=40°，则∠A 的度数为（ ） A ．80° B ．100° C ．110° D ．130°6、（2015凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径 （ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm7、（2015泸州）如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，若∠C =65°，则∠P 的度数为（ ） A ．65° B ．130° C ．50° D ．100°8、（2015眉山）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ACO =450，则∠B 的度数为（ ） A ．300 B ．350 C ．400 D 4509、（2015巴中）如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC =50°，则∠OAB 的度数为（ ） A ．25° B ．50° C ．60° D ．30°10、（2015攀枝花）如图，已知⊙O 的一条直径AB 与弦CD 相交于点E ，且AC =2，AE CE =1，则图中阴影部分的面积为（ ）A B C ．29π D ．49π11、（2015甘孜州）如图，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角为90°，连接AB ，则图中阴影部分的面积是 （ ）A．π﹣2B．π﹣4C．4π﹣2D．4π﹣412、（2015达州）已知正六边形ABCDEF cm，则正六边形的半径为cm．13、（2015自贡）如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点．若CD＝3，则劣弧AD的长为．14、（2015遂宁）在半径为5cm的⊙O中，45°的圆心角所对的弧长为cm．15、（2015宜宾）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是CF的中点，弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2，则CF= ．16、（2015泸州）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．17、（2015眉山）已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半经是_________cm．18、（2015广安）如图，A．B．C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C= 度．19、24．（2015巴中）圆心角为60°，半径为4cm的扇形的弧长为cm．20、（2015甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为度．二、圆的基本性质【例1】（2016•资阳）如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN==．【例2】（2015•资阳）如图11，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E 为BC的中点，连接DE.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值.解答：解：（1）连接OD，BD，∴OD=OB ∴∠ODB=∠OBD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°．∵E为BC的中点，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD，∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，即∠EDO=∠EBO．∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO=90°，∴∠ODE=90°，∴DE是⊙O的切线；（2）作EF⊥CD于F，设EF=x∵∠C=45°，∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，∴CF=EF=x，∴BE=CE=x，∴AB=BC=2x，在RT△ABE中，AE==x，∴sin∠CAE==．【例3】（2014•资阳）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD；（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在Rt△AOC中，AC=2，∴OC==3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴=，即=，∴CE=．【例4】（2013•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．AC=OE=r根据翻折的性质，所对的圆周角等于所对的圆周角，【课后练习】1、（2015达州）如图，AB 为半圆O 的在直径，AD 、BC 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，连接OD 、OC ，下列结论：①∠DOC =90°，②AD +BC =CD ，③22ΔAOD ΔBOC ::S S AD AO =，④OD ：OC =DE ：EC ，⑤2OD DE CD =⋅，正确的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 解析：如图，连接OE ，∵AD 与圆O 相切，DC 与圆O 相切，BC 与圆O 相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE ，CE=CB ，AD ∥BC 。