9.8 方向导数与梯度
9.8.1 方向导数
定义9.5 (方向导数)
设二元函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某一邻域
内有定义, l 是以P0(x0, y0) 为起点的射线, y l (cos , cos ) 为其方向向量. 如果极限
l



P
f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) P0 lim O t 0 t
类似地, 如果三元函数 u f ( x, y, z )在点P0 ( x0 , y0 , z0 ) 且 f l
f f cos cos y P z P0 P0 0 其中 cos , cos , cos 为l 的方向余弦.
7
处可微, 则在该点沿任意方向 l 的方向导数都存在 ,
9
6 x2 8 y2 函数u z 1 3 2 , cos cos , cos 14 14 14 u 6x 6 x P z 6 x 2 8 y 2 P 14
u 8y y P z 6 x 2 8 y 2
P
P (1,1,1)
8 14
u 6x 8 y z P z2
向量微分算子或哈密尔顿算子,则梯度又可记为
f f grad f ( x , y ) x , y f
17
结论:
函数在某点的梯度是这样一个向量,
它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 梯度的模为
f f | grad f ( x , y ) | x y f f 沿着 x , y 方向, 函数减少得最快.
l
称为f (x, y)沿方向 l 的方向导函数(简称方向导数).
2
f f ( x t cos , y t cos ) f ( x , y ) lim 方向导数 l t 0 t
是函数在某点沿任何方向的变化率. t一定为正!
f f ( x x , y ) f ( x , y ) lim 偏导数 x x 0 x f f ( x , y y ) f ( x , y ) lim y y 0 y
2
2
14
P
故 u n
P
11 u u u . x cos y cos z cos P 7
10
考虑函数 z x 3 y 2 , 定点 P0(3,1), P1(2,3). 求函数在 P0 沿 P0 P1 方向的方向导数. 解
z x
3 x2 y2
P0
P0
27,
z y
P0
2 x 3 y 54 P
0
P0 P1 ( 1,2),
1 cos , 5
z l
| P0 P1 | 5
2 cos 5
P0
2 81 1 54 27 5 5 5
13
f f f f cos cos cos . l x y z
f f 其中 G x , y , l (cos , cos ), l 1.
而
f 当 l 与G 方向一致时,方向导数取最大值 max l G , f 当 l 与G 方向相反时,方向导数取最小值 min l G . 16
解
u u u gradu( x, y, z ) i j k x y z
(2 x 3)i (4 y 2) j 6zk
故 令
gradu(1,1,2) 5i 2 j 12k .
(2 x 3)i (4 y 2) j 6zk 0,
分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线 的变化率. Δx、Δy可正可负！
3
定理9.12 如果 z f ( x, y)在点P0 ( x0 , y0 )处可微, 则函数 在该点沿任意方向 l 的方向导数都存在 , f f f cos cos 且 l P0 x P0 y P 0 其中 cos , cos 为l 的方向余弦.
f x cos
P0
例 设 n是曲面 2 x2 3 y2 z 2 6 在点P(1,1,1)
处指向外侧的法向量, 求函数 u 在P点处沿方向 n的方向导数 .
6 x2 8 y2 z
解 令 F ( x, y, z) 2 x2 3 y2 z 2 6,
Fx
, Fy , Fz) P (4, 6, 2), 故 n (Fx
P
4 x P 4, Fy
P
6 y P 6, Fz P 2 z P 2
其方向余弦为
1 cos 14
n 42 62 22 2 14,
2 3 cos , cos , 14 14
1
x
存在, 则称此极限为函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0)
f 处沿方向 l 的方向导数, 记为 l
f ( x 0 , y0 ) ,或 . l P
0
注: 方向导数是函数沿半直线方向的变化率. 如果函数 f (x, y)在区域D内任何一点(x, y)处沿方向
f 为D内的一个函数, l 的方向导数都存在, 则
24
2 ). (1,2,2) 9
作业
习题9.8 (209页) 1. (3) 2. 3.(3)
26
3 1 可得, 在 P0 , ,0 处梯度为 0. 2 2 23
函数u ln(x 2 y 2 z 2 )在点M (1,2,2)处
的梯度grad u M (
u u u 解 grad u M , , x y z M 2x 2y 2z 2 2 2, 2 2 2, 2 2 2 x y z x y z x y z M 2 (1,2,2). 9
函数u ln( x
y 2 z 2 )沿点A(1,0,1)指向点
1 B(3,2,2)方向的方向导数为 ( 2
).
解 此方向的方向向量为 ( 2,2,1). 2 1 2 , cos , cos , cos 3 3 3 u 1 u u 1 0, , , y A z A 2 x A 2
u l
A
2 1 2 1 1 1 ( ) 0 . 3 2 3 3 2 2
15
9.8.2 梯度的概念 问题: 函数 z f ( x , y ) 沿什么方向的方向导数为
最大或最小? f f f 方向导数 cos cos G l , l x y
f f f x , y , z
此梯度也是一个向量, 其方向与取得最大方 向导数的方向一致, 其模为方向导数的最大值.
22
2 2 2 u x 2 y 3 z 3 x处梯度为零?
2 2
grad f
P
方向：f 变化率最大的方向 G: 模： f的最大变化率之值
18
grad f
梯度的概念可以推广到三元函数
设三元函数 u f ( x , y , z ) 在点P处可微分,
则函数在该点的梯度为
f f f grad f ( x , y , z ) f i j k x y z
f f z f ( x, y) 为函数 定义9.6 G , x y 在点P ( x, y )处的梯度, 记作 gradf ( x , y ).
f f f f 即 gradf ( x , y ) x , y x i y j . 引用记号 , , 称为奈布拉算子, 或称为 x y