习题六1. 指出下列各微分方程的阶数：(1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：2(1)2,5xy y y x '==;解：由25y x =得10y x '=代入方程得22102510x x x x ⋅=⋅=故是方程的解.(2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-;解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=.故是方程的解.2(3)20,e x y y y y x '''-+== ;解：2222e e (2)e ,(24)e x x x xy x x x x y x x '''=+=+=++代入方程得 2e 0x≠. 故不是方程的解.12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+代入方程得1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++=故是方程的解.3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+=证：方程22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得22x y y x y -'=- 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-==证：方程ln()y xy =两端对x 求导：11y y x y ''=+ (*)得(1)yy x y '=-.(*)式两端对x 再求导得22211(1)1y y x x y y ⎡⎤''+=-⎢⎥--⎣⎦将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：220(1),5;x x y C y =-==解：当0x =时，y =5.故C =-25故所求曲线为：2225y x -= 21200(2)()e ,0, 1.x x x y C C x y y =='=+==解： 2212(22)e x y C C C x '=++当x =0时，y =0故有10C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e xy x =.5. 求下列各微分方程的通解：(1)ln 0xy y y '-=;解：分离变量,得 d 1d ln y xy y x =积分得 11d ln d ln y x y x =⎰⎰ln ln ln ln y x c =+ln y cx =得 e cxy =.(2)y '=解：分离变量，得=积分得=⎰得通解：.c -=-(3)(e e )d (e e )d 0x y x x y y x y ++-++=;解：分离变量，得 e e d d 1e 1e y yy xy x =-+ 积分得 ln(e 1)ln(e 1)ln y xc --=+-得通解为 (e 1)(e 1)xyc +-=.(4)cos sin d sin cos d 0x y x x y y +=;解：分离变量，得 cos cos d d 0sin sin x yx y x y +=积分得 lnsin lnsin ln y x c+=得通解为 sin sin .y x c ⋅=(5)y xy '=;解：分离变量，得 d d yx xy =积分得211ln 2y x c =+得通解为 2112e(e )x c y c c ==(6)210x y '++=;解： 21y x '=-- 积分得(21)d y x x=--⎰得通解为2y x x c =--+. 32(7)4230x x y y '+-=;解：分离变量，得233d (42)d y y x x x =+ 积分得342y x x c =++ 即为通解.(8)e x y y +'=.解：分离变量，得 e d e d y xy x -=积分得e d e d y xy x -=⎰⎰得通解为： e e yxc --=+.6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：20(1)e ,0x y x y y -='== ;解：分离变量，得2e d e d y x y x = 积分得 21e e 2y x c=+. 以0,0x y ==代入上式得12c =故方程特解为 21e (e 1)2y x =+.π2(2)sin ln ,ex y x y y y ='== .解：分离变量，得 d d ln sin y xy y x =积分得 tan2e x c y ⋅=将π,e 2x y ==代入上式得1c =故所求特解为 tan 2exy =.7. 求下列齐次方程的通解：(1)0xy y '-=;解：d d y y x x =+令d d d d y y u u u xx x x =⇒=+ 原方程变为d xx = 两端积分得ln(ln ln u x c =+u cx y cx x +=+=即通解为：2y cx =d (2)ln d y y xy x x =; 解：d lnd y y y x xx = 令y u x =， 则d d d d y u u xx x =+ 原方程变为 d d (ln 1)u xu u x =- 积分得 ln(ln 1)ln ln u x c -=+ln 1ln1u cxycx x -=-=即方程通解为 1e cx y x +=22(3)()d d 0x y x xy x +-=解： 2221d d y y x y x y x xyx ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==令y u x =， 则d d d d y u u xx x =+ 原方程变为2d 1d u u u x x u ++=即 d 1d ,d d u x x u u x ux ==积分得211ln ln 2u x c =+2122ln 2ln y x c x =+ 故方程通解为22221ln()()y x cx c c == 332(4)()d 3d 0x y x xy y +-=;解：333221d d 33y y x y x x xy y x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭ 令y u x =, 则d d d d y u u xx x =+ 原方程变为 32d 1d 3u u u x x u ++=即 233d d 12u xu ux =- 积分得 311ln(21)ln ln 2u x c --=+ 以yx 代替u ，并整理得方程通解为332y x cx -=. d (5)d y x y x x y +=-;解：1d d 1yy x yx x +=- 令y u x =， 则d d d d y u u xx x =+ 原方程变为d 1d 1u u u x x u ++=- 分离变量,得 211d d 1u u x u x -=+ 积分得 211arctan ln(1)ln ln 2u u x c -+=+以y x 代替u ，并整理得方程通解为到2arctan 22211e .()yxx y c c c +==(6)y '=d d yyx=解：即d d x x y y =令x v y =， 则d d ,d d x v x yv v yy y ==+, 原方程可变为d d vv y v y +=即d d vyy =分离变量，得d yy =积分得ln(ln ln v y c =-. 即yv c +=2222121y v v c y yv c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-=以yv x =代入上式，得222c y c x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 即方程通解为 222y cx c =+.8. 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解：220(1)(3)d 2d 0,1x y x y xy x y =-+== ;解： 22d d 3yy xx y x =-⎛⎫- ⎪⎝⎭令y ux =，则得2d 2d 3u u u xx u +=--分离变量，得 233d d u xu u ux -=- 积分得 3ln ln(1)ln(1)ln u u u cx -+-++= 即 231ln ln u c u x -=得方程通解为 223y x cy -=以x =0，y =1代入上式得c =1.故所求特解为 223y x y -=.1(2),2x x yy y y x ='=+= .解：设y ux =， 则d d d d y u u xxx =+ 原方程可变为d d x u u x =积分得 21ln ln 2u x c=+.得方程通解为 222(ln ln )y x x c =+以x =1，y =2代入上式得c =e 2.故所求特解为 222(ln 2)y x x =+.9. 利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解：(1)(253)d (246)d 0x y x x y y -+-+-= 解：设1,1x X y Y =+=+，则原方程化为25d 25d 2424YY X Y X YX X Y X --==++令d 25d 24Y u u u u X X X u -=⇒+=+ 242d d 472X u Xu u u +⇒-=+-2222211(87)3ln d 247213d ln(472)224721114ln(472)d 262411141ln(472)ln ln 262u X uu u uu u u u u u uu u u u u c u +-⇒=-+-=-+-++-⎛⎫=-+-+-+ ⎪+-⎝⎭-=-+--++⎰⎰⎰26221623264223233416ln 3ln(472)ln ln ()241(472)2(41)(2)(41)(2),(u X u u c c c u u X u u c u X u u c X u u c c -⇒++-+==+-⇒+-⋅=+⇒-+=⇒-+==代回并整理得2(43)(23),(y x y x c c --+-== .(2)(1)d (41)d 0;x y x y x y --++-=解：d 1d 41y x y xy x --=-+- 作变量替换，令 1,0x X y Y Y=+=+=原方程化为1d d 414YY X Y X Y X X Y X --=-=-++ 令Y uX =,则得2d 1d 14d 14d 14u u u u u X X X u X u -++=-⇒=-++分离变量，得 214d d 14u X u ux +-=+ 积分得222211d(14)ln d 1421411arctan 2ln(14)22u X u u u u u c +=--++=-++⎰⎰即 22ln ln(14)arctan 2X u u c +++=22ln (14)arctan 2X u u c ⇒++=代回并整理得 222ln[4(1)]arctan .1yy x c x +-+=-(3)()d (334)d 0x y x x y y +++-=;解：作变量替换,v x y =+ 则d d 1d d y v x x =- 原方程化为 d 1d 34v v xv -=-- 11d 2(2)d 3434d d 2(2)31d d d 223ln(2)232ln(2)2,(2)v v x v v v x v v v x v v v x c v v x c c c -⇒=--⇒=-⇒+=-⇒+-=+⇒+-=+=⎰⎰⎰代回并整理得 32ln(2).x y x y c +++-=d 1(4)1d y x x y =+-.解：令,u x y =-则d d 1d d u y x x =-原方程可化为 d 1d u xu =-分离变量，得 d d u u x =-积分得2112u x c =-+2122u x c =-+故原方程通解为21()2.(2)x y x c c c -=-+= 10. 求下列线性微分方程的通解：(1)e x y y -'+=;解：由通解公式d de e e e d e ()e e d xx x x x x x y x c x c x c -----⎰⎡⎤⎰⎡⎤==⋅+=+⋅+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰2(2)32xy y x x '+=++；解：方程可化为 123y y x x x '+=++由通解公式得11d d 22e (3) e d 12(3)d 132.32x x x x y x x c x x x x c x x c x x x -⎡⎤⎰⎰=++⋅+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⋅+⎢⎥⎣⎦=+++⎰⎰sin (3)cos e ;xy y x -'+=解： cos d cos d sin sin e e ().e e d x xx x x x y x c x c ---⎰⎡⎤⎰==+⋅+⎢⎥⎣⎦⎰(4)44y xy x '=+;解：22(4)d (4)d 22e e 4e d 4e d x xx x x x y x x c x x c ----⎰⎡⎤⎰⎡⎤==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()222222e e e 1x x x c c -=-+=-.3(5)(2)2(2)x y y x '-=+-;解：方程可化为 2d 12()d 2y y x x x x -=--11d d 222ln(2)2ln(2)3e 2(2)e d e 2(2)e d (2)2(2)d (2)(2)x x x x x x y x x c x x c x x x c x c x --------⎰⎡⎤⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=--+⎣⎦=-+-⎰⎰⎰22(6)(1)24.x y xy x '++=解：方程可化为2222411x x y y x x '+=++222222d d 1123ln(1)224e e d 14e 4d 3(1)xx x x x x x x y x c x x c x x c x -++-+⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤=+=⎣⎦+⎰⎰11. 求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x =+== ;解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰以π,1x y ==代入上式得π1c =-，故所求特解为1(π1cos )y x x =--.2311(2)(23)1,0x y x y y x ='+-== .解：22323d 3ln x x x x c x --=--+⎰Q22223323d 23+3ln d 3ln e e e d e d x xx x x x x xx xy x c x c -------⎰⎡⎤⎰⎡⎤∴==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰2223311e .e e 22x x x x x c c ----⎛⎫⎛⎫=⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以x =1,y =0代入上式，得12e c =-. 故所求特解为2311e 22e x y x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 12. 求下列伯努利方程的通解：2(1)(cos sin );y y y x x '+=-解：令121z yy --==，则有d d (12)(12)(cos sin )sin cos d d z zz x x z x x x x +-=--⇒-=-(1)d (1)d e (sin cos )e d e e (sin cos )d e sin xx x xx z x x x c x x x c c x ----⎰⎡⎤⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+=-⎣⎦⎰⎰1e sin x c x y ⇒=-即为原方程通解.411(2)(12)33y y x y '+=-.解：令3d 21d zz y z x x -=⇒-=-.d de 21e (21)e d x x xz x c x x c -⎰⎡⎤⎰==--+-+⎢⎥⎣⎦⎰3(e 21)1xy c x ⇒--=即为原方程通解.13. 求下列各微分方程的通解：(1)sin y x x ''=+;解：方程两边连续积分两次得213121cos 21sin 6y x x c y x x c x c '=-+=-++ (2)e x y x '''=;解：积分得1e d e e x x x y x x x c ''==-+⎰112212123(e e )d e 2e 1(e 2e )d (3)e 2x x x x x x x y x c x x c x c y x c x c x x c x c x c '=-+=-++=-++=--++⎰⎰(3)y y x '''=+;解：令p y '=,则原方程变为d d 11,,e e 1e d xx x p p x p p x p c x x x c -⎰⎡⎤⎰''=+-===--+⎣⎦ 故 21121(e 1)d e 2x x y c x x c x x c =--=--+⎰.3(4)()y y y ''''=+;解：设y p '=， 则d d p y py ''=原方程可化为 3d d ppp py =+即 2d (1)0d p p p y ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦由p =0知y =c ，这是原方程的一个解.当0p ≠时，22d d 1d d 1p pp y y p =+⇒=+1121arctan d ln sin()tan()p y c yx y c c y c ⇒=-'⇒==---⎰2212arcsin(e )(e )cx y c c c '∴=+=1(5);y x ''= 解：11d ln y x c x x ''==+⎰1121211(ln )d ln ln ((1))y c x x x c x c x x x c x c c c x ''=+=-++'=++=-+⎰(6)y ''=;解：1arcsin y x x c '==+112(arcsin )d arcsin .y x c x x x c x c =+=+⎰(7)0xy y '''+=;解：令y p '=,则得1d d 00p x p p x p x '+=⇒+=1ln ln ln p x c ⇒+= 得1c p x = 故 112d ln cy x c c x x ==+⎰.3(8)10y y ''-=.解：令p y '=，则d d p y p y ''=.原方程可化为33d 10,d d d py pp p y y y --==22221112221211211222d d 221().c p y p y c x xc x c c x c c y c x c --⇒=-+⇒=-+⇒=⇒±=⇒±=+⇒=+⇒-=+⎰14.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：311(1)10,1,0x x y y y y =='''+===;解：令y p '=，则d d p y py ''=,原方程可化为 33d 11d d d p y pp p y y y ⋅=-⇒=-2212121112221p y c p c y -⇒=+⇒=+由1,1,0x y y p '====知，11c =-，从而有2d y p y xx c '==⇒=±⇒=±+由1,1x y ==,得21c =m故 222x y x += 或y =.211(2)1,0,1x x x y xy y y ==''''+===;解：令y p '=，则y p '''=. 原方程可化为211p p x x '+=11d d 11211e (ln )e d x x x x p x c x c x x -⎡⎤⎰⎰==++⎢⎥⎣⎦⎰则 11(ln )y x c x '=+以1,1x y '==代入上式得11c =则1(ln 1)y x x '=+221ln ln 2y x x c =++当x =1时，y =0代入得20c = 故所求特解为21ln ln 2y x x =+.2001(3),01x x y y y x =='''===+; 解：1arctan y x c '=+当0,0x y '==，得10c =222arctan d arctan d 11arctan ln(1)2xy x x x x x x x x x c ==-+=-++⎰⎰以x =0,y =0代入上式得20c =故所求特解为 21arctan ln(1)2y x x x =-+.200(4)1,1,0x x y y y y ==''''=+==;解：令p y '=，则p y '''=.原方程可化为 21p p '=+211d d 1arctan tan()px p p x c y p x c =+=+'==+以0,0x y '==代入上式得1πc k =.2tan(π)d ln cos(π)y x k x c x k =+=-++⎰以x=0,y=1代入上式得21c 故所求特解为ln 1cos(π)y x k =-++200(5)e ,0y x x y y y =='''===;解：令y p '=，则d d p y py ''=.原方程可化为2d e d y ppy =即2d e d y p p y = 积分得 221111e 222y p c =+ 221e y p c =+以0,0x y y '===代入上式得11c =-, 则p y '==2d arcsin e y xx c -=±=+m以x =0,y =0代入得2π2c =， 故所求特解为πarcsin e 2y x -=+m即πe sin cos 2y x x -⎛⎫==± ⎪⎝⎭. 即ln sec y x =.00(6)1,2x x y y y =='''===.解：令d ,d py p y py '''== 原方程可化为 12d 3d p p y y =123221d 3d 122p p y yp y c ==+以0,2,1x y p y '====代入得10c =故 342y p y '==±由于0y ''=>. 故342y y '=，即 34d 2d yxy=积分得 14242y x c =+以x =0,y =1代入得24c =故所求特解为4112y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 15. 求下列微分方程的通解：(1)20y y y '''+-=;解：特征方程为 220r r +-=解得 121,2r r ==-故原方程通解为212e e .x xy c c -=+ (2)0y y ''+=;解：特征方程为 210r +=解得1,2r i=±故原方程通解为 12cos sin y c x c x =+22d d (3)420250d d x xx t t -+=;解：特征方程为 2420250r r -+=解得 1252r r ==故原方程通解为5212()e t x c c t =+.(4)450y y y '''-+=;解：特征方程为 2450r r -+=解得 1,22r i=±故原方程通解为212e (cos sin )xy c x c x =+. (5)440y y y '''++=;解：特征方程为 2440r r ++=解得 122r r ==-故原方程通解为212e ()xy c c x -=+ (6)320y y y '''-+=.解：特征方程为 2320r r -+=解得 1,2r r ==故原方程通解为 212e e x xy c c =+.16. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：00(1)430,6,10x x y y y y y ==''''-+===;解：特征方程为 2430r r -+=解得121,3r r ==通解为 312e e x xy c c =+312e 3e x xy c c '=+由初始条件得 121122643102c c c c c c +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 故方程所求特解为 34e 2e x xy =+.00(2)440,2,0;x x y y y y y ==''''++===解：特征方程为 24410r r ++= 解得 1212r r ==-通解为1212()ex y c c x -=+22121e 22xx y c c c -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭ 由初始条件得 11221221102c c c c c =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩故方程所求特解为 12(2)ex y x -=+.00(3)4290,0,15;x x y y y y y ==''''++=== 解：特征方程为 24290r r ++= 解得1,225r i=-±通解为212e (cos5sin 5)xy c x c x -=+ 22112e [(52)cos5(52)sin 5]x y c c x c c x -'=-+--由初始条件得 112120052153c c c c c ==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ 故方程所求特解为23e sin 5xy x -=. 00(4)250,2,5x x y y y y =='''+===.解：特征方程为 2250r +=解得1,25r i=±通解为 12cos5sin 5y c x c x =+125sin 55cos5y c x c x '=-+由初始条件得 112222551c c c c ==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ 故方程所求特解为 2cos5sin 5y x x =+.17. 求下各微分方程的通解：(1)22e x y y y '''+-=;解： 2210r r +-=1211,2r r ∴=-=得相应齐次方程的通解为1212e e x xy c c -=+令特解为*e xy A =,代入原方程得2e e e 2e x x x x A A A +-=,解得1A =, 故*e xy =, 故原方程通解为212e e e x x xy c c -=++.2(2)25521y y x x '''+=--;解：2250r r +=1250,2r r ==-对应齐次方程通解为5212ex y c c -=+令*2()y x ax bx c =++, 代入原方程得 222(62)5(32)521ax b ax bx c x x ++++=--比较等式两边系数得137,,3525a b c ==-=则*321373525y x x x=-+ 故方程所求通解为532212137e3525x y c c x x x -⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭. (3)323e x y y y x -'''++=; 解：2320r r ++=121,2r r =-=-,对应齐次方程通解为 212e e x xy c c --=+令*()e xy x Ax B -=+代入原方程得(22)e 3e x x Ax B A x --++=解得 3,32A B ==-则*23e 32xy x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故所求通解为22123e e e32x x xy c c x x ---⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. (4)25e sin 2x y y y x '''-+=;解：2250r r -+=1,212r i=±相应齐次方程的通解为12e (cos 2sin 2)x y c x c x =+*e(cos2sin2)x=+，代入原方程并整理得y x A x B x令4cos24sin 2sin 2B x A x x -=得 1,04A B =-= 则 *1e cos 24x y x x=-故所求通解为 121e (cos 2sin 2)e cos 24x x y c x c x x x=+-.(5)2y y y x '''++=;解：2210r r ++=1,21r =-相应齐次方程通解为 12()e xy c c x -=+令*y Ax B =+代入原方程得2A Ax B x ++=得 1,2A B ==- 则 *2y x =-故所求通解为12()e 2xy c c x x -=++- 2(6)44e x y y y '''-+=.解：2440r r -+=1,22r =对应齐次方程通解为 212()e xy c c x =+令*22e xy Ax =代入原方程得121,2A A ==故原方程通解为222121()e e 2x x y c c x x =++.18. 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解：ππ(1)sin 20,1,1x x y y x y y =='''++===;解：特征方程为 210r +=得1,2r i=±对应齐次方程通解为 12cos sin y c x c x =+令*cos 2sin 2y A x B x =+代入原方程并整理得3cos23sin 2sin 2A x B x x --=-得10,3A B ==故通解为 121cos sin sin 23y c x c x x=++.将初始条件代入上式得 11221121133c c c c -==-⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-+==-⎪⎪⎩⎩ 故所求特解为 11cos sin sin 233y x x x=--+.200633(2)109e ,,77x x x y y y y y ==''''-+===.解： 21090r r -+=121,9r r ==对应齐次方程通解为 912e e x xy c c =+令*2e xy A =,代入原方程求得17A =-则原方程通解为 29121e e e 7x x xy c c =-++由初始条件可求得1211,22c c ==故所求特解为 9211(e e )e 27x x xy =+-.*19. 求下列欧拉方程的通解：2(1)0x y xy y '''+-=解：作变换e tx =，即t =ln x ,原方程变为 (1)0D D y Dy y -+-=即 22d 0d yy t -=特征方程为 210r -=121,1r r =-=故 12121e e t t y c c c c xx -=+=+.23(2)4x y xy y x '''+-=.解：设e tx =，则原方程化为3(1)4e t D D y Dy y -+-=232d 4e d t yy t -= ①特征方程为 240r -=122,2r r =-= 故①所对应齐次方程的通解为2212e e t t y c c -=+又设*3e t y A =为①的特解，代入①化简得941A A -=15A =, *31e 5ty =故223223121211e e e .55t t t y c c c x c x x --=++=++ 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。