两个三角形相似的条件一、相似三角形的判定方法：相似三角形的判定方法可类比全等三角形的判定方法进行研究判定方法类比：全等三角形相似三角形两边和其夹角对应相等，两三角形全等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判两角和其夹边对应相等，两三角形全等两角对应相等，两三角形相似定三边对应相等，两三角形全等三边对应成比例，两三角形相似方斜边和一条直角边对应相等，两直角三一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一法角形全等个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似此外还有：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原直角三角形相似二、相似三角形判定中常见常用的基本图形1、平行线型（两线平行，则相似）2、相交线形（两角相等，则相似）3、旋转型三、例题：例1、选择题：已知，如图ΔABC 中，DE//BC，BE 与CD 交于F 点，则图中相似三角形共有（）对。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 分析：因为DE//BC，图中有两个基本图形，即ΔADE∽ΔABC，ΔDEF∽ΔCBF。
故应选B。
例2、填空题：如图，□ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F，则图中共有________对相似三角形。
分析：因为平行四边形对边平行，所以有AB//CD即BF//CD，又有AD//BC，所以图中相似三角形有ΔEBF∽ΔECDΔEBF∽ΔDAF，ΔECD∽ΔDAF，共 3 对。
解略。
0 例3、如图，ΔABC是等边三角形，∠DAE120 ，求证：ADAEABDE 分析：把要证的乘积式化为比例式：，竖着看，等式左边AD，AB在ΔABD中，等式右边DE，AE在ΔADE中，如果能证明ΔABD与ΔEAD相似问题就能得到解决。
证明：∵ΔABC是等边三角形，0 ∴∠ABC60 ，0 0 ∴∠ABD180 -∠ABC120 ，0 ∵∠DAE120 ，∴∠ABD∠DAE，在ΔABD和ΔEAD中，∠ABD∠EAD，∠D∠D，∴ΔABD∽ΔEAD，∴∴ADAEABDE。
说明：本题的思路是将乘积式转化为比例式，然后找到两个三角形，用相似三角形的判定，证明它们相似，由此得到比例式，最后利用比例的基本性质得到乘积式。
这是证明乘积式的一种常见方法。
请同学们注意。
例4、已知：如图，ADABAEAC。
求证：ΔFDB∽ΔFEC 分析：欲证ΔFD B∽ΔFEC，观察图形只有∠DFB∠EFC，还需再寻找一个条件，由ADABAEAC可得比例式：而∠A是公共角，可得ΔABE∽ΔACD，从而可得∠B∠C，使条件成熟。
通过相似得角等，这又是一种证明角等的方法。
证明：∵ADABAEAC ∴又∵∠A∠A，∴ΔADC∽ΔAEB，∴∠B∠C，ΔFDB和ΔFEC中，∵∠B∠C，∠DFB ∠EFC，∴ΔFDB∽ΔFEC。
例5、正方形ABCD中，E是AD中点，BM⊥CE于M，AB6cm，求BM的长。
分析：依题意正确画出图形，∵AD//BC，∴∠1∠2，易证RtΔBMC∽RtΔCDE，由此可以得到比例式：，其中线段BC，EC，CD的长都可以求出来，从而可求出BM的长。
由相似得比例式，再由比例式求线段的长，这也是常用的计算方法。
解：如图，在正方形ABCD中，0 ∠D90 ，ABBCCDAD6cm ∵AD//BC，∴∠1∠2，0 ∵BM⊥CE，∴∠BMC90 ，∴∠BMC∠D，ΔBMC和ΔCDE中，∵∠1∠2，∠BMC∠D，∴ΔBMC∽ΔCDE，∴，∴BM ，∵E是AD中点，∴ED AD3cm. 由勾股定理得：CE 3 ∴BM （cm）∴BM cm。
测试选择题 2 1．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S 矩形＝40cm ，S △ABE ∶S△DBA ＝1∶5，则AE的长为（）A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm 2．如图，□ABCD中，在E是BC上的一点，AE交BD 于点F，已知BE∶EC＝3∶1，S △FBE ＝18，则S △FDA 的大小为（）。
A．24 B．30 C．32 D．12 3．如图，点且在正方形ABCD 中，E 在AB 边上，AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G，交BC 于F，则△AEG 的面积与四边形BEGF 的面积比为（）A．1∶2 B．1∶4 C．4∶9 D．2∶3 4．如图，高△ABC 的底边BC＝a，AD＝h，矩形EFGH 内接于△ABC，其中E、F 分别在边AC、AB 上，G、H 都在BC 上，且EF＝2FG。
则矩形EFGH 的周长是（）。
A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，∠B＝∠ADE＝∠CAD，，设△EBD、△ADC、△ABC的周长依次为m 1 、m 2 、m 3 .那么的值是。
A．2 B．4 C．D．答案与解析答案：1、A 2、C 3、C 4、B 5、D 解析：1．A 解∵∠BAD＝90°，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA。
2 2 ∴S △ABE ∶S △DBA ＝AB ∶DB 。
∵S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5 2 2 ∴AB ∶DB ＝1∶5，∴AB∶DB＝1∶。
设AB＝k，DB＝k，则AD＝。
2 ∵S 矩形＝40cm ，∴k2k＝40。
∴k＝2 。
∴BD＝k＝10，AD＝4 。
S △ABD ＝BDAE＝20，∴10AE＝20 ∴AE＝4（cm）。
故选A。
2．C 3．C 分析易证△ABF≌△DAE。
故知BF＝AE。
因AE∶EB＝2∶1，故可设AE＝2x，EB ＝x，则AB＝3x，BF＝2x。
由勾股定理得AF＝＝。
易证△AGE∽△ABF。
可得S △AGE ∶2 2 2 2S △ABF ＝AE ∶AF ＝（2x）∶（）＝4∶13。
可得S △AGE ∶S 四边形BEGF ＝4∶9。
故选C。
4．B 分析：由题目条件中的EF＝2FG得，要想求出矩形的周长，必须求出FG与高AD＝h的关系。
由EF‖BC得△AFE∽△ABC，则EF与高h即可联系上。
解：设FG＝x，则∵EF＝2FG，∴EF＝2x。
∵EF‖BC，∴△AFE∽△ABC。
又AD⊥BC，设AD交EF于M，则AM⊥EF。
∴。
即。
∴。
解之，得x＝∴矩形EFGH 的周长为6x＝。
评注：此题还可以进一步求出矩形的面积。
若对题目再加一个条件：AB ⊥AC，那么还可2证出FG ＝BGCH。
通过这些联想，就会对题目的内在的联系有更深的理解，也会提高自己的数学解题能力。
5．D 解析：由∠CAD＝∠ADE，∴得AC‖DE，△ABC∽△EBD，又∠B＝∠CAD，∴∠C＝∠C，△ABC∽△DAC。
∴△ABC∽△EBD ∽△DAC。
即△EBD∽△DAC∽△ABC。
再利用相似三角形的周长比等于相似比即可得出。
中考解析中考典例1．（福建厦门）如图ΔABC中P是AB上一点，连结CP要使ΔACP∽ΔABC，只需添加条件（只写一个合适的条件）．考点：相似三角形的判定评析：因为两个三角形中有一公共∠A，可以再找另一个角对应相等即可．可添加∠APC 2∠ABC或∠ACP ∠ABC；若利用对应边成比例、夹角相等，可添加AC APAB．应注意不能添或．2．（上海市）如图，在大小为4×4 的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A 1 B 1 C 1 ，使△A 1 B 1 C 1 ∽△ABC（相似比不为1），且点A 1 、B 1 、C 1 都在单位正方形的顶点上．图1 考点：相似三角形的判定评析：由原图中可知△ABC中，CB2，AB ，∠ABC135°．以135°角为突破口，所以要画出的三角形与之相似，必使∠A 1 B 1 C 1 135°，单位1 的正方形对角线为，所以以一格为一边，一对角线为一边画出△A 1 B 1 C 1 ，如原图所示．另外还有二种方法如图2、3 所示．3．（安徽省）如图，在矩形ABCD 中，AB3，AD4．P 是AD 上的动点，PE⊥AC 于E，PF⊥BD 于F，则PEPF 的值为（）A、B、2 C、D、考点：勾股定理、矩形性质、相似三角形的性质．评析：因四边形ABCD 是矩形，AB3，AD4，所以由勾股定理求得BD5．又PE⊥AC，根据矩形性质，易知△APE∽△DBA，则，即得PE ，同理可证△DPE∽△DBA，则得PF ，所以PEPF ．应选A．另解：过A 作AG⊥BD 于G，过P 作PH⊥AG，则可证PFHG，PEAH，于是PEPFAG，再在△ABD 内，可证AG ．4．（南充市已知两个相似三角形的面积比为1:9 那么它们的相似比为（）A、1:81 B、1:9 C、9:1 D、1:3 考点：相似三角形的性质评析：因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，该题给出了面积比为1:9 所以相似比为1∶3，应选D．但应注意不要将面积比再平方，选A 就理解错了．5．（北京宣武区）如图，AB 是等腰直角三角形ABC 的斜边，若点M 在边AC 上，点N在边BC 上，沿直线MN 将△MCN 翻折，使点C 落在边AB 上，设其落点为点P．1当点P 是边AB 的中点时，求证：2当点P 不是边AB 的中点时，是否仍然成立请证明你的结论．考点：平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质评析：本题是考查学生灵活运用平行线分线段成比例定理和相似形的性质的开放性问题，解题时先分别画出点P 在不同位置的图形．当P 是AB 中点时，如图，连结PC，则折痕MN 垂直平分PC，又ACBC，APBP，所以PC⊥AB，MN‖AB，故有，所以．当P 不是AB 中点时，过P 作PE⊥AC 于E，则PE‖BC，于是．又∠A45°，∴AEEP，∴．连结PC，如果△PEC∽△MCN 成立，则有成立．∵MN 是折痕，∴MN⊥PC，又∠MCN90°∴∠PCE∠CNM．又∵∠MCN∠PEC90°∴△PEC∽△MCN 成立．因此：的结论仍然成立．（1）证明：如图，连结ＰＣ．依题意，得折痕ＭＮ⊥CP．又∵ACBC APBP，∴CP⊥AB，∴MN‖AB，∴又∵P 是AB 中点∴（2）当点Ｐ不是ＡＢ的中点时，仍然成立．如图，连结PC，则MN⊥PC，过点P 作ＰＥ⊥ＡＣ，垂足为点E. ∵∠ACB90°，∴PE‖BC，∴又∵ACBC，∴∠Ａ＝∠Ｂ＝45°，∴∠ＡＰＥ＝∠Ｂ＝∠A45°∴ＡＥ＝ＥＰ，∴∵∠ＭＣN＝90°，CP⊥MN，∴∠ECP∠MNC，∴△MCN∽△PEC，即∴（6．北京西城区）已知：如图，D、E 是△ABC 的边AB、AC 上的点，∠A35°，∠C85°，∠AED60°. 求证：ADABAEAC. 考点：相似三角形的判定及性质. 评析：证明等积式，首先要转化为比例式：，然后证明含有线段的两个三角形相似.所以该题的关键证明△ADE∽△ACB，因为∠A35°，∠C85°由三角形内角和是得∠B60°则∠A∠A∠AED∠B，三角形相似得证.或∠A35°，∠AED60°所以∠ADE85°，由∠A∠A、∠ADE∠C 相似三角形得证）.由相似得比例式，然后写成等积式．证明：△在ABC 中，∵∠A35°，∠C85°，∴∠B60°. ∵∠AED60°，∴∠AED∠B，∵∠A∠A，∴△AED∽△ABC，∴. ∴ADABAEAC. 说明：①解答该题时要注意运用等腰直角三角形的性质．②折叠问题实际就是轴对称问题，折痕是对称轴．C 点落在P 点即C、P 两点关于折痕MN 对称．这是解决折叠问题的一般方法．③“是否成立”的开放型问题思考方法：先假定所给结论成立，试着证明．若能证明，则所给结论成立．若在证明过程中推出了矛盾结论，则所给结论不成立，同时也就说明了不成立的理由．另外要将复杂的问题通过转换的数学思想，转移到熟悉的简单问题上来．。