概率论与数理统计统计课后习题答案第二章习题解答1. 设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数, 则b a ,的值可取为( A ).A . 52,53-==b a B . 32,32==b a C . 23,21=-=b a D . 23,21-==b a2. 解：因为随机变量X ＝{这4个产品中的次品数}X 的所有可能的取值为：0，1，2，3，4. 且4015542091{0}0.2817323C C P X C ===≈；31155420455{1}0.4696969C C P X C ===≈；2215542070{2}0.2167323C C P X C ===≈； 1315542010{3}0.0310323C C P X C ===≈；041554201{4}0.0010969C C P X C ===≈. 因此所求X 的分布律为：3．5. 解：设X ＝{其中黑桃张数}.则X 的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5.0513395522109{0}0.22159520C C P x C ===≈；14133955227417{1}0.411466640C C P x C ===≈；23133955227417{2}0.274399960C C P x C ===≈；32133955216302{3}0.0815199920C C P x C ===≈；411339552429{4}0.010739984C C P x C ===≈；50133955233{5}0.000566640C C P x C ===≈.所以X 的概率分布为：6.解：由已知，()X G p :所以()(1),0,1,2iP X i p p i ==-=L L . 7.解：X 的所有可能的取值为0，1，2，3. 且1{0}2P X ==； 111{1}224P X ==⨯=；1111{2}2228P X ==⨯⨯=；1111{3}2228P X ==⨯⨯=； 所以X 的概率分布为 X 0 12 3 P 1/2 1/4 1/8 1/88. 一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训，据以前的培训情况，估计大约有4%的培训者不能完成培训任务. 求：（1） 恰有6个人不能完成培训的概率；（2） 不多于4个的概率.解：设X ＝{不能完成培训的人数}.则(100,0.04)X B :，（1）6694100{6}0.040.960.1052P X C==⋅=;（2）41001000{4}0.040.960.629k k k k P X C-=≤=⋅=∑.9. 一批产品的接收者称为使用方，使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率p 接受一批产品的概率. 假设你是使用方，允许次品率不超过05.0=p ，你方的验收标准为从这批产品中任取100个进行检验，若次品不超过3个则接受该批产品. 试求使用方风险是多少？（假设这批产品实际次品率为0. 06）.解：设X ＝{100个产品中的次品数}，则(100,0.06)X B :，所求概率为1001003{3}(0.06)(0.94)0.1430kk k k P X C-≤≤==∑.10. 甲、乙两人各有赌本30元和20元，以投掷一枚均匀硬币进行赌博. 约定若出现正面，则甲赢10元，乙输10元；如果出现反面，则甲输10元，乙赢10元. 分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数.解：设甲X ＝{投掷一次后甲的赌本}，乙X ＝{投掷一次后乙的赌本}.则甲X 的取值为20，40，且 1{20}{40}2P X P X ====甲甲，1{10}{30}2P X P X ====乙乙，所以甲X 与乙X 的分布律分别为： 甲X 20 40乙X 10 30 p 1/21/2p 1/2 1/2 0,201,204021,40X x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩甲（）, 0,101,103021,30X x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩乙（）11. 设离散型随机变量X 的概率分布为：（1）{}2,1,2,,100k P X k a k ===L ；（2）{}2,1,2,k P X k a k -===L ，分别求（1）、（2）中常数a 的值. 解：（1）因为{}1001001121,k k k P X k a =====∑∑即 1002(12)112a -⋅=-，所以)12(21100-=a . (2) 因为 {}1121,k k k P X k a ∞∞-=====∑∑即121112a ⋅=-，所以 1=a .12. 已知一电话交换台服从4=λ的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次传唤的概率；（2）每分钟传唤次数大于8次的概率.解：设X ＝{每分钟接到的传唤次数}，则()X P λ:，查泊松分布表得（1）{8}{8}{9}0.05110.02140.0297P X P X P X ==≥-≥=-=；（2）{8}0.02136P X ≥=.13. 一口袋中有5个乒乓球，编号分别为1、2、3、4、5，从中任取3个，以示3个球中最小号码，写出X 的概率分布.解：X 的所有可能的取值为1，2，3.243563{1}105C P x C ====；23353{2}10C P x C ===； 22351{3}10C P x C ===.所以X 的概率分布为： X1 2 3 P 6/10 3/10 1/1014. 已知每天去图书馆的人数服从参数为(0)λλ>的泊松分布. 若去图书馆的读者中每个人借书的概率为(01)p p <<，且读者是否借书是相互独立的. 求每天借书的人数X 的概率分布.解：设Y ={每天去图书馆的人数},则()Y P λ:， {},0,1,2,!iP Y i e i i λλ-===L L当{}Y i =时，(,)X B i p :，{}{}(1)k k i ki i k P X k P Y i C p p +∞-====⋅-∑!(1)(1)!!!()!i i k k i k k i ki i ki k i e C p p e p p i i k i k λλλλ+∞+∞----===⋅-=-⋅-∑∑ !(1)(1)!!()!!()!i k ki kk i k i ki k i k i p e p p e p i k i k k i k λλλλλ-+∞+∞----===-=-⋅--∑∑ (1)()(1)e !()!!!k ki k k k ki k p p i k p p p e p e e k i k k k λλλλλλλλ-+∞-----==-=⋅=-∑即X 的概率分布为(){}e ,0,1,2,!kp p P X k k k λλ-===L . 15. 设随机变量X 的密度函数为 ,010,⎩⎨⎧<<+= x b ax f(x)其它， 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<3131X P X P ，试求常数a 和b . 解：1301()3183a b P X ax b dx ⎧⎫<=+=+⎨⎬⎩⎭⎰；113142()393a b P X ax b dx ⎧⎫>=+=+⎨⎬⎩⎭⎰， 由421183932a b a b +=+=得，71.5,.4a b =-=16. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F (x )=A +B x arctan , 求常数A , B ;{1}P X <以及概率密度f (x ). 解：由()lim (arctan )02()lim (arctan )12x x F A B x A B F A B x A B ππ→-∞→+∞⎧-∞=+=-=⎪⎪⎨⎪+∞=+=+=⎪⎩得121A B π⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以11()arctan 2F x x π=+； {1}{11}(1)(1)0.5P X P x F F <=-<<=--=； 211()'()1f x F x x π==⋅+.17. 设连续型随机变量X 的分布函数为 20,0(),011,1x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩求：（1）常数A 的值；（2）X 的概率密度函数)(x f ；（3）{}2≤X P .解：（1）由()F x 的连续性得(10)(10)(1)1F F F -=+== 即21lim 1x Ax -→=，所以1A =，20,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩；（2）2,01()'()0,x x f x F x <<⎧==⎨⎩其他；（3）{2}(2)1P X F ≤==.18. 设随机变量X 的分布密度函数为, 01 , 1)(2⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它当x x A x f试求：（1）系数A ；（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221X P ；（3）X 的分布函数)(x F .解：（1）因为11121()arcsin 1f x dx dx A x A x π+∞--∞-====-⎰⎰所以1A π=，21()10 , x f x x π<=-⎩其它；（2）12111212221112()arcsin 231P X f x dx x x ππ⎧⎫<<====⎨⎬⎩⎭-⎰⎰；(3) 当1x <-时，(){}0f x P X x =≤=， 当01x ≤<时，211(){}arcsin 21xf x P X x x tππ-=≤==+-⎰，当1x ≥时，12(){}11f x P X x tπ-=≤==-⎰，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,111,arcsin 1211,0x x x x x F π）（19. 假设你要参加在11层召开的会议，在会议开始前5 min 你正好到达10层电梯口，已知在任意一层等待电梯的时间服从0到10 min 之间的均匀分布. 电梯运行一层的时间为10 s ，从11层电梯口到达会议室需要20 秒. 如果你不想走楼梯而执意等待电梯，则你能准时到达会场的概率是多少？解：设X ={在任意一层等待电梯的时间},则(0,10)X U :，由题意，若能准时到达会场，则在10等电梯的时间不能超过4.5 min ，所求概率为 4.50{ 4.5}0.45100P X -≤==-.20. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （min ）服从51=λ的指数分布. 某顾客在窗口等待服务，若超过10 min ，他就离开. 若他一个月到银行5次，求：(1) 一个月内他未等到服务而离开窗口的次数Y的分布；(2) 求{}1≥Y P . 解：（1）由已知，1(),(5,)5X E Y B p ::其中10{10}1{10}1()p P X P X f x dx -∞=>=-≤=-⎰110250115e dx e --=-=⎰所以Y 的分布为55{}(1)k k k P Y k C p p -==-2255()(1),(0,1,2,3,4,5)k k k C e e k ---=-=；（2）{}02025511{0}1()(1)0.5167P Y P Y C ee --≥=-==--=.21. 设随机变量)4,5(~N X ，求α使： （1）{}903.0=<αX P ；（2）{}01.05=>-αX P .解：由)4,5(~N X 得5~(0,1)2X N -（1）{}555()0.903222X P X P ααα---⎧⎫<=<=Φ=⎨⎬⎩⎭查标准正态分布表得：51.32α-=，所以6.7=α； （2）由{}01.05=>-αX P 得，{}50.99P X α-<= 所以{}{}55P X P X ααα-<=-<-<5()()2()10.99222222X P ααααα-⎧⎫=-<<=Φ-Φ=Φ-=⎨⎬⎩⎭即()0.9952αΦ=，查标准正态分布表得 2.582α=，所以16.5=α22. 设)2,10(~2N X ，求{}{}210 , 1310<-<<X P X P .解：由)2,10(~2N X 得10~(0,1)2X N - {}101013=P 0 1.5(1.5)(0)0.99320.50.49322X P X -⎧⎫<<<<=Φ-Φ=-=⎨⎬⎩⎭；{}102{2102}P X P X -<=-<-<10{11}(1)(1)2(1)120.841310.68262X P -=-<<=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.23. 某地8月份的降水量服从185mm,28mm μσ==的正态分布，求该地区8月份降水量超过250 mm的概率.解：设随机变量X ＝{该地8月份的降水量}， 则2(185,28)X N :，从而185(0,1)28X N -:所求概率为185250185{250}{}1(2.32)10.98980.01022828X P X P --≥=>=-Φ=-=24. 测量某一目标的距离时，产生的随机误差(cm)X 服从正态分布)400,0(N ，求在3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 cm的概率.解：由(0,400)X N :得(0,1)20XN :设Y ＝{在3次测量中误差的绝对值不超过30cm的次数}，则(3,)Y B p :其中{30}{3030}{1.5 1.5}p P X P X P X =<=-<<=-<< (1.5)( 1.5)2(1.5)120.933210.8664=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=所以P {3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30cm}={1}P Y ≥00331{0}10.86640.13320.9976P Y C =-==-⋅=25. 已知测量误差2~(7.5,10)X N ，X 的单位是mm ，问必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm 的概率大于0. 9. 解：设必须进行n 次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm 的概率大于0. 9.由已知2~(7.5,10)X N ，7.5~(0,1)10X N -设Y ＝{n 次测量中，绝对误差不超过10mm 的次数}，则(,)Y B n p :其中7.5{10}{0.25}(0.25)0.598710X p P X P -=≤=≤=Φ=所求概率为{1}0.9P Y ≥>，即{0}0.1P Y =≤000.59870.40130.1n n C ⋅≤，解之得，3n ≥必须进行3次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm 的概率大于0. 9.26. 参加某项综合测试的380名学生均有机会获得该测试的满分500分. 设学生的得分)(~2σμ，N X ，某教授根据得分X 将学生分成五个等级：A 级：得分)(σμ+≥X ；B 级：)(σμμ+<≤X ；C 级：μσμ<≤-X )(；D 级：)()2(σμσμ-<≤-X ；F 级：)2(σμ-<X . 已知A 级和C 级的最低得分分别为448分和352分，则： （1）μ和σ是多少？（2）多少个学生得B 级？ 解：（1）由已知，448352μσμσ+=⎧⎨-=⎩，解之得40048μσ=⎧⎨=⎩（2）{}{01}X P X P μμμσσ-≤<+=≤<(1)(0)0.84130.50.3413=Φ-Φ=-=由于0.3413×380=129.66，故应有130名学生得B 级。