平面向量
【知识点】
1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．
2、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：
a b a b a b -≤+≤+．
⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；
②结合律：()()
a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设
()11,a x y =，()22,b x y =，则
()1212,a b x x y y +=++．
3、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设
()11,a x y =，()22,b x y =，则
()1212,a b x x y y -=--．
设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 4、向量数乘运算：
⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①
a a λλ=；
②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．
⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()
a b a b λλλ+=+．
b
a
C B
A
a b C C -=A -AB =B
⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．
5、向量共线定理：向量()
0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()
0b b ≠共线．
6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）
7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ
λ++⎛⎫
⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。
）1=λ 8、平面向量的数量积：
1、()cos 0,0,0180
a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0． 2、运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()(
)()
a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()
a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． 3、坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =，则2
2
2
a x y =+，或2a x y =
+． 设()11,a x y =，()22,b x y =，则
12120a b x x y y ⊥⇔+=．
设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，
θ是a 与b 的夹角，则
121
cos x x a b a b
x θ⋅=
=
+．
【考题】
1、 （全国Ⅰ新卷文2）a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于（ ）
A ．
865 B ．865- C ．1665 D ．1665
- 2、 （重庆卷理2）已知向量a ，b 满足0,1,2,a b a b •===，则2a b -=（ ）
A ． 0
B ．
C ． 4
D ． 8
3、 （重庆卷文3）若向量a=（3,m ）,b=（2,-1）,a·b=0,则实数m 的值为（ ）
A ．32-
B ．3
2
C ．2
D ．6 4、 （安徽卷理3文3）设向量()1,0=a ，11,22⎛⎫
=
⎪⎝⎭
b ，则下列结论中正确的是（ ）
A ．=a b
B ．2
•=
a b C ．-a b 与b 垂直 D ．a ∥b
5、 （湖北卷理3）在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =（ ）
A B C D 6、 （北京卷文4）若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是（ ）
A ．一次函数且是奇函数
B ．一次函数但不是奇函数
C ．二次函数且是偶函数
D ．二次函数但不是偶函数
7、 （湖南卷理4）在Rt ABC ∆中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ⋅等于（ ）
A ．-16
B ．-8
C ．8
D ．16
8、 （广东卷文5）若向量a
=（1,1），b
=（2,5），c =（3,x ）满足条件 （8a
－b
）·c
=30，则x =（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
9、 （四川卷理5文6）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，
2
16,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=（ ）
A ．8
B ．4
C ． 2
D ．1
10、（湖北卷理5文8）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→
--→
--→
+=+.若存在实数m 使得
AB AC AM m --→--→--→
+=成立，则m=（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11、（湖南卷文6）若非零向量a ，b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则a 与b 的夹角为（ ）
A ． 300
B ． 600
C ． 1200
D ． 1500 12、（北京卷理6）a ，b 为非零向量。
“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+-为一次函数”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
13、（湖南卷理6文7）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a,b,c ，若∠C=120°，2c a =,
则（ ）
A ．a>b
B ．a<b
C ．a=b
D ．a 与b 的大小关系不能确定
14、（江西卷理7）,E F 是等腰直角ABC ∆斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ）
A ．
16
27
B ．
23
C ．
33
D ．
34
15、（辽宁卷理8文8）平面上O,A,B 三点不共线，设,OA=a OB b =，则△OAB 的面积等于（ ）
A ．222|||()|a b a b -
B ． 222|||()|a b a b +
C ．
2221|||()2|a b a b - D ． 2221|||()2
|a b a b + 16、（福建卷文8）若向量a =（x ，3）（x ∈R ），则“x = 4”是“| a |=5”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 17、（天津卷文9）如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，
3BC =BD ，1AD =，则AC AD ⋅=（ ）
A ．23
B ．
3
2
C ．
3
3
D ．3
18、（全国Ⅱ卷理8文10））ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若CB a =，CA b =，
1a =，2b =，则CD =（ ）
A ．1
233a b +
B ．2133a b +
C ．3455a b +
D ．4355
a b + .
19、（陕西卷理11文12）已知向量a=（2，-1），b=（-1，m ），c=（-1,2），若（a+b ）∥c ，则m= 。
20、（江西卷理13）已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60︒，则
||a b -= .
21、（浙江卷文13）已知平面向量,,1,2,(2),αβαβααβ==⊥-则2a β+的值
是 。
22、（天津卷理15）如图，在三角形ABC 中，AD AB ⊥,3BC BD =,
1AD =,则AC AD = .
23、（江苏卷15）在平面直角坐标系xOy 中，点A （-1,-2）,B （2,3）,C （-2,-1） 求以线段AB ．AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 设实数t 满足（OC t AB -）·OC =0，求t 的值
24、（浙江卷理16）已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角为
120°，则α的取值范围是__________________ .。