t

电阻两端的电压为
u R iR U 0 e
t RC
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2. 2 RC电路的响应

令τ= RC，若R的单位是Ω , C的单位是F，则τ的单位是s。故称τ为电 路的时间常数弓入时间常数后，uC可表示为
uC U 0 e
t

பைடு நூலகம்

当t= τ时，电容电压为
uC ( ) U 0e 1 36.8%U 0
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2. 2 RC电路的响应


在图2. 12所示电路中，激励为恒定直流电源，当电路进入稳态时，电 路里电流为零，电容相当于开路，它两端的电压uc等于电源电压Us即 电容电压的稳态解为 u’C=Us 式(2. 13)是一阶线性齐次微分方程，与式(2. 5)相同，故其通解为 u’’C=AeSt 由前面分析知 S 1 1 RC 所以


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2. 2 RC电路的响应



图2. 10(a)所示电路换路后，在图示电压、电流正方向的前提下，电 路的电压平衡方程式 为 uR+uC=0 即 iR+uC=0 将
i C duC dt

代入上式，得
RC duC uC 0 dt


此式当R和C都是常数时，为一阶线性齐次微分方程。由高等数学知， 其通解形式为 uC=AeSt
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2. 1换路定律与暂态过程初始值的确定


2.1.1电路产生暂态过程的原因
在图2. 1所示电路中，电源电压为US，若开关S闭合前电感无初始储 能，则当S闭合后，电路中各部分电压、电流从S闭合前的初始值逐渐 变化到稳态值。即电流i和uR分别由初始值零逐渐增长到稳态值Us/R 和Us，而uL则由初始值US逐渐衰减到稳态值零。 又如图2. 2所示电路中，若电容C在开关S闭合前无初始储能，则当 S闭合后，电容两端的电压uc也是由初始值零逐渐增长到稳态值US的。
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2. 1换路定律与暂态过程初始值的确定

因为iL(0+)= 0，所以u2(0+)= 0。又因为， uC(0+)= 0 ，故， uL(0+)= u1(0+)= Us



开关闭合后，电路中各电压和电流的暂态过程将分别由以上初始值开 始。 例2. 2电路如图2. 7所示。已知Is =4A,R1=R2=R4=R5 =2Ω, R3=1 Ω ，在 打开开关S以前电路已处于稳态。若t=0时将S打开，求电容和电感的 电压、电流初始值 图2. 8例2.2, t=0-时的等效电路 图2. 9例2.2, t=0+时的等效电路
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2. 2 RC电路的响应


2. 2. 2 RC电路的零状态响应
RC电路零状态响应是指电容元件的初始储能为零，电路中的电压、 电流是由外加激励引起的，称这种电路为零状态电路，其电压、电流 的响应为零状态响应。由于零状态响应是在外施激励下的响应，故它 与激励形式有关。下面将讨论在恒定直流激励下的一阶RC电路的零 状态响应。 假设图2. 12中RC电路在直流电源Us激励下，uC( 0_ ) = 0，在t=0时 开关S由b合向a由于uC(0+ )=uC(0_)=0，故电路中的响应是零状态响应。 分析RC电路在恒定直流下的零状态响应，也就是分析电容的充电过 程。
1
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2. 1换路定律与暂态过程初始值的确定


2.1.3暂态过程初始值的确定
由于电路中的暂态过程是由换路后瞬间，即t=0+时开始，因此首先 讨论如何确定t=0+时电路中各部分电压和电流的值，即暂态过程的初 始值 用基尔霍夫定律和换路定律，可以确定暂态过程的初始值，其步骤 如下: (1)作出t=0-时的等效电路，并在此等效电路中求出iL(0-)和， uC(0-) 。 在作t=0-等效电路时，在直流激励下若换路前电路已处于稳态，则可 将电容看作开路，而将电感看作短路


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2. 1换路定律与暂态过程初始值的确定


(2)作出t=0+时的等效电路。在画t=0+的等效电路时，根据换路定律， 若uC(0-)=0、 iL(0-)=0 ，则将电容视为短路，而将电感视为开路;若 uC(0-) ≠ 0 、 、 iL(0-) ≠ 0 ，则将电容用电压数值和极性都与uC(0-)相同 的恒压源代之，而电感用电流数值和方向都与iL(0-)相同的恒流源代之 (3)在t=0+的等效电路中，求出待求电压和电流的初始值 例2. 1电路如图2. 5所示，t=0时将S闭合。试求开关闭合瞬间电路中各 电压、电流的初始值。已知开关闭合前电容和电感均无储能。
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2. 1换路定律与暂态过程初始值的确定


解由已知条件知电感和电容均无初始储能，即 uC(0-)=0、 iL(0-)=0 作t=0+的等效电路，根据换路定律，有 uC(0+)= uC(0-)=0、 iL(0+)= iL(0-)=0 因此，在t=0+这一瞬间电容相当于短路，电感相当于开路，故t=0+时 的等效电路如图2. 6所示 在t=0+的等效电路中，可求出各电压、电流的初始值为 iL(0+)= 0 iC(0+)= i1(0-)=US/R1
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2. 1换路定律与暂态过程初始值的确定



再观察图2. 4所示电路，若两个电路在开关S闭合前均已达到稳态。当 开关闭合后两电路的电压和电流都没有过渡状态。其原因是两电路中 储能元件电感和电容在换路前后没有发生能量变化。由此可知，电路 产生暂态过程的实质是储能元件的能量在换路时不能跃变。电路的换 路作用是产生暂态过程的外因，而产生暂态过程的内因则是电路中储 能元件在换路前后发生能量的变化 综上所述，电路产生暂态过程的必要条件如下: (1)电路中含有储能元件 (2)电路要发生换路 (3)换路前后储能元件中的储能发生变化

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2. 1换路定律与暂态过程初始值的确定


而在图2. 3所示电路中，当开关S闭合时，电路中各支路的电流和各个 电阻两端的电压均由S闭合前的零值跃变到S闭合后的数值，也就是说 该电路在换路时无暂态过程产生。 为什么图2. 1和图2. 2所示电路在换路时产生暂态过程，而图2. 3所 示电路换路时不产生暂态过程呢?其原因是图2. 3所示电路中无储能元 件，而图2. 1和图2. 2中分别有储能元件电感和电容
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2. 2 RC电路的响应


2. 2. 1 R C电路的零输入响应
RC电路的零输入响应是指换路后电路中无电源激励，输入信号为 零，电路中的电压、电流由电容元件的初始值所引起，故称这些电压、 电流为电路RC的零输入响应。 分析RC电路的零输入响应，实际上是分析电容通过电阻的放电过 程 在图2. 10(a)所示电路中，换路前，开关s合在a，电路已处于稳态， 电容电压uC=U0。在t=0时将开关S合向b，换路后电容开始放电。在 放电过程中，储存在电容中的能量在电路中形成电流，经过电阻逐渐 将电场能量转变为热能消耗掉，最终电路中的电压、电流都将变为零。 下面从数学角度阐述RC电路的零输入响应。
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2. 1换路定律与暂态过程初始值的确定


2.1.2换路定律



2 如前所述，换路时储能元件的能量不能跃变，即电感元件的储能 wL 2 LiL 2 和电容元件的储能 wC 1 CuC 不能跃变， 2 在电路中具体表现为换路瞬间电感的电流iL和电容的电压uC不能跃变， 这个结论称为换路定律 可以设想，如果在换路时电感的储能或电容的储能发生跃变，即电感 的电压 uL L diL ,电容的电流 iC C duC ,将为无穷大值， dt dt 这就意味着电源需要提供无穷大的功率。然而，电源通常只能提供有 限的功率，所以在换路时储能元件的能量也就不能发生跃变
第2章电路的暂态分析



2. 1换路定律与暂态过程初始值的确定 2. 2 RC电路的响应 2. 3RL电路的响应 2. 4一阶电路暂态分析的三要素法 2. 5RC电路对矩形波激励的响应
2. 1换路定律与暂态过程初始值的确定


自然界事物的运动，当条件改变时，由一个稳定状态转变到另一个 稳定状态需要时间，即要有一个过渡过程。如电动机由静止到某一转 速下稳定运行，其转速是从零逐渐上升到某一转速的 电路中也存在过渡过程。电路中的过渡过程是相对于稳定状态(简 称稳态)而言的。所谓稳态是指电路中当激励为恒定量或按某种规律 周期性变化时，电路中的响应也是恒定量或按激励的规律周期性变化。 例如，直流电路的稳态，其响应(电压或电流)是不随时间变化的某一 恒定值;而正弦交流电路的稳态，其响应是与激励同频率的正弦量。 电路中某一开关的闭合或打开、电源电压(或电流)幅值或波形的变化、 电路元件参数或连接方式的改变(这些统称为换路)，都可能使电路中 的响应发生变化，使它们从原来的稳定状态变化到新的稳定状态。
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2. 2 RC电路的响应



式(2. 11)是一阶线性非齐次微分方程。它的完全解由其特解(u’C)和相 应的齐次微分方程的通解(u’’C)所组成，即 uC = u’C +u’’C 特解u’C应满足
RC du'C u 'C U S dt

而通解u’’C应满足
RC du' 'C u ' 'C 0 dt