零，故力对转轴的力矩
F Fz F
z
Fz
F

F
或
M z rF sin M z r F
M M1 M 2 M 3
O
r
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
3
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
O
ri
f i fit FitFi
Δmi
Fit f it mi ait mi ri
两边同乘以 ri ，得：
ri Fit ri f it mi ri
2
6
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
ri Fit ri f it mi ri
F
Fi 0 , M i 0
圆盘绕圆心转动
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.1
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
一 力矩 刚体绕 O z 轴旋转 ,
为由点O 到力的作用点 P 的径矢 . 在转动平面内, r F 对转轴 Z 的力矩 M M Fd Fr sin z
m
R o
m
0
m
T
P y
a
o R
m
T'
对物体m，列牛顿方程
mg T ma
1 对滑轮m’，根据转动定律，有 T R J mR 2 15 2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
mg T ma
1 R J mR 2 T 2 另有 a R
解： 飞轮制动时受力如图， （接头处受力不考虑） 以ω0为正方向,飞轮的角加 速度为
F
f
R 0 1000 / 60 0 t 5 2 25 20.9 (rad/s ) 负值表示α与ω0的方向相反。
0
m
N

4-2 力矩 转动定律 转动惯量
R
0
2Nr dr 2 NR 2 3 R
2
以顺时针方向为正,由转动定律可 得圆盘角加速度
0
dr
刹车片
M 3 N J 4 MR 0 3 mR0 停止转动需时 t 4 N
r
dl
dFf
18
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
P 和铰链对细杆的约束力 F N
F 牛顿第二定律 a m
牛顿第二定律是解决质点 运动问题的基本定律。
它们的形式很相似：外力矩M和外力F相对应，角加速 度α与加速度a相对应，转动惯量J 与质量 m 相对应。 10
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
2
三 转动惯量
J mi ri
国际单位：kg· 2 m
转动惯量物理意义：转动惯性的量度. 对质量离散分布刚体的转动惯量
2
z
式中：Fit ri 是合外力Fi 的对 Oz轴的力矩；
O
ri
fit Fit
Δmi
fit ri是内力 fi 对Oz轴的力矩。
故上式左边为作用在质点i 上 的外力矩与内力矩之和。 对于刚体上所有的质点，可得：
(r F ) (r f
i it i i
i it
) ( mi ri )
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
P96 表4-1列出了一些均匀刚体的转动惯量 . 平行轴定理 质量为m的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 Jc，则 对任一与该轴平行，相距为d 的转轴的转动惯量
d
C
m
O
J O J C md
2
（证明略）
例：圆盘对P 轴的转动惯量
1 2 2 3 J P mR mR mR2 2 2
a mR2 J
圆柱
Ff m g
x
N
C
aC

1 2 J1 mR 2
薄壁圆柱筒
J 2 mR
2
23
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
mgR sin a mR2 J
2
y
2 g sin 圆柱 a1 3
Ff m g
x
N
C
aC

g sin 薄圆柱筒 a2 2
由匀变速直线运动公式，可得 圆柱
2l t1 2.3( s) a1
圆柱比圆筒先到达底部. 24
2l 薄圆柱筒 t 2 2.6( s) a2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
补充例题 一个飞轮的质量 m＝60kg，半径为R＝0.25m， 正在以ω0＝1000速而最后停下来。求闸瓦对轮 子的压力N为多大？假使闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数 为μk＝0.8，而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的 外周上，转动惯量为J＝mR2。
受力：细杆受重力 解： 由转动定律得
P98例3 一长为 l 质量为 m的匀质细杆竖直放置，其下 端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动. 由于此竖直放 置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时， 细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.试计算细 杆转动到与竖直线成θ角时的角加速度和角速度.
J mi ri
2
本节 21 结束
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
*P98例4 如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角θ= 5o. 有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿 斜面向下滚动, 一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为R1 的实心圆柱体, 另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜 面底部各经历多长时间?
m l
FN

l 2
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3
o
P
19
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
1 1 2 mgl sin ml 2 3
d 3g d d d 得 sin 2l d t d dt d
M (ri Fit )
2
i
i
为刚体内所有质点所受的外力 对转轴的力矩的代数和，即合 力矩。
∴
M (mi ri )
—转动定律
8
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
M (mi ri )
2
—转动定律
式中
(m r
2
i i
)
是只与刚体的形状、质量以及转轴的位置有关，而与 运动无关的因子，定义为刚体对轴的转动惯量
d : 力臂
矢量式
力F
作用在刚体上点 P , 且
M r F
M
O
r
F
*
d
P

2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
一 力矩
讨论 1）若力 F 不在转动平面内，可把力分解为 平行于和垂直于转轴方向的两个分量
M r F
第四章 刚体转动
其中 Fz 对转轴的力矩为


0
d

0
3g sin d 2l
m l
3g 得 (1 cos ) l
FN

l 2
o
P
20
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
M
本节小结：
一、力矩
M r F
二、转动定律
M J
O d
r
P

F
刚体定轴转动定律：刚体定 轴转动的角加速度与它所受 的合外力矩成正比 ，与刚体 的转动惯量成反比 . 三、转动惯量 刚体对轴的转动惯量 四、平行轴定理 J＝JC＋md2
m
R o
m
0
m
T
P y
a
o R
T T
解得
m
T'
2mg a 2m m mmg T 2m m 2mg (2m m) R
16
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
P97例2 有一半径为R质量为 m 匀质圆盘, 以角速度ω 0绕 通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相 同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压 力N 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢.设正 压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数μ 均已被实验测出. 试问经过多长时间圆盘才停止转动? 解：在圆盘上取面积微元, 面积 元所受对转轴的摩擦力矩大小
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一 点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问 题中，我们是否也可以如此处理？力的作用点的位置对 物体的运动有影响吗？
F
F F
Fi 0 , M i 0
圆盘静止不动
2 i
7
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
(r F ) (r f
i it i i
i it
i it
) ( mi ri )
2 i
由于刚体内各质点间的内力对转轴的合力矩为零，即
(r f ) 0 ∴有： (r F ) ( m r
i it
2
i i
)
∵
0
dr
刹车片
N dM rdF f r 2 dldr πR
r