J mjrj2 m1r12 m2r22 mjrj2
❖ 质量连续分布
J mjrj2 r2dm dm：质量元 j
4-2 力矩 转动定律
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物理学
第五版 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质
量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其
轴的转动惯量也是mR2/2。
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物第理五版学例2: 求长为L、质量为m的均匀细棒的转动惯量。 (1)转轴通过棒一端并与棒垂直。 （2）转轴通过棒 的中心并与棒垂直；
解：取如图坐标，dm=dx , =m/L
A L
B
J A r2dm
x
L x2dx mL2 / 3 0
AC L/2
B L/2 x
JC r2dm
L
Jc
2 L
x2dx
mL2
/12
2
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物理学
第五版
四、
平行轴定理
质量为 m 的刚体，如
果对其质心轴的转动惯量
为 JC ，则对任一与该轴平
行，相距为 d 的转轴的转
动惯量
JO JC md 2
dt
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力
矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
讨论：
（1） M 一定，J
α 转动惯量是转动
惯性大小的量度；
（2） 是矢量式（但在定轴转动中力矩只有两个
方向）。
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物理学
定轴转动定律
第五版 （3）M 的符号：使刚体向规定的正方向加速的
Fit fit miait miri
由于法向力的力矩为零，故不作讨论。
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r 物理学
定轴转动定律
第五版 用 i 乘以上式左右两端：
Fit ri fit ri miri2
设刚体由N 个质点构成，对每个质点可写出上述 类似方程，将N 个方程左右相加，得：
把力矩
的力矩F。
称之为力M Z 对轴
4-2 力矩 转动定律
F∥ F
r
F
垂 直 于 转 轴
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物理学
第五版
M
z
k
Hale Waihona Puke rFM z rF sin Fd
d r s是in转轴到力作用线
的距离，称为力臂。
因此，在定轴动问题 中，如不加说明，所指的 力矩是指力对轴的力矩 Mz表示。Mz即为力F 对 轴的力矩，有时也省略下 标Z。
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例1: 物理学
第五版
求质量为m、半径为R、厚为l
的均匀圆盘的转
动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
Z
dm dV 2 rdr l
dJ r 2dm 2lr3dr
OR
J dJ R 2lr3dr 1 R4l
0
2
Q
m
R2l
J 1 mR2 2
i 1
上式左端为刚体所受的合外力矩，以M表示
；而右端求和符号内的量只与刚体本身性质及
转轴位置有关,称之为刚体转动惯量，以J 表示
。
刚体转动惯量： J miri2
于是得到：
M J J d
dt
刚体定轴 转动定律
4-2 力矩 转动定律
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物理学
第五版
定轴转动定律
M J J d
一 力矩 物理学
第五版
力矩：是用来描述力对刚体
的转动作用的物理量。
1、F 对O 点的力矩：
MO Fd Fr sin
d : 力臂
力矩的矢量表达式：
v Mo
rv
v F
z
F
v Mo
Od
r
P*
力的作用点P相对给定点O的位矢 r 与力 F
的矢积为力对给定点的力矩。
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N
N
N
Fitri fitri (miri2 )
i 1
i 1
i 1
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共
线，对同一轴力矩之代数和为零)，得：
N
firi sini 0
i 1
4-2 力矩 转动定律
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物理学
第五版
得到：
N 定轴转动N定律
Fitri (miri2 )
i 1
物第理五版学如果刚体能绕O点任意转 动，是不是只要
v Mo 0
z
F∥ MZ
刚体就能转动？ Yes
如果刚体只能绕某一定轴
O rP
F
转动，是不v 是只要
M
Mo 0
刚体就能改变转动状态？
先看两个特殊方向 的力产生的力矩
结论：力矩方向与转轴平行时，能使刚体转动状 态发生变化；而当力矩方向与转轴垂直时，则不 能。
F∥ F
MZ
Or
d
F
F// 对转轴的力矩为零，
在定轴转动中不予考虑。
4-2 力矩 转动定律
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物理学几点说明：
第五版
（1）在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可 用+、-号表示。
（2）合力矩等于各分力矩的矢量和(可求代数和)
M M1 M2 M3
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消．
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物理学2、F 对轴的的力矩：
第五版
因在定轴转动中平行于
转轴的外力对刚体的绕定轴
转动起不了作用，所以当一
个任意的力
F
作用在刚体
MZ
上，必须把力分解为两个力， O
一个是与转轴平行的力 ，
另一F个// 与转轴垂直的力
。
其中只F有 的力矩 F 才能
使刚M体Z 改变转动状态，因此
dm dl 其中、、分
dm ds 别为质量的线密
度、面密度和体
dm dV 密度。
线分布
面分布
4-2 力矩 转动定律
体分布
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物理学
说 明 第五版
与转动惯量有关的因素： •刚体的质量分布 •转轴的位置
质量分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质 元的矢径。
4-2 力矩 转动定律
力矩为正；
（4）具有瞬时性。
（5）M、J、α是对同一轴而言的。
（6）转动中 M 与J平动中
相同。
三 转动惯量
F地位ma
J mjrj2
j
J r2dm
➢ 转动惯量的单位：kg·m2
➢ J 的意义：转动惯性的量度 。
4-2 力矩 转动定律
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物理学
第五版 ➢ J 的计算方法 ❖ 质量离散分布
M ij
rj
j
O
d
ri
i
Fij
Fji
M ji
Mij M ji
4-2 力矩 转动定律
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二 物理学
第五版
定轴转动定律
Z
对刚体中任一质量元
mi
Fi ——外力 fi ——内力
O
应用牛顿第二定律，可得：
Fi fi miai
ω,α
fi
ri
Fi
mi
采用自然坐标系，上式切向分量式为：