第七章 级数7.1常数项级数的概念与性质7.1.1 常数项级数的概念 常数项级数： 一般的，设给定数列12,,,,n a a a 则该数列所有项相加所得的表达式12n a a a ++++ 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数；其中第n 项n a 叫做级数的一般项或通项。

级数简记为：1nn a∞=∑，即121nn n aa a a ∞==++++∑部分和：作（常数项）级数12n a a a ++++ 的前n 项的和121nn n i i S a a a a ==+++=∑ ，n S 称为级数（1）的前n 项部分和。

当n 依次取1，2，3，… 时，它们构成一个新的数列{}n S ，称为部分和数列。

级数收敛与发散： 如果级数1nn a∞=∑的部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞=（有限值），则称无穷级数1nn a∞=∑收敛，极限S 叫做该级数的和，并写成12n S a a a =++++。

如果{}n S 没有极限（lim n n S →∞不存在或为±∞），则称无穷级数1nn a∞=∑发散。

常用级数：（1）等比级数（几何级数）：nn q∞=∑111q q - 当时收敛于1q ≥当发散（2）p 级数:11pn n∞=∑ 11p p ≤ 当时收敛当时发散级数的基本性质： 性质1： 若级数1nn a∞=∑收敛于和S ，则级数1nn Ca∞=∑（C 是常数）也收敛，且其和为CS 。

性质2： 若级数1nn a∞=∑和级数1nn b∞=∑分别收敛于和S 、σ，则级数()1nn n ab ∞=±∑也收敛，且其和为S σ±。

注意：如果级数1nn a∞=∑和1nn b∞=∑都发散，则级数()1nn n ab ∞=±∑可能收敛也可能发散；而如果两个级数1nn a∞=∑和1nn b∞=∑中有且只有一个收敛，则()1nn n ab ∞=±∑一定发散。

性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。

性质4： 若级数1n n a∞=∑收敛，则对该级数的项任意加括号后所构成的新的级数1121111()()()n n k k k k k a a a a a a -++++++++++++仍收敛，且其和不变。

注意：该性质的逆命题不成立。

即，若一个级数加括号后的新级数收敛，则不能推出原级数收敛。

推论1：若加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散。

性质5： 若级数1n n a∞=∑收敛，则lim 0n n a →∞=。

注意：lim 0n n a →∞=仅仅是级数1nn a∞=∑收敛的必要条件，而非充分条件。

7.2 常数项级数的审敛法7.2.1 正项级数收敛的充要条件正项级数：若0n a ≥()1,2,3,n = ，则称级数1nn a∞=∑是正项级数。

正项级数1nn a∞=∑收敛的充分必要条件：它的部分和数列{}n S 有界（有上界）。

7.2.2 正项级数的审敛法比较审敛法： 设1n n a ∞=∑和1nn b∞=∑都是正项级数，且n n a b ≤()1,2,3,n = 。

则⑴若级数1nn b∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑收敛；⑵若级数1nn a∞=∑发散，则级数1nn b∞=∑发散；推论：设1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑都是正项级数，如果级数1nn b ∞=∑收敛，且存在正整数N ，使得当n N ≥时有n n a Cb ≤()0C >成立，则级数1nn a∞=∑收敛；如果级数1nn b∞=∑发散，且当n N ≥时有n n a Cb ≥()0C >成立，则级数1nn a∞=∑发散。

比较审敛法的极限形式：设1n n a ∞=∑和1nn b∞=∑均为正项级数，limnn na lb →∞=，那么⑴若0l <<+∞，级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑同时收敛或同时发散 ⑵若0l =，且级数1n n b∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑收敛⑶若l =+∞，且级数1n n b∞=∑发散，则级数1nn a∞=∑发散比值审敛法： 设1nn a∞=∑为正项级数，如果1lim n n n aa ρ+→∞=则(1)1ρ<时，级数1nn a∞=∑收敛；(2)1ρ>时，级数1n n a∞=∑发散；(3)1ρ=时，级数1nn a∞=∑可能收敛也可能发散。

根值审敛法、极限审敛法不考。

7.2.3 交错级数及其判别法莱布尼茨判别法： 如果交错级数11(1)n n n a ∞-=-∑满足条件： ⑴ 1n n a a +≥ ()1,2,3,n = ⑵ lim 0n n a →∞=则级数11(1)n n n a ∞-=-∑收敛，且其和S 满足1S a ≤，余项n r 的绝对值满足1n n r a +≤。

注意：莱布尼茨定理只是交错级数收敛的一个充分条件，并非必要条件。

当定理中的两个条件不满足时，不能由此判断交错级数是发散的。

7.2.4 任意项级数的绝对收敛与条件收敛任意项级数： 对于一般的常数项级数121nn n aa a a ∞==++++∑ ，其中n a ()1,2,3,n = 为任意实数，可以是正数、负数或0，这种级数又称为任意项级数。

对应地，可以构造一个正项级数121||||||||nn n aa a a ∞==++++∑ 。

绝对收敛判别法： 定理：若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数1n n a ∞=∑收敛。

（绝对收敛的级数必收敛。

）定义： 设1nn a∞=∑为任意项级数，⑴如果级数1||nn a∞=∑收敛，则称级数1n n a ∞=∑绝对收敛⑵如果级数1||nn a∞=∑发散，但是级数1n n a ∞=∑收敛，则称级数1n n a ∞=∑条件收敛。

对于任意项级数敛散性的判别方法：对于任意项级数，通常先判断它是否绝对收敛，若是，即可得出结论；若否，则进一步判定它是条件收敛还是发散。

对于任意项级数的比值审敛法： 对任意项级数1n n a ∞=∑，设1limn n n a a ρ+→∞=则(1)若1ρ<时，则1nn a∞=∑绝对收敛，因而1nn a∞=∑收敛；(2)若1ρ>时，则1nn a∞=∑发散；(3)若1ρ=时，此法失效。

7.3 幂级数7.3.2 幂级数及其收敛性幂级数： 形如()()()() +-++-+-+=-∑∞=nn n nnx x a x x a x x a a x x a 02020100的级数，称为幂级数，其中0x 是任意给定的实数， ,,,,,210n a a a a 称为幂级数的系数。

当00=x 时，上式变为 +++++=∑∞=n n n n nx a x a x a a x a22100。

收敛半径与收敛域：阿贝尔定理：设幂级数∑∞=0n nn xa = +++++n n x a x a x a a 2210，若该幂级数在0x x =)0(0≠x 处收敛, 则对于满足条件0x x <的一切x , 该级数绝对收敛。

反之, 若它在0x x =时发散, 则对一切适合不等式0x x >的x , 该级数发散。

推论: 如果幂级数∑∞=0n nn x a 不是在),(∞-∞上每一点都收敛,也不是只在0=x 处收敛,那么必存在一个唯一的正数R, 使得: (1) 当R x <时, 幂级数∑∞=0n nn xa 收敛;(2) 当R x >时, 幂级数∑∞=0n nn x a 发散;(3) 当R x =或R x -=时, 幂级数∑∞=0n nn xa 可能收敛,也可能发散。

则称这个数为幂级数的收敛半径 ，称区间),(R R -为幂级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛。

由幂级数在处的收敛性就可以决定它在区间或上收敛, 该区间叫做幂级数的收敛域。

（收敛域为收敛区间加上收敛的端点，是幂级数的所有收敛点组成的集合） 和函数：对于收敛域内的任意一个数x ，幂级数为该收敛域内的一个收敛的常数项级数，于是有一个确定的和S . 这样，在收敛域上，随着数x 的变化，总有一个确定的和S 与之对应，故幂级数的和是x 的函数，记为)(x S ，通常称)(x S 为幂级数的和函数。

收敛半径的求法： 设幂级数∑∞=0n nn xa ,其系数当N n ≥时0≠n a (N 为某一个正整数), 且存在极限ρ=+∞→nn n a a 1lim则(1) 当+∞<<ρ0时,收敛半径ρ1=R ;(2) 当0=ρ时,收敛半径+∞=R ; (3) 当+∞=ρ时,收敛半径0=R 。

7.3.3 幂级数的性质加法与减法（收敛性）:设幂级数 +++++n n x a x a x a a 2210和 +++++n n x b x b x b b 2210的收敛半径分别为a R 和b R (均为正数) , 取),min(b a R R R =,则在区间),(R R -内成立：∑∞=±0)(n nn n x b a =∑∞=0n n n x a ∑∞=±n nn xb幂级数的和函数的性质： 设幂级数∑∞=0n nn xa 在),(R R -内收敛，且其和函数为)(x S ,则（1）和函数的连续性：)(x S 在),(R R -内连续. 若幂级数在R x =(或R x -=)也收敛, 则)(x S 在R x =处左连续(或在R x -=处右连续).（2）逐项求导数：)(x S 在),(R R -内每一点都是可导的,且有逐项求导公式:∑∑∑∞=∞=-∞=='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='0110)()(n n n n nn n n n x na x a x a x S求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径R 。

反复应用该结论可得: 幂级数∑∞=0n nn xa 的和函数)(x S 在收敛区间内具有任意阶导数。

（3）逐项求积分：)(x S 在),(R R -内可以积分,且有逐项积分公式:⎰⎰∑⎰∑∑∞=∞=+∞=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛=xxn x n n n nn n n n x n a dx x a dx x a dx x S 00000101)(,其中x 是),(R R -内任一点,积分后的幂级数与原级数有相同的收敛半径R 。

注意：经过逐项求导和求积所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径，但区间端点处的收敛性会有所不同。

若逐项求导或逐项积分后的幂级数∑∞=0n nn xa 在R x =处收敛,则1)(-∞=∑='n n nxna x S 或⎰∑∞=++=xn n n x n a dx x S 011)(对R x =处也成立，在R x -=处有类似的性质。

7.4 函数展开成幂级数7.4.2 泰勒级数+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++nn n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ7.4.3 函数展开成幂级数常见函数的泰勒展开式：()01,1,11nn x x x ∞==∈--∑ ()()011,1,11n n n x x x ∞==-∈-+∑()()2101sin ,,(21)nn n x x x n +∞=-=∈-∞+∞+!∑ ()()20(1)cos ,,2n n n x x x n ∞=-=∈-∞+∞!∑()0,,xn n x e x n +∞==∈-∞+∞!∑ ()()(]11ln 1,1,11n n n x x x n +∞=-+=∈-+∑掌握了函数展开成麦克劳林级数的方法后，当要把函数展开成x-x 0的幂级数时，只需要把f (x )转化成x-x 0的表达式，把x-x 0看成变量t ，展开成t 的幂级数，即得x-x 0的幂级数。