2023年1月广东春季高考(学考）数学 知识点总结与易错题训练（四）第四章 指数函数、对数函数与幂函数一、指数运算与指数函数的图象和性质(1)指数幂运算性质： a s ·a t ＝a s ＋t ； (a s )t ＝a st ； (ab )r ＝a r b r ． (2)函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)叫做指数函数．指数函数的图象和性质y ＝a x 0＜a ＜1a ＞1图象性质定义域 R 值域(0，＋∞)定点 过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1． 单调性在R 上是减函数．在R 上是增函数．【易错题训练】1、若10x ＝3,10y ＝4，则10x +y ＝________，102x -y ＝________.2、设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、解指数方程：（1）()x()x= （2）151243=-x （3）=27 （4）22x+1=3.4．判断下列各数的大小关系：(1)1.8a 与1.8a+1； (2)24-231(),3,()331 (3)22.5，(2.5)0， 2.51()25、如图的曲线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数x y a =的图象，而12,,3,22a π⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则图象C 1、C 2、C 3、C 4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．6、设函数11()7,0()22,0xx x f x x -⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(3,)-+∞C ． (3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-+∞7、计算：（1）()113202581π9274e -⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）011430.753237(0.064)(2)16|0.01|8---⎛⎫⎡⎤--+-++- ⎪⎣⎦⎝⎭．二、对数运算与对数函数的图象和性质(1) 对数的概念：如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数．记作：x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lg N ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数ln N .（3）对数式与指数式的互化：log x a a N x N =⇔=.（4）对数的运算性质：如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么：log a a ＝1； log a 1＝0； a log a N ＝N ； log a M ＋log a N ＝log a (MN )； log a M －log a N ＝log a MN ； log a M n ＝n log a M (n ∈R)； log log 01,0()且m n a a nb b a a b m=>≠>； 【易错题训练】1．下列四个命题，其中正确的是( )①对数的真数是非负数； ②若a >0且a ≠1，则log a 1＝0； ③若a >0且a ≠1，则log a a ＝1；A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①②③④ 2．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝( )A ．3B ．±3C ．9D ．23．若对数式log (a －2)9＝2，则a ＝( )A ．－1B ．5 C.134 D ．－1或5 4．对a >0，且a ≠1(M >0，N >0)，下列说法正确的是( ) A ．log a M ·log a N ＝log a (M ＋N ) B.log a Mlog aN ＝log a (M －N )C ．log amM n ＝log a m MnD ．log a M ＝log (－2)Mlog (－2)a5、用对数的形式表示下列各式中的x ：（1）1025x =； （2）212x =； （3）56x =； （4）146x=. 6、计算：log 2(3＋2)＋log 2(2－3)；5log 3333322log 2log log 859-+- lg3＋25lg9＋35lg 27－lg 3lg81－lg277、3a ＝2，则log 38－2log 36= .8、已知集合{}2log 2M x x =<，{}1,0,1,2N =-，则M N =（ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}1,1,2-C ．{}0,1,2D ．{}1,29．如果lgx=lga+3lgb －5lgc ，那么（ ）A ．x =a +3b －cB ．cabx 53=C ．53cab x = D ．x =a +b 3－c 310、解不等式(1) log 12(4x-1)>log 12(2x+3) (2) log 2x ≥log 4(3x+4)(5)对数函数的图象和性质y ＝log a x 0＜a ＜1 a ＞1图象性质定义域(0，＋∞)值域 R定点 过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0． 单调性在(0，＋∞)上是减函数．在(0，＋∞)上是增函数．【易错题训练】1、 比较下列各组数中的两个值大小：(1)log 23.4，log 28.5 (2)log 0.31.8，log 0.32.72．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是( )A ．[22，2]B ．[－1,1]C ．[12，2]D ．(－∞，22]∪[2，＋∞) 3．设0,1a a >≠且，函数2log (2)a y x =++的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(3,2)-D ．(3,2)4．若函数)34(log y 22++=kx kx 的定义域为R ，则k 的取值范围是 .5．已知g (x )＝,00ln e >≤⎩⎨⎧x x xx则g [g (13)]＝________.6、函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)7．若函数y ＝f (x ＋3)的图象经过点P (1,4)，则函数y ＝f (x )的图象必经过点________．8．函数y ＝log a (x ＋2)＋3(a ＞0且a ≠1)的图象过定点________．9、设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是A ． a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>10、11、比较下列各组数中两个值的大小：（1）6log 7，7log 6； （2）3log π，2log 0.8； （3）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8；12、设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A.a <c <b B.b <c <a C.a <b <c D.b <a <c三、幂函数的有关性质(1)函数y ＝x α叫做幂函数(只考虑α＝1，2，3，12，－1的图象)． (2)画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象(如图)，观察它们的性质：幂函数 y ＝x y ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12 y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R ，且y ≠0} 奇偶性 奇 偶奇 非奇非偶 奇单调性 增x ∈(0，＋∞)时，增； x ∈(－∞，0)时，减增 增x ∈(0，＋∞)时，减； x ∈(－∞，0)时，减定点(1，1)①y ＝x α在第一象限的图象，可分为如图中的三类：（在其他象限的图像要根据函数的定义域和奇偶性作图）α>1 01<<α α<0②幂函数y ＝x α的性质．(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)(2)当α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，＋∞)上是增函数(从左往右看，函数图象逐渐上升)．(3)当α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 【易错题训练】1、若函数()f x 是幂函数，且满足()()432f f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．13B ．3C ．13- D ．−32、若幂函数()f x 的图象过点()16,8，则()()2f x f x <的解集为 A ．()(),01,-∞+∞ B ．()0,1 C ．(),0-∞ D ．()1,+∞3、已知223334232,,log 343a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b <<4、已知p ：幂函数()21m y m m x =--在()0,+∞上单调递增；:21q m -<则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5、 如图所示的曲线是幂函数y x α=在第一象限的图象，已知11{44}44α∈--,,,，相应曲线1234,,,C C C C 对应的α值依次为A ．114444--，，，B ．114444--，，，C ．114444--，，， D ．114444--，，， 6、若幂函数()y f x =的图像经过点1(,2)8，则1()8f -的值为_________.7、设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是A ． a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>8、幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 .9、比较大小（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)-- （3）1125.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.5四、 函数的零点1．函数的零点：对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． 2．函数的零点与方程的根、函数图象与x 轴交点的关系函数y ＝f (x )有零点 ⇔ 方程f (x )＝0有实根 ⇔ 函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点．3．零点存在性定理 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 【易错题训练】1． 设实数a 为常数，则函数f (x )＝x 2－x ＋a (x ∈R)存在零点的充分必要条件是( ) A ．a ≤1 B ．a >1 C ．a ≤14 D ．a >142． 函数y ＝ln x 的零点是( )A ．(0，0)B ．x ＝0C ．x ＝1D ．不存在3． 函数f (x )＝2x －1的零点为( )A ．1B ．0C ．(1，0)D ．(0，0)4、函数f (x )＝－x 3－3x ＋5的零点所在的大致区间是( ) A ．(－2，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3)5． 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)6． 若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．a >15 B ．a >15或a <－1 C ．－1<a <15 D ．a <－1【学业水平考试真题】1．(2020年1月广东学考)设a ＝log 23，b ＝log 0．32，c ＝log 32，则( ) A ．c <b <a B ．b <a <c C ．a <b <c D ．b <c <a2．(2021年1月广东学考)已知32.0=a ，323.0,3.0==c b ，则c b a ,,的大小关系( ) A ．b c a << B ．c a b << C ．b a c << D ．c b a << 3．(2021年1月广东学考)下列计算正确的是( )A ．05522=⨯- B ．15225=）（ C ．7lg 5lg 2lg =+ D ．18log 32= 4．(2021年1月广东学考)食品安全问题越来越引起人们的重视，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社搭建了两个无公害蔬菜大棚，分别种植西红柿和黄氐′根据以往的种植经验，发现种植西红柿的年利润P(单位：万元)，种植黄瓜的年利润Q(单位：万元)与投入的资金x(4≤x≤16，单位：万元)满是1241,824+=+=x Q x P ，现该合作社共筹集正20万，将其中8万元投入种植西红和，剩余资金投入种植西瓜，求这两个大棚的年利润总和。