第一章 实数集与函数习题§1实数1、 设a 为有理数，x 为无理数。
证明：（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。
2、 试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。
3、 设a 、b ∈R 。
证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。
4、 设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。
5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。
6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。
证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。
你能说明此不等式的几何意义吗7、 设x>0，b>0，a ≠b 。
证明x b x a ++介于1与ba 之间。
8、 设p 为正整数。
证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。
9、 设a 、b 为给定实数。
试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|<b 。
§2数集、确界原理1、 用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6； （3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<c ）；（4）sinx ≥22。
2、 设S 为非空数集。
试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；（2）S 无界。
3、 试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。
4、 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n21，n ∈+N }。
5、 设S 为非空有下界数集。
证明：infS=ξ∈S ⇔ξ=minS 。
6、 设S 为非空数集，定义-S ={x|-x ∈S}。
证明：（1）inf -S =-supS ；（2）sup -S =-infS 。
7、 设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集A+B={z|z=x+y ，x ∈A ，y ∈B}。
证明：（1）sup （A+B ）=supA+supB ；（2）inf （A+B ）=infA+infB 。
8、 设a>0，a ≠1，x 为有理数。
证明 sup{r a |r 为有理数，r<x}，当a>1， x a = inf{r a |r 为有理数，r<x}，当a<1。
§3函数概念1、 试作下列函数的图象：（1）y=2x +1；（2）y=2)1(+x ；（3）y=1-2)1(+x ；（4）y=sgn （sinx ）；（5）y=⎪⎩⎪⎨⎧=<>.1||,3,1||,,1||,33x x x x x2、 试比较函数y=x a 与y=log x a 分别当a=2和a=21时的图象。
3、 根据图1-2写出定义在[0，1]上的分段函数1f （x ）和2f （x ）的解析表达式。
4、 确定下列初等函数的存在域：（1）y=sin （sinx ）；（2）y=lg （lgx ）；（3）y=arcsin （lg 10x ）；（4）y=lg （arcsin 10x ）。
5、 设函数f （x ）=⎩⎨⎧>≤+.0,2,0,2x x x x 求：（1）f （-3），f （0），f （1）；（2）f （Δx ）-f （0），f （-Δx ）-f （0）（Δx>0）。
6、 设函数f （x ）=x+11，求f （2+x ），f （2x ），f （2x ），f （f （x ）），f （)(1x f ）。
7、 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成：（1）y=20)1(x +；（2）y=22)(arcsin x ；（3）y=lg （1+21x +）；（4）y=x 2sin 2。
8、 在什么条件下，函数y=dcx b ax ++的反函数就是它本身 9、 试作函数y=arcsin （sinx ）的图象。
10、试问下列等式是否成立：(1)tan （arctanx ）=x ，x ∈R ；(2)arctan （tanx ）=x ，x ≠k π+2π，k=0，±1，±2，… 11、试问y=|x|是初等函数吗12、证明关于函数y=[x]的如下不等式：（1）当x>0时，1-x<x[x 1]≤1；（2）当x<0时，1≤x[x1]<1-x 。
§4具有某些特性的函数1、 证明f （x ）=12+x x 是R 上的有界函数。
2、 （1）叙述无界函数的定义； （2）证明f （x ）=21x 为（0，1）上的无界函数； （3）举出函数f 的例子，使f 为闭区间[0，1]上的无界函数。
3、 证明下列函数在指定区间上的单调性：（1）y=3x-1在（-∞，+∞）上严格递增；（2）y=sinx 在[-2π，2π]上严格递增； （3）y=cosx 在[0，π]上严格递减。
4、 判别下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=214x +2x -1；（2）f （x ）=x+sinx ； （3）f （x ）=2x 2x e -；（4）f （x ）=lg （x+21x +）。
5、求下列函数的周期：（1）x 2cos ；（2）tan3x ；（3）cos 2x +2sin 3x 。
6、设函数f 定义在[-a ，a]上，证明：（1）F （x ）=f （x ）+f （-x ），x ∈[-a ，a]为偶函数；（2）G （x ）=f （x ）-f （-x ），x ∈[-a ，a]为奇函数；（3）f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和。
7、设f 、g 为定义在D 上的有界函数，满足f （x ）≤g （x ），x ∈D 。
证明：（1）D x ∈sup f （x ）≤D x ∈sup g （x ）；（2）D x ∈inf f （x ）≤Dx ∈inf g （x ）。
8、设f 为定义在D 上的有界函数，证明：（1）D x ∈sup {-f （x ）}=-D x ∈inf f （x ）；（2）D x ∈inf f （x ）=-Dx ∈sup f （x ）。
9、证明：tanx 在（-2π，2π）上无界，而在（-2π，2π）内任一闭区间[a ，b]上有界。
10、讨论狄利克雷函数 1，当x 为有理数，D （x ）=0，当x 为无理数的有界性、单调性与周期性。
11、证明：f （x ）=x+sinx 在R 上严格增。
12、设定义在[a ，+∞）上的函数f 在任何闭区间[a ，b]上有界。
定义[a ，+∞）上的函数：m （x ）=x y a ≤≤inf f （y ），M （x ）=xy a ≤≤sup f （y ）。
试讨论m （x ）与M （x ）的图象，其中（1）f （x ）=cosx ，x ∈[0，+∞）；（2）f （x ）=2x ，x ∈[-1，+∞）。
总练习题1、 设a 、b ∈R ，证明：（1）max{a ，b}=21（a+b+|a-b|）；（2）min{a ，b}=21（a+b-|a-b|）。
2、设f 和g 都是D 上的初等函数。
定义M （x ）=max{f （x ），g （x ）}，m （x ）=min{f （x ），g （x ）}，x ∈D试问M （x ）和m （x ）是否为初等函数3、设函数f （x ）=xx +-11，求： f （-x ），f （x+1），f （x ）+1，f （x 1），)(1x f ，f （2x ），f （f （x ））。
4、已知f （x1）=x+21x +，求f （x ）。
5、利用函数y=[x]求解：（1）某系各班级推荐学生代表，每5人推荐1名代表，余额满3人可增选1名。
写出可推选代表数y 与班级学生数x 之间的函数关系（假设每班学生数为30—50人）；（2）正数x 经四舍五入后得整数y ，写出y 与x 之间的函数关系。
6、已知函数y=f （x ）的图象，试作下列各函数的图象：（1）y==-f （x ）；（2）y=f （-x ）；（3）y=-f （-x ）；（4）y=|f （x ）|；（5）y=sgnf （x ）；（6）y=21[|f （x ）|+f （x ）]；（7）y=21[|f （x ）|-f （x ）]。
7、已知函数f 和g 的图象，试作下列各函数的图象：（1）ϕ（x ）=max{f （x ），g （x ）}；（2）ψ（x ）= min{f （x ），g （x ）}。
8、设f 、g 和h 为增函数，满足f （x ）≤g （x ）≤h （x ），x ∈R 。
证明：f （f （x ））≤g （g （x ））≤h （h （x ））。
9、设f 和g 为区间（a ，b ）上的增函数，证明第7题中定义的函数ϕ（x ）和ψ（x ）也都是（a ，b ）上的增函数。
10、设f 为[-a ，a]上的奇（偶）函数。
证明：若f 在[0，a]上增，则f 在[-a ，0]上增（减）。
11、证明：（1）两个奇函数之和为奇函数，其积为偶函数；（2）两个偶函数之和与积都为偶函数；（3）奇函数与偶函数之积为奇函数。
12、设f ，g 为D 上的有界函数。
证明：（1）D x ∈inf {f （x ）+g （x ）}≤D x ∈inf f （x ）+Dx ∈sup g （x ）； （2）D x ∈sup f （x ）+D x ∈inf g （x ）≤Dx ∈sup {f （x ）+g （x ）}。
13、设f ，g 为D 上的非负有界函数。
证明：（1）D x ∈inf f （x ）·D x ∈inf g （x ）≤Dx ∈inf {f （x ）g （x ）}； （2）D x ∈sup {f （x ）g （x ）}≤D x ∈sup f （x ）·Dx ∈sup g （x ）。
14、将定义在[0，+∞）上的函数f 延拓到R 上，使延拓后的函数为（ⅰ）奇函数；（ⅱ）偶函数。
设（1）f （x ）=sinx+1；（2）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--.1,,10,1132x x x x 15、设f 为定义在R 上以h 为周期的函数，a 为实数。
证明：若f 在[a ，a+h]上有界，则f 在R 上有界。
16、设f 在区间I 上有界。
记M=I x ∈sup f （x ），m=Ix ∈inf f （x ）。
证明|)()(|sup ,x f x f Ix x ''-'∈'''=M-m 。