2019人教版精品教学资料·高中选修数学选修2-2课本例题习题改编1.原题（选修2-2第十一页习题1.1B 组第一题）改编 在高台跳水中，t s 时运动员相对水面的高度(单位：m ）是105.69.4)(2++-=t t t h 则t=2 s 时的速度是_______. 解：5.68.9)(+-='t t h 由导数的概念知：t=2 s时的速度为)/(1.135.628.9)2(s m h -=+⨯-='2.原题（选修2-2第十九页习题1.2B组第一题）改编记21sin 23sin ,23cos ,21cos -===c B A ，则A,B,C 的大小关系是（ ）A ．ABC >> B ．A C B >>C ． B A C >>D. C B A >>解：时的导数值，，在分别表示，2321sin 23cos 21cos =x x 记)23sin 23(,21sin 21，），（N M根据导数的几何意义A 表示sinx 在点M 处的切线的斜率，B 表示sinx 在点N 处的切线的斜率，C 表示直线MN 的斜率， 根据正弦的图像可知A >C >B 故选B32.521.510.50.511.522.535432112345f x () = sin x ()MN3.原题（选修2-2第二十九页练习第一题）改编 如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数A. 13(,)x xB. 24(,)x xC.46(,)x xD.56(,)x x 解：函数的单调递减区间就是其导函数小于零的区间，故选B4.原题（选修2-2第三十二页习题 1.3B 组第1题（4））改编 设02x π<<，记s i n ln sin ,sin ,x a x b x c e === 试比较a,b,c 的大小关系为（ ）A a b c<< B b a c << C c b a << D b c a <<解：先证明不等式ln xx x e << x>0设()ln ,0f x x x x =->因为1()1,f x x '=-所以，当01x <<时，1()10,f x x '=->()f x 单调递增，()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时1()10,f x x'=-<()f x 单调递减，()l n (1)1f x x x f =-<=-<；当x=1时，显然ln11<，因此ln x x <设(),0xg x x e x =->()1x g x e '=- 当0()0x g x '><时 ()(0,+g x ∴∞在）单调递减 ∴()(0)0g x g <=即xx e <综上：有ln xx x e <<，x>0成立02x π<<∴0sin 1x << ∴ sin ln sin sin xx x e<< 故选A5.原题（选修2-2第三十七页习题1.4A 组第1题）改编 用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是_________.解：设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=230(m)35.441218＜＜x x x h .故长方体的体积为).230)((m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-= 从而2()181818(1).V x x x x x '=-=-令0(X)V ='，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1. 当0＜x ＜1时，(X)V '＞0；当1＜x ＜32时，(X)V '＜0， 故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值.从而最大体积V ＝3（m 3），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3. 6.原题（选修2-2第四十五页练习第二题）改编 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t 的速度为v(t)=-t 2+4,（30≤≤t t ）（t 的单位：h, v 的单位：km/h ）则这辆车行驶的最大位移是______km解：当汽车行驶位移最大时，v(t)=0.又v(t)=-t 2+4=0且30≤≤t ,则t=2316431-)4(23202max =+=+-=∴⎰）（t t dt t s ，故填316 7.原题（选修2-2第五十页习题1.5A 组第四题）改编 =--⎰11-21dx x ex）（________解：)1(2121102112x 11-2⎰⎰⎰--=--=--dx x e dx x e dx x exx）（）（，而⎰-121dx x 表示单位圆x 2+y 2=1在第一象限内的部分面积,4112π=-∴⎰dx x∴=--⎰11-21dx x e x）（2(e-1-4π)=22e 2π-- 故填22e 2π--. 8.原题（选修2-2第五十三页例2）改编 曲线)x 0sin π≤≤=（x y 与直线y=21围成的封闭图形的面积为（ ）A ．3 B.3-2 C.3-2π D.3-3π解：由21sin =x 与)x 0π≤≤（得656ππ或=x ，所以曲线)x 0sin π≤≤=（x y 与直线y=21围成的封闭图形的面积3cos )665(21sin s 656656πππππππ--=-⨯-=⎰xxdx =333)6cos (65cosππππ-=---- 故选D9.原题（选修2-2第五十六页例1）改编 由曲线211y x =--，22y x x =-+所围成图形的面积为____________ 解：联立{22112x y xx y --=+-= 得焦点坐标（0,0），（1,1）∴11220(2)(11)s x x dx x dx =-+---⎰⎰123210012(2)()33x x dx x x -+=-+=⎰11121220(11)111x dx x x dx x dx --=--=--⎰⎰⎰而121x dx -⎰表示单位圆221x y +=在第一象限内的部分 ∴1201x dx -⎰=4π ∴2113443s ππ=-+=-故填143π-1.41.210.80.60.40.20.20.40.60.811.21.42 1.510.50.51 1.52 2.5g (x )f (x )g x () = x ∙x + 2∙xf x () = 1 1 x ∙x10.原题（选修2-2第七十八页练习3）改编 设P 是ABC ∆内一点，ABC ∆三边上的高分别为A h 、B h 、C h ，P 到三边的距离依次为a l 、b l 、c l ，则有a b c A B Cl l lh h h ++=______________；类比到空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别是A h 、B h 、C h 、D h ，P 到这四个面的距离依次是a l 、b l 、c l 、d l ，则有_________________。

解：用等面积法可得，ABCPAB C c ABC PAC B b ABC PBC A a S Sh l S S h l S S h l ∆∆∆∆∆∆===,,同理 所以 a b c A B C l l l h h h ++=1=++∆∆∆∆∆∆ABCPAB ABC PAC ABC PBC S S S S S S ，类比到空间有1=+++D d C c B b A a h lh l h l h llahA CBA P11.原题（选修2-2第八十二页阅读与思考）改编 如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1； (2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222.拓展到空间，类比三角形的余弦定理， 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明. 解：(1) 证明：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP ∠,在PMN ∆中，cos 2222⇒∠⋅-+=MNP MN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=.12.原题（选修2-2第九十六页习题 2.3A 组第一题）改编 在数列}{n a 中，33,2111+==+n nn a a a a ，则数列}{n a 的通项公式为____________ 解：本题有多种求法，“归纳——猜想——证明”是其中之一,73,632121===a a 3433,,89a a ==猜想53+=n a n 下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，215131=+=a ，猜想成立（2）假设当n=k 时猜想成立，则5)1(3353533331++=+++⋅=+=+k k k a a a k k k当n=k+1时猜想也成立，综合（1）（2），对*∈N n 猜想都成立.故应填53+=n a n13.原题（选修2-2第页习题一百一十二页习题 3.2A 组第4题（4））改编 复数的共轭复数是）（20122321i +( )A. i 2321+-B. i 2321--C. i 2321+D. i 2321-解：212343234123212-=-+=+i i i ）（ 14143)2123(232123213-=--=-⨯+=+∴i i i ）（）（i232121231-2321)2321(2321670267032012+-=-=+⨯+=+∴）（）（）（）（）（i i i i其共轭复数为i 2321--，故选B。