2020-2021学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（∁U A）∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．（1，2）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）2．已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．﹣2B．﹣2i C．1D．i3．化简式子cos15°cos45°+sin15°sin45°的值是（）A．B．C．﹣D．﹣4．已知a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2，则（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c5．函数f（x）＝（x2+1）sin2x，（﹣π≤x≤π）的图象可能是（）A．B．C．D．6．已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点P（x0，2），若点P到该抛物线焦点的距离为4，则|OP|等于（）A．B．C．4D．7．已知球面上A，B，C三点，O是球心．如果AB＝BC＝AC＝，且球的体积为π，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．1B．C．D．28．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B+2sin A cos C＝0，则cos B的最小值为（）A．B．C．D．9．记函数g（x）＝e x﹣e﹣x+sin x，若不等式g（2x+a）+g（x2﹣1）＞0，对∀x∈[﹣1，1]恒成立，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣2，+∞）D．[﹣2，+∞）10．先将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数g（x）的图象，若方程f（x）＝g（x）有实根，则ω的值可以为（）A．B．1C．2D．411．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形x2+y2＝4．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；②当时，直线y＝ax+2a与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则x+y的最大值为；④若点P（0，1），MN为圆x2+y2＝4过点P的直径，线段AB是圆x2+y2＝4所有过点P的弦中最短的弦，则的值为12．其中所有正确结论的序号是（）A．①③B．③④C．①③④D．①②④12．已知A，B，C是双曲线上的三个点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值为．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．15．已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为．16．已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线AC将三角形ABC折起，使得点B在平面ACD上的射影在线段AD上，此时cos∠BAD的值是．三.解答题（共70分.）（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}是一个等差数列，且a3＝3，a2+a5＝7，数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且满足：b1＝．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数{c n}列满足c n＝a n b n，其前n项和为T n．求证：T n＜2．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB＝2AD＝2CD＝4，PC＝2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19．在平面直角坐标系中，已知F1（﹣1，0），直线l：x＝﹣4，点P为平面内的动点，过点P做直线l的垂线，垂足为点M，且（2﹣•（2+）＝0，点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设F2（1，0），过F2且与x轴不重合的直线n与曲线C相交于不同的两点A，B．则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线n的方程；若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）＝3x2+（6﹣a）x﹣alnx（a∈R）．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+e x＞3x2+5x+2．21．某单位为患病员工集体筛查病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有k（k∈N*，k≥2）份血液样本，假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）．下面有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验．逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是a（a＞0）元，若k份血液样本采用混合检验方案，则需要额外收取元的材料费和服务费．（1）若k（k∈N*，k≥2）份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X 的分布列及数学期望；（2）①若，以检验总费用的数学期望为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一的，求k的最大值．（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1，1，ln7≈1.9，ln10≈2.3，ln11≈2.4）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4─4：坐标系与参数方程]22．若以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），，当直线l与曲线C相交于A，B两点，求．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+|2x+1|．（1）解不等式：f（x）≥6；（2）设x∈R时，f（x）的最小值为M．若正实数a，b，c满足a+b+c＝M，求ab+bc+ca 的最大值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（∁U A）∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．（1，2）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）解：U＝R，A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，∴∁U A＝{x|x≥2}，（∁U A）∪B＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）．故选：D．2．已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．﹣2B．﹣2i C．1D．i解：由z（1+2i）＝|4﹣3i|＝，得z＝，∴复数z的虚部为﹣2．故选：A．3．化简式子cos15°cos45°+sin15°sin45°的值是（）A．B．C．﹣D．﹣解：由两角差的余弦公式可得cos15°cos45°+sin15°sin45°＝cos（45°﹣15°）＝cos30°＝故选：B．4．已知a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2，则（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c解：∵a＝20.5＞1，b＝logπ3∈（0，1），c＝log2＜0．∴a＞b＞c．故选：D．5．函数f（x）＝（x2+1）sin2x，（﹣π≤x≤π）的图象可能是（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝（x2+1）sin（﹣2x）＝﹣（x2+1）sin2x＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，当x＝时，f（）＝[（）2+1]sin（2×）＝0．排除C，故选：D．6．已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点P（x0，2），若点P到该抛物线焦点的距离为4，则|OP|等于（）A．B．C．4D．解：由题意设抛物线的方程为x2＝2py（p＞0），抛物线的准线方程为y＝﹣，由抛物线的性质可得2+＝4，解得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝8y，将P点的坐标代入可得x02＝8×2＝16，所以|OP|＝＝＝2，故选：D．7．已知球面上A，B，C三点，O是球心．如果AB＝BC＝AC＝，且球的体积为π，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．1B．C．D．2解：由AB＝BC＝AC＝，可得△ABC为正三角形，设其中心为G，可得其外接圆的半径r＝＝1，再设球的球心为O，半径为R，连接OG，由球的体积为π，得πR3＝π，得R＝，∴球心到平面ABC的距离为OG＝，又，∴，故选：C．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B+2sin A cos C＝0，则cos B的最小值为（）A．B．C．D．解：∵sin B+2sin A cos C＝0，∴由正弦定理及余弦定理得：b+2a•＝0，可得：a2+2b2﹣c2＝0，又cos B＝＝＝+≥，当且仅当＝，即＝时取等号，即cos B的最小值为．故选：C．9．记函数g（x）＝e x﹣e﹣x+sin x，若不等式g（2x+a）+g（x2﹣1）＞0，对∀x∈[﹣1，1]恒成立，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣2，+∞）D．[﹣2，+∞）解：函数g（x）＝e x﹣e﹣x+sin x，由g（﹣x）＝e﹣x﹣e x+sin（﹣x）＝﹣（e x﹣e﹣x+sin x）＝﹣g（x），可得g（x）为奇函数，又g′（x）＝e x+e﹣x+cos x，由e x+e﹣x≥2＝2，﹣1≤cos x≤1，可得g′（x）＞0，g（x）在R上递增，由g（2x+a）+g（x2﹣1）＞0，即g（2x+a）＞﹣g（x2﹣1），可得g（2x+a）＞﹣g（x2﹣1）＝g（1﹣x2），即为2x+a＞1﹣x2在x∈[﹣1，1]恒成立，也即﹣a＜x2+2x﹣1在x∈[﹣1，1]恒成立，由y＝x2+2x﹣1在x∈[﹣1，1]递增，可得y＝x2+2x﹣1的值域为[﹣2，2]，则﹣a＜﹣2，即a＞2，故选：B．10．先将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数g（x）的图象，若方程f（x）＝g（x）有实根，则ω的值可以为（）A．B．1C．2D．4解：先将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin（ωx+）的图象；再向上平移2个单位长度后得到函数g（x）＝sin（ωx+）+2的图象，若方程f（x）＝g（x）有实根，即sinωx＝sin（ωx+）+2能成立．当ω＝时，方程即sin＝sin（+）+2，它不会成立．当ω＝1时，方程即sin x＝sin（x+）+2，它不会成立．当ω＝2时，方程即sin2x＝sin（2x+π）+2＝﹣sin2x+2，即sin2x＝1，它能成立；当ω＝4时，方程即sin4x＝sin（4x+2π）+2＝sin4x+2，它不会成立；故选：C．11．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形x2+y2＝4．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；②当时，直线y＝ax+2a与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则x+y的最大值为；④若点P（0，1），MN为圆x2+y2＝4过点P的直径，线段AB是圆x2+y2＝4所有过点P 的弦中最短的弦，则的值为12．其中所有正确结论的序号是（）A．①③B．③④C．①③④D．①②④解：对于①，设黑色阴影部分的面积为S b，整圆所面积为S，一由对称性知，S b═S．所以随机点取自黑色阴影部分的概率为：p＝，所以①对；对于②，直线方程为y＝x，即3x+2y+6＝0，下面求（0，0）到此直距离：d＝，直线与圆x2+y2＝4相离，y＝ax+2a与白色部分没有公共点，所以②错；对于③，设x+y＝k，黑色阴影部分的边界在第一象限的方程为：x2+（y﹣1）2＝1，圆心（0，1），由点到直线距离公式得，d＝≤1⇒1﹣≤k≤1+，“＝”成立时，即x2+（y﹣1）2＝1与直线x+y＝k在第一象限相切，此时x+y取最大值+1，所以③对；对于④，由于MN为圆x2+y2＝4过点P的直径，M、N为与y轴交点，M（0，2），N （0，﹣2），线段AB是圆x2+y2＝4所有过点P的弦中最短的弦，则AB是平行于x轴的弦，设AB与y轴交点Q点，|AQ|2＝|OA|2﹣|OQ|2，|AQ|═，A（﹣，1），B（，1），＝（2，0），＝（0﹣（），2﹣1）＝（，1），＝（，﹣2﹣1）＝（，﹣3），＝（）•（2，0）＝﹣12，所以④错；故选：A．12．已知A，B，C是双曲线上的三个点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解：取双曲线的左焦点F′，可设AF＝t，CF＝3t，由双曲线的定义可得CF'＝2a+3t，AF'＝2a+t，BF⊥AC，可得四边形AFBF'为矩形，可得△AF'C为直角三角形，即有AF'2+AC2＝CF'2，即（2a+t）2+16t2＝（2a+3t）2，解得a＝t，即有AF＝a，AF'＝3a，FF'＝2c，可得AF2+AF'2＝FF'2，可得a2+9a2＝4c2，即10a2＝4c2，即e＝＝故选：D．二、填空题：（每题5分，共20分）13．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值为4．解：由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x+2y＝0并平移，由图知当直线3x+2y﹣z＝0经过点A（0，2）时，z＝3x+2y取得最小值，即z min＝3×0+2×2＝4．故答案为：4．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝0.7．解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.715．已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为270．解：根据题意，令x＝1，可得（3+a）5＝32，解得a＝﹣1，所以即的展开式的通项公式为T r+1＝（3x2）5﹣r＝（﹣1）r35﹣r x10﹣5r，令10﹣5r＝0，解得r＝2，所以展开式中的常数项为（﹣1）233＝270．故答案为：270．16．已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线AC将三角形ABC折起，使得点B在平面ACD上的射影在线段AD上，此时cos∠BAD的值是．解：设点B在平面ACD上的射影在线段AD上为H，则BH⊥平面ADC，∴AH⊥DC，又DC⊥AD，且AD∩BH＝H，∴DC⊥平面ABD，可得CD⊥BD，在Rt△BDC中，由BC＝4，CD＝3，可得BD＝＝＝；设DH＝x，则AH＝4﹣x，∴BD2﹣DH2＝AB2﹣AH2，即7﹣x2＝7﹣（4﹣x）2，解得x＝2，可得cos∠BAD＝＝．故答案为：．三.解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}是一个等差数列，且a3＝3，a2+a5＝7，数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且满足：b1＝．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数{c n}列满足c n＝a n b n，其前n项和为T n．求证：T n＜2．解：（1）解：∵{a n}为等差数列，设公差为d，∴，∴，∴a n ＝a1+（n﹣1）d＝n，∵{b n}为等比数列，b n＞0，设公比为q，则q＞0，∴，∴，∴，即a n＝n，b n＝（）n；（2）证明：由（1）得c n＝a n b n＝，∴①，∴②，∴由①﹣②得：∴T n＝+（）2+（）3+…+（）n﹣n•（）n+1＝＝1﹣（n+2）•（）n+1，∴T n＝2﹣（n+2）•（）n，∴T n＜2．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB＝2AD＝2CD＝4，PC＝2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB＝4，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝2．∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC．∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，﹣2，0）．设P（0，0，2a）（a＞0），则E（1，﹣1，a），＝（2，2，0），＝（0，0，2a），＝（1，﹣1，a）．取＝（1，﹣1，0），则•＝•＝0，为面PAC的法向量．设＝（x，y，z）为面EAC的法向量，则•＝•＝0，即，取x＝a，y＝﹣a，z＝﹣2，则＝（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|＝＝＝，则a＝2．…于是n＝（2，﹣2，﹣2），＝（2，2，﹣4）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…19．在平面直角坐标系中，已知F1（﹣1，0），直线l：x＝﹣4，点P为平面内的动点，过点P做直线l的垂线，垂足为点M，且（2﹣•（2+）＝0，点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设F2（1，0），过F2且与x轴不重合的直线n与曲线C相交于不同的两点A，B．则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线n的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）设动点P（x，y），则M（﹣4，y），由F1（﹣1，0），则＝（﹣1﹣x，﹣y），＝（﹣4﹣x，0），2﹣＝（2﹣x，﹣2y），2+＝（﹣6﹣3x，﹣2y），∵（2﹣）•（2+）＝0，∴4（x+1）2+4y2＝（x+4）2，化简得：+＝1．∴所求曲线C的方程为+＝1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨令y1＞0，y2＜0，设△F1AB的内切圆半径为R，则△F1AB的周长为4a＝8，＝（|AB|+|F1B|+|F2B|）R＝4R，由此可知，当△F1AB的面积最大时，△F1AB的内切圆面积最大，可设直线n的方程为x＝my+1，联立得：（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，则＝|F1F2||y1﹣y2|＝＝，令＝t，则m2＝t2﹣1（t≥1），∴＝＝，令f（t）＝3t+（t≥1），则f'（t）＝3﹣，当t≥1时，f'（t）＞0恒成立，则f（t）＝3t+在[1，+∞）上单调递增，∴f（t）≥f（1）＝4，即f（t）的最小值为4．∴≤3，即当t＝1时，的面积最大为3，此时，△F1AB的内切圆的最大半径为R＝，所以，△F1AB的内切圆的面积取得最大值为S＝πR2＝故直线n的方程为x＝1，△F1AB的内切圆的面积最大值为．20．已知函数f（x）＝3x2+（6﹣a）x﹣alnx（a∈R）．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+e x＞3x2+5x+2．解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），由已知得，当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，由f'（x）＞0，得，由f'（x）＜0，得，所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为，综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）当a＝1时，不等式f（x）+e x＞3x2+5x+2可变为e x﹣lnx﹣2＞0，令h（x）＝e x﹣lnx﹣2，则，可知函数h'（x）在（0，+∞）单调递增，而h′（）＝﹣3＜0，h′（1）＝e﹣1＞0，所以方程h'（x）＝0在（0，+∞）上存在唯一实根x0，即，当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增；所以，即e x﹣lnx﹣2＞0在（0，+∞）上恒成立，所以对任意x＞0，f（x）+e x＞3x2+5x+2成立．21．某单位为患病员工集体筛查病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有k（k∈N*，k≥2）份血液样本，假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）．下面有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验．逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是a（a＞0）元，若k份血液样本采用混合检验方案，则需要额外收取元的材料费和服务费．（1）若k（k∈N*，k≥2）份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X 的分布列及数学期望；（2）①若，以检验总费用的数学期望为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一的，求k的最大值．（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1，1，ln7≈1.9，ln10≈2.3，ln11≈2.4）解：（1）X所以对任意1和k+1P（X＝1）＝（1﹣p）k，P（X＝k+1）＝1﹣（1﹣p）k，所以随机变量X的分布列为：X1k+1P（1﹣p）k1﹣（1﹣p）k所以E（X）＝1×（1﹣p）k+（k+1）×[1﹣（1﹣p）k]＝k+1﹣k（1﹣p）k．（2）①设方案一总费用为Z，方案二总费用为Y，则，所以方案二总费用的数学期望为：，又k＝5，所以，又方案一的总费用为Z＝5a，所以，当时，，又a＞0，所以，所以Z＞E（Y），所以该单位选择方案二合理．②由①知方案二总费用的数学期望，当时，，又方案一的总费用为Z＝ak，令E（Y）＜Z得，，所以，即，即，所以，设，所以，令f'（x）＞0，得2≤x＜7，f'（x）＜0得x＞7，所以f（x）在区间[2，7）上单调递增，在区间（7，+∞）上单调递减，f（x）max＝f（7）＝ln7﹣1﹣2（ln3﹣ln2）＝0.1＞0，，，，，，所以k的最大值为11．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4─4：坐标系与参数方程]22．若以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），，当直线l与曲线C相交于A，B两点，求．解：，∴ρ2sin2θ＝6ρcosθ，根据，∴曲线C的直角坐标系方程为y2＝6x．（2）直线l的参数方程为，代入y2＝6x得t2﹣4t﹣12＝0．则，因为在直线l上，所以|PA|⋅|PB|＝|t1t2|＝12，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+|2x+1|．（1）解不等式：f（x）≥6；（2）设x∈R时，f（x）的最小值为M．若正实数a，b，c满足a+b+c＝M，求ab+bc+ca 的最大值．解：（1）当时，不等式等价为﹣2x+3﹣2x﹣1≥6，解得x≤﹣1；当时，不等式等价为﹣2x+3+2x+1≥6，无解；当时，不等式等价为2x﹣3+2x+1≥6，解得x≥2；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）；（2）由|2x﹣3|+|2x+1|≥|2x﹣3﹣2x﹣1|＝4，可得f（x）的最小值为M＝4，即a+b+c＝4，由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，当且仅当“a＝b＝c”时取等号，所以3（ab+bc+ca）≤（a+b+c）2＝16，故，当且仅当“a＝b＝c”时取等号，故ab+bc+ca的最大值为．。