、绪论1. 思考题1.何为约束优化设计问题 ?什么是无约束优化设计问题 ?试各举一例说明。

机械优化设计问题多属哪一类？2.一般优化问题的数学模型包括哪些部分?写出一般形式的数学模型。

3.机械优化设计的过程是怎样的 ?它与常规的机械设计有什么不同 ?4.怎样判断所求得的最优解是不是全局最优解？5.试简述优化算法的迭代过程。

6.何为可行域？为什么说当存在等式约束则可行域将大为缩小?当优化问题中有—个等式约束时可行域是什么 ?当优化问题中有两个等式约束时可行域是什么?当 n 维优化问题中有 n 个等式约束时可行域是什么？7.什么是内点、什么是外点 ?在优化设计中内点和外点都可以作为设计方案吗?为什么 ?8.试写出第一节中第三个问题的数学模型。

9.目标函数及其等值线（等值面）的意义和特性是什么？2.习题1.设计一容积为 V 的平底、无盖圆柱形容器，要求消耗原材料最少，试建立其优化设计的数学模型，并指出属于哪一类优化问题。

2.当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S 时，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答：①属于几维的优化问题？②是线性规划还是非线性规划？3.欲造容积为 V 的长方形无盖水箱，问应如何选定其长、宽、高尺寸，才能使用料消耗最少？试写出其数学模型。

4.试求直径为 D 的圆内所有内接三角形面积中的最大值。

5•在曲面f l（X l,X2,X3）=0上找一点P l,在曲面f2（X l,X2,X3）=0上找一点卩2,使得P l与卩2的距离为最短，试建立优化问题的数学模型。

6•有一薄铁皮，宽b=14cm，长L=24cm，制成如图2-9所示的梯形槽，求边长 X和倾斜角a为多大时，槽的容积最大？试写出此问题的优化设计模型并指出该问题属于哪一类的优化设计问题。

7•欲制一批如图 2-12所示的包装纸箱，其顶和底由四边延伸的折纸板组成。

要求纸箱的容积为2m3,问如何确定a、b和c的尺寸，使所用的纸板最省。

试写出该优化问题的数学模型。

8•—根长I的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形。

问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大,试写出这一优化问题的数学模型。

9•某厂生产A、B两种产品：A每桶需用煤90kN、电4度、劳动日3个，获利润700元；B每桶需用煤40kN、电5度、劳动日10个，获利润1200元。

但计划规定可用煤 3600kN、电200度、劳动日 300 个,试问 A、 B 各生产多少桶时利润最大？列出其教学模型,并说明属于何种数学规划问题?10.某厂生产两种机器，两种产品生产每台所需钢材分别为2吨和3吨，所需工时数分别为 4千小时和 8千小时,而产值分别为 4万元和 6万元。

如果每月工厂能获得的原材料为 100吨,总工时数为 120千小时。

现应如何安排两种机器的月产台数,才能使月产值最高。

试写出这一优化问题的数学模型。

11要将10米长的钢管截成3米和4米长的各100根，要求设计出用料最省的下料方法。

试写出其数学模型。

12•设计一个二级展开式渐开线标准直齿圆柱齿轮减速器，已知总传动比i = 20,高速级齿轮模数m1,2=2.5mm ,低速级齿轮模数 m s,4=3mm ,要求减速器高速轴与低速轴间中心距a最小，试建立其优化设计的数学模型，并指出属于哪一类优化问题。

13.设计一个展开式二级圆柱齿轮减速器，要求其高、低速轴间的中心距最小。

已知总传动比i = i1 x i2=4,齿轮齿数z1=z3，模数均为2.5mm，试建立其数学模型，并说明属于何种数学规划问题。

14.自行提出一个数学规划问题，并建立其数学模型。

15.如图2-13所示，已知跨距为I、截面为矩形的简支架，其材料密度为p许用弯曲应力为［创,允许挠度为［f］，在梁的中点作用一集中载荷 P,梁的截面宽度b不得小于b min，现要求设计此梁，使其质量最轻•试写出其优化设计数学模型。

16.矩形截面简支梁，在跨距I的全部长度内受到均布载荷q,其材料密度为p许用弯曲应力为［切］。

要求梁的宽度不小于 b min，最大挠度不大于［S］。

试写出此梁重量最轻优化设计的数学模型。

17.有一圆形等截面的销轴，一端固定在机架上，另一端作用着集中载荷P和扭矩M，其简化模型如图2-14所示。

由于结构的需要，轴的长度I不得小于I min。

已知销轴材料的许用弯曲应力［aw］和许用扭剪应力［T，允许挠度为［f］；设计材料的密度为p和弹性模量为E。

现要求设计这根销轴，在满足使用要求下使其质量为最轻，试写出其优化设计数学模型。

18.试按质量最轻的原则选择平均半径R和壁厚t，设计图2-25所示的薄壁圆柱形容器，要求容积不小于25.0m3，容器内压力 p为3.5MPa，切向应力a不超过210Mpa，应变量不超过 0.001。

要求：(1)建立优化设计的数学模型；(2 )用图解法求出最优解。

19.三杆悬挂结构(图1-5)的材料已经选定，其比重为p，弹性模量为E，许用拉应力为［a。

此结构的设计载荷为2p。

试写出其重量最轻优化设计的数学模型。

20.平面桁架(图l-6)由钢管组成，承受载荷 2p。

钢管的壁厚为t，桁架的跨度为2B。

钢管的直径d 和桁架高度H可以选择。

桁架应满足强度和刚度的要求。

试写出其重量最轻优化设计的数学模型。

21.当某试验参数 a为1，2，3, 4，5时，其对应结果 f(a)为3，5，4，2，1。

试用一个二项式p(a)=a2X1+ax2+X3，去逼近f(a)，求X1，X2，X3为多大时，使得当 a=2，3，4，5时各点误差平方和为最小，且要求a=1时，p(a)=f(a)。

试写出该问题的优化设计数学模型。

22.己知两个物理量 x和y之间的依赖关系为其中a1~a5为待定参数。

为了确定这些参数的值，对x和y测得m个实验点：(x1，y1)，(X2,y2)，…，(X m,y m)。

试将确定参数的问题表示成最优化问题。

23.有一个初始的设计电路，内有m个可调整的电阻。

如图 1-4所示。

要求的响应是电路内 m个节点电压为给定的一组数，即V1=V D1,V2=V D2，...，V n=V Dn，而实际的响应里每一个节点的电压都依赖于这m个可调的电阻，示为V i=U i(R1,R2,...,R m)，i=1~n试建立优化的数学模型。

24.某现象的理论公式为：F(t)捲X2e x3t。

透过实验已测得 m个F(t)对应于t的值。

要求确定X1、X2和X3三个参数，其中 X3> 0,使理论公式与实验数据的偏差平方和为最小。

试写出这个问题的数学模型。

25.热敏电阻R= X1 exp X2—，今测得温度t与R的15组实验数据。

要求确定参数X1、X2和X3t X3使电阻R的计算值与实测值的均方差最小。

试建立其数学模型。

26.已知一圆形截面悬臂梁，在其悬臂端作用一集中载荷P和一扭矩M，要求悬伸长度 L=a~b，截面直径d=d o ~d i 。

问在满足强度和刚度要求的条件下使所需材料最少，应如何建立该优化设计问题 的数学模型？并示出。

27•试画出下列约束条件下， x=[x i X 2]T的可行域：(1) g i (x)=x i 2+(x 2-1)2-1 < 0 g 2(x)=(x 卜1)2+X 22-1 < 0 g 3(x)=x i +x 2-1 < 0(2) g i (x)=2x I +X 2-6< 0 g 2(x)=-x i W 0 g 3(x)=-X 2W 0 g 4(x)=x i 2+X 22-16< 0 28. 试画出下列约束条件下 X=[X I ,X 2]T的可行域，并说明哪个是不起作用的约束。

(1) g i (x)=-x i 2+x 2> 0g 2(x)=x i -x 2+3 > 0 g 3(x)=-x i -x 2+8 > 022(2) g i (x)=x i +x 2/2-3 > 0 g 2(x)=x i >0 g 3(x)=x 2》0 h(x)=-x i -X 2+16 > 0 29. 已知约束条件为22 g i (x)=-x i +x 2-3 > 0 g 2(x)=-x i -X 2+9 > 0试问X i =[2,-2]T, X 2=[3,3]T, X 3=[-3,0]T, X 4=[-i,i]T等四点中有几个可行点？并写出可行点。

30. 画出满足下列约束的可行域。

g i (x)=48-3 X I -2X 2> 0 g 2(x)=i8-x i -x 2》0 g 3(x)=x i > 0 g 4(x)=x 2》031. 试将优化问题 的目标函数等值线和约束边界曲线勾画出来，并回答下列问题：(a) X=[i,i]T是不是可行点？(b) X=[5/2,i/2] T是不是可行点 ?(c) 可行域D 是否为凸集，用阴影线描绘出可行域的范围。

32. 已知某约束优化问题的数学模型为(1)该问题是线性规划问题还是非线性规划问题？⑵按一定比例画出目标函数 F(X)的值分别等于1 , 2, 3时的三条等值钱，并在图上划出可行域。

(3) 在图上确定无约束最优解和约束最优解。

(4) 若在该问题中又加入等式约束 h(X)=x i -x 2=0,其约束最优解 X*、F(X*)又为多少？33. 画出下列目标函数的等值线，并指出函数值为正和负的区域；它有没有极小值点？ i)F(x i ,x 2)=x i x 2；2)F(x i ,x 2)=x i 2-x 22；3)F(x i ,x 2)=x i 2+3x i x 2+4x 22+6 34. 用图解法求解下列优化问题的最优点。

35.如图所示，设有一箱形盖板，已知长度 l=600cm ，宽度b=60cm ，侧板厚度t s =0.5cm ，翼板厚度为t f (cm)，高度为h(cm)，承受最大的单位载荷 q=10000N/cm ，盖板的许用弯曲应力 [d = 70MPa, 许用剪切应力[T =45MPa ,单位长度允许挠度[f °]=0.0025mm ,弹性模量E=7 x 104MPa ,泊松比U 0.3 .要 求在满足强度、刚度和稳定性等条件下，设计一个质量最小的结构方案。

5-i7 搪瓷厂要生产一种容积为 785cm 3的圆柱形茶杯，试用拉格朗日乘子法设计茶杯的尺寸使所用的原材料最省。

1.设计一曲柄摇杆机构(见图7-16)，已知：杆1的长度l1=1，杆4的长度14=5(均为相对长度)。

要求曲柄由4。

转到4。

十90。

时，摇杆的输出角实现如下给定的函数关免 V — y,十方(4—40),式中 4。

和贝。

分别为对应于摇杆在右极限位置时曲柄和摇杆的位置角.运动过程中的最小传动角不 小于45。