理论研究和工程实践中广泛应用
9
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态
二. 地基中常见的应力状态 3. 平面应变条件——二维问题
沿长度方向有足够长度， L/B≧10；
垂直于y轴切出的任意断面的几 何形状均相同，其地基内的应力 状态也相同；
o x
平面应变条件下，土体在x, z平
面内可以变形，但在y方向没有
b
c e 28
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
y
BL
z 0 0 dz z (pt ,m,n)
dP
pt
B
z Ktpt
z
L为不一定为长边，B不一定为短边 M
Kt
F(B,L, z)
F( L B
,
z) B
F(m, n)
z
L
x
矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数
23
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算
P
－布辛内斯克课题
P z K z2
o αr
y
x
x
M’
R βz
3
1
y
K 2 [1 (r / z)2]5 / 2
0.5
M
z
特点
0.4
1.σz与α无关，应力呈轴对称分布
0.3
2.σz:τzy:τzx= z:y:x,
卸载
E、 与(x, y, z)无关
与方向无关
εp
ε
e
理论 ——弹性力学解求解“弹性”土体中的应
力
方法 ——解析方法优点：简单，易于绘成图表等
加载
ε
14
§3 土体中的应力计算
√3.1 应力状态 ➢3.2 地基中自重应力的计算 ? 3.3 地基中附加应力的计算 ? 3.4 基底压力计算 ? 3.5 有效应力原理 ? 3.6 应力路径
o x
•水平地基半无限空间体；
yz
•半无限弹性地基内的自重应力只与Z有关；
•土质点或土单元不可能有侧向位移侧限应变条件；
•任何竖直面都是对称面,X,Y平面处于同等地位
A
B
sA sB
▪应变条件 y x 0;
xy yz zx 0
12
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态
二. 地基中常见的应力状态 4.侧限应力状态——一维问题
中国水利水电出版社，2001年
2
§3 土体中的应力计算
地基中的应力状态 应力应变关系 土力学中应力符号的规定
强度问题 变形问题
应力状态 自重应力 附加应力
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。
基底压力计算
建筑物修建以后，建筑物
有效应力原理
重量等外荷载在地基中引 起的应力，所谓的“附加”
任意点下的附加应力—F氏解的应用
p
z Kszp
x Ksxp
x
xz
K
s xz
p
y
K
s z
,
K
s x
,
K
s xz
F(B, x, z)
F( x B
,
z) B
F(m, n)
z
B
x
M
z
条形面积竖直均布荷载作用时的应力分布系数
查表3-5
32
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
x
z Ksp
dP
p
y
L
B
z
M
m=L/B, n=z/B （3－11）74页 L为长边，B为短边 z
Lz
Ks
F(B, L, z)
F( B
,
) B
F(m, n)
查表3-2
矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数Ks
27
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
六. 竖直线布荷载作用下的附加应力计算－弗拉曼解
--B氏解的应用
z
2pz3 (x2 z2 )2
x
2px2z (x2 z2 )2
zx
2pxz2 (x2 z2 )2
y x z
p
x
z
y
xM
z
31
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
七. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
▪独立变量
x , z , xz ; x , z , xz ; F(x, z)
ij =
x 0xy xz 0yx 0 y 0 yz zx 0 zy z
ij=
x 0xy xz 0yx yy 0yz
zx 0zy z
11
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态
二. 地基中常见的应力状态
4.侧限应力状态——一维问题
M
xy y yz
z
z
3Ph 2
xz2 R5
x
26
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
1. 角点下的垂直附加应力 ——B氏解的应用
dP pdxdy
dz
3dP 2
z3 R5
3p 2
z3 R5
dxdy
BL
z 0 0 dz z (p,m,n)
第三章
土体中的应力计算
本课程中所有计算均可取 g=10m/s2
§3 土体中的应力计算
本章特点
• 有较严格的理论 • 内容较细
学习要点
• 充分利用连续介质力学的基本知识 • 紧密联系土的特点 • 实际应用中进行合理假定
主要难点
• 有效应力原理 • 有渗流时土中应力计算 • 孔压系数
图书推荐 松岡元，《土力学》，罗汀、姚仰平译，
K
竖直面上合力过原点，与R同向
0.2
0.1
0
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
r/z
24
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
z
K
P z2
特点
K
3 2
[1
(r
1 / z)2 ]5 /
2
3.P作用线上，r=0, K=3/(2π）,z=0, σz→∞，z→∞，σz=0 4.在某一水平面上z=const，r=0, K最大，r↑，K减小，σz减小
2. 任意点的垂直附加应力—角点法
荷载与应力间 满足线性关系
角点下垂直附加 叠加原理 应力的计算公式
地基中任意点的附加应力
角点法 叠加法
BA CD
两种情况：
a.矩形面积内
z
(K
A s
K
B s
Kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C s
K
D s
)p
b.矩形面积外
h
ig
a
df
z
(K
begh s
K
afgh s
K cegi s
K
df s
gi
)p
P
o
αr
x R
y M’
βz
x
z
zx
y
xy
x
M
y yz
z R2 r2 z2 x2 y2 z2
x y z xy yz zx（P；x,y,z；R, α, β）
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§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
z
3P 2
z3 R5
矩形面积竖直三角形荷载 矩形面积竖直均布荷载
圆内积 分
竖直线布荷载 宽度积分 圆形面积竖直均布荷载
条形面积竖直均布荷载
水平集中力 矩形内积分
矩形面积水平均布荷载
其他：表3－6
特殊荷载：将荷载和面积进行分 解，利用已知解和叠加原理求解
21
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
y
变形。
y 0;
yx yz 0;
zx z
z
z
zx
zx 0
x xz
y yz
xy
x
10
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态
二. 地基中常见的应力状态 3. 平面应变条件——二维问题
▪应变条件
y 0; xy yz 0; zx 0
▪应力条件
y
y E
E
x
z
0
y x z
压为正 逆时针为正 拉为负 顺时针为负
6
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态
二. 地基中常见的应力状态 1.一般应力状态——三维问题
z
zx
xy
x
y yz
o x
z y
ij=
x xy xz yx y yz
zx zy z
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
查表33
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§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
五. 矩形面积水平均布荷载作用下的附加应力计算
角点下的垂直附加应力 ——C氏解的应用
z Khph
B
ph
L
Kh
F(B,L, z)
F( L B
,
z) B
F(m, n)
z
z z
矩形面积作用水平均布荷载时角点下的应力分布系数