思路解析：注意到������ ������ = ������(������������−������ − ������)，接下来考虑������ ������ = ������������−������ − ������的非零零点个数 1.直接求导讨论������ ������ 的单调性，画出图像观察 2.转化为������ = ������ − ln ������，令ℎ ������ = ������ − ln ������，求导得单调性、图像 3. 转化为������ = ������������−������和������ = ������图像交点问题，围绕相切情况讨论
方法总结
主线：构造函数—>求导数—>画出函数草图—>数形结合 支线：整体构造、参数分离、拆分函数、简化函数 主线是通法，支线是技巧；技巧可以做为通法的补充。
03 变式探究
变式探究1：讨论关于������的方程������������������ = ������ + ������的根的个数
������
−
2
ln
������
−
������有唯一零点，
求证：������ ∈ (0 , 1)
解：������ ������ 定义域为(0 , +∞)，求导得������′ ������
=
1−ln ������−2������ ������2
方程1 − ln ������ − 2������ = 0 实根求不出也看不出
∴ ������ ������ 在������ = 1处取最大值������ 1 = −������ − 1 如果������ 1 > 0，是不是一定有两个零点？
1° ������ > −1时，������ ������ ≤ ������ 1 < 0， ∴ ������(������)无零点，即原方程无根
∴ ������ ∈ (0 , 1)时，1 − ln ������ − ������2 > − ln ������ > 0，即������′ ������ > 0，������(������)单调递增
������ ∈ (1 , +∞)时，1 − ln ������ − ������2 < − ln ������ < 0，即������′ ������ < 0，������(������)单调递减
2° ������ = −1时，������(������)仅在������ = 1处有唯一零点，即原方程有唯一根
3° ������ < −1时，������ 1 = −������ − 1 > 0，且
������ ������������
=
������ ������������
−
������������
又������ ������ 在区间(1 , +∞)内单调递减，∴ ������ ������ 在区间(1 , +∞)内有唯一零点
综上，������ > −1时方程无根，������ = −1时方程有唯一根，������ < −1时方程有两根
变式探究2：若函数������ ������
=
ln������ ������
解：令������ ������
=
ln ������ ������
−
������
−
������，则������
������
定义域为(0 , +∞)
������′ ������
1 − ln ������ − ������2
=
������2
方程1 − ln ������ − ������2 = 0求不出根怎么办
������
3. 转化为������ = ln ������和������ = ������������图像交点问题，围绕相切情况讨论
例1：（ 2）若������ < ������，试确定������ ������ = ������ ∙ ������������−������ − ������������的零 点个数
支线：整体构造、参数分离、拆分函数、简化函数 猜根，先猜后证 设而不求，整体代入 零点存在性定理 数形结合找思路
∴ ������ ������ 在������ = ������0处取最大值
又 ln ������0 = 1 − 2������0， ∴ ������ ������0
=
ln ������0 ������0
−
2
ln
������0
−
������
=
1 ������0
+
4������0
−
4
−
������
令������ ������
=
1 ������
+ 4������
− 4，则������′
������
=
4������2 − 4������2
1
，
∴ ������ ∈
1 2 ,1
时������′ ������
> 0，������(������)递增， ∴ ������(������0) ∈ (0 , 1)
∴ 当������ = ������ ������0 时，������ ������0 = 0，此时������ ∈ (0 , 1)，且������(������)有唯一零点，符合题意
令������1 = min
������������ , 1
3
，则������ ������1
=
1 −2
������1
∙ ln������1 − ������ ≤ ln ������1 − ������ ≤ 0
∴ ������ ������ 在区间[������1 , ������0)和区间(������0 , ������−������]各有一个零点，不合题意
1° 若������ ≤ 0，则������ ������0
1 = ������0 + 4������0 − 4 − ������ > −������ ≥ 0
又������ ������−������ = −������ ������������ − 2 − ������ ≤ −������ ������0 − 2 − ������ ≤ 0
此时������ ������ > ������ 1 = 0，������(������)无零点
������ ∈ (������0 , +∞)时，������ ������ < 0，即������′ ������ < 0，������(������)单调递减
令ℎ ������ = ln ������ − ������，则������ > 1时，ℎ′ ������ = 1 − 1 < 0， ∴ ℎ ������ < ℎ 1 < 0
−
������
<
������
1 ������������ − 1
<0
又������ ������ 在区间 (0 , 1)内单调递增，∴ ������ ������ 在区间 (0 , 1)内有唯一零点
令������ ������ = ������ − ln ������，则������′ ������ = 1 − 1
������
∴ ������
1+1
������
=
ln(1+���1���) 1+���1���
−
1
=
ℎ 1+���1��� 1+���1���
<0
又������ ������0
> 0， ∴ ������(������)在区间
������0
，1
+
1 ������
存在唯一零点
综上，������ ≤ 0或������ ≥ 1时������(������)无零点，0 < ������ < 1时������(������)存在唯一零点
∴ ������ ∈ (0 , ������0)时，������ ������ > 0，即������′ ������ > 0，������(������)单调递增
∴ ������ ∈ (������0 , +∞)时，������ ������ < 0，即������′ ������ < 0，������(������)单调递减
2° 若������ ≥ 1，则������ ������0 < 1 − ������ ≤ 0，������(������)无零点，不合题意
综上，当������(������)有唯一零点时，������ ∈ (0 , 1)
变式探究3：当������ > ������时，讨论������ ������
令������ ������ = 1 − ln ������ − 2������，则������ ������ 单调递减，且������ 1 = ln 2 > 0，������ 1 = −1 < 0
2
∴ 存在唯一的������0 ∈ (12 , 1)，使得������ ������0 = 0，即1 − ln������0 − 2������0 = 0
=
ln ������ ������
−
������(������
−
1)零点个数
思路分析：求导后������′(������)含参数且不可解怎么办？
解：1° 当������ ≥ 1时，������′ ������
=
1−ln ������2
������
−
������
≤
1−ln ������−������2 ������2