利用导数研究函数的零点（求导求出极值，画出函数的草图分析）1.已知曲线C ：32112132y x x x =--+，直线:l y a = （1）若直线l 与曲线C 有唯一一个交点，求a 的取值范围；（73a <-或136a >） （2）若直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求a 的取值范围；（73a =-或136a =）（3）若直线l 与曲线C 有三个不同的交点，求a 的取值范围.（76a -<136<）解：令2'2(1)(2)y x x x x =--=+-0=得11,x =-或22x = 当12x -<<时，'0y <；当1x <-或2x >时，'0y >. 所以()g x 在(1,2)-为减函数，在(,1)-∞-，(2,)+∞为增函数.当1x =-时，取得极大值max 136y =；当2x =时， 取得极大值min 73y =-； （1）当73a <-或136a >时，直线l 与曲线C 有唯一一个交点；（2）当73a =-或136a =时，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；（3）当71336a -<<时，直线l 与曲线C 有三个不同的交点.2.已知函数3()31,1f x x ax a =--≠ （1）函数()y f x =的单调区间；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y m =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.（-3,1）解: (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－a 或x >a . 由f ′(x )<0，解得－a <x <a ，∴当a >0时，f (x )的单调增区间为 (－∞，－a )，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，a )． (2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值，∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0， ∴a ＝1.∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值 f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合如图所示f (x )的图象可知：实数m 的取值范围是(－3,1)．xy(2,-76)(-1,73)f x () = 13∙x 3 12∙x 2 2∙x + 12-13.已知函数3211()2()32f x x ax x a R =-+-∈. （1）当3a =时，求函数()y f x =的单调区间；（2）若过点1(0,)3可作函数()y f x =图像的三条不同切线，求实数a 的取值范围.(2)a > 解：(1)当a ＝3时，函数f (x )＝-13x 3+322x ，得f ′(x )＝－x 2＋3x －2＝－(x －1)(x －2)． 所以当1＜x ＜2时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；当x ＜1或x ＞2时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减． 所以函数f (x )的单调递增区间为(1,2)，单调递减区间为(－∞，1)和(2，＋∞) .(2)设点P 321(,2)32a t t t t -+-是函数y ＝f (x )图象上的切点，则过点P 的切线的斜率k ＝f ′(t )＝－t 2＋at －2， 所以过点P 的切线方程为y ＋321232a t t t -+＝(－t 2＋at －2)(x －t )，因为点1(0,)3-在该切线上，所以32112332a t t t -+-+＝(－t 2＋at －2)(0－t )，即322110323t at -+=.若过点 1(0,)3- 可作函数y ＝f (x )图象的三条不同切线，则函数g (t )＝32211323t at -+有三个不同的零点．即函数y ＝g (t )的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点．令g ′(t )＝2t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝2a.因为g (0)＝13＞0，311()2243a g a =-+ 所以必须311()2243a g a =-+0>，即a ＞2.所以实数a 的取值范围为(2，＋∞)．4.(2012江苏)若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点，已知,a b 是实数，1和-1是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点. （1）求a 和b 的值；（0,3a b ==-）（2）设函数()g x 的导函数'()()2g x f x =+，求()g x 的极值点；（-2是1不是） （3）设()(())h x f f x c =-，其中[2,2]c ∈-，求函数()y h x =的零点的个数.（当2c =±时，函数()y h x =有5个零点；当22c -<<时，函数()y h x =有9个零点） 解： (1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x . 因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2. 当x <－2时，g ′(x )<0；当－2<x <1时，g ′(x )>0，故－2是g (x )的极值点． 当－2<x <1或x >1时，g ′(x )>0，故1不是g (x )的极值点．所以g (x )的极值点为－2. (3)令f (x )＝t ，则h (x )＝f (t )－c .先讨论关于x 的方程f (x )＝d 根的情况，d ∈[－2,2]．当|d |＝2时，由(2)可知，f (x )＝－2的两个不同的根为1和－2， 注意到f (x )是奇函数，所以f (x )＝2的两个不同的根为－1和2.当|d |<2时，因为f (－1)－d ＝f (2)－d ＝2－d >0，f (1)－d ＝f (－2)－d ＝－2－d <0， 所以－2，－1,1,2都不是f (x )＝d 的根．由(1)知f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)．①当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，于是f (x )是单调增函数，从而f (x )>f (2)＝2，此时f (x )＝d 无实根． 同理，f (x )＝d 在(－∞，－2)上无实根．②当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，于是f (x )是单调增函数．又f (1)－d <0，f (2)－d >0，y ＝f (x )－d 的图象不间断，所以f (x )＝d 在(1,2)内有唯一实根．同理，f (x )＝d 在(－2，－1)内有唯一实根．③当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，故f (x )是单调减函数．又f (－1)－d >0，f (1)－d <0，y ＝f (x )－d 的图象不间断，所以f (x )＝d 在(－1,1)内有唯一实根．由上可知：当|d |＝2时，f (x )＝d 有两个不同的根x 1，x 2满足|x 1|＝1，|x 2|＝2；当|d |<2时，f (x )＝d 有三个不同的根x 3，x 4，x 5满足|x i |<2，i ＝3,4,5.现考虑函数y ＝h (x )的零点．(i )当|c |＝2时，f (t )＝c 有两个根t 1，t 2满足|t 1|＝1，|t 2|＝2，而f (x )＝t 1有三个不同的根，f (x )＝t 2有两个不同的根，故y ＝h (x )有5个零点．(ii )当|c |<2时，f (t )＝c 有三个不同的根t3，t 4，t 5满足|t i |<2，i ＝3,4,5，而f (x )＝t i (i ＝3,4,5)有三个不同的根， 故y ＝h (x )有9个零点．综上可知，当|c |＝2时，函数y ＝h (x )有5个零点；当|c |<2时，函数y ＝h (x )有9个零点． 5. 已知函数3211(),32a f x x x ax a x R -=-+--∈，其中0a >. （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()y f x =在区间（-2,0）内恰有两个零点，求实数a 的取值范围.1(0)3a << 解析：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a >0. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a )．(2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点. 当且仅当(2)0(1)0(0)0f f f -<⎧⎪->⎨⎪<⎩解得0<a <13.所以，a 的取值范围是1(0,)36. 已知函数2()ln f x x a x =-在（1,2]是增函数，()g x x =-0,1）为减函数.（1）求函数()f x 、()g x 的解析式；（求得2a =） （2）求证：当0x >时，方程()()2f x g x =+有唯一解.解:（1） f ′(x )＝2x －ax ，依题意f ′(x )≥0，x ∈(1,2]，即a ≤2x 2，x ∈(1,2]．∵上式恒成立，∴a ≤2……………………①又g ′(x )＝1－a2x，依题意g ′(x )≤0，x ∈(0,1)，即a ≥2x ，x ∈(0,1)．∵上式恒成立，∴a ≥2.………… ② 由①②得a ＝2.∴f (x )＝x 2－2ln x ，g (x )＝x －2x .(2)证明 由(1)可知，方程f (x )＝g (x )＋2，即x 2－2ln x －x ＋2x －2＝0.设h (x )＝x 2－2ln x －x ＋2x －2，则h ′(x )＝2x －2x －1＋1x.当h ′(x )＝0时，(x －1)(2x x ＋2x ＋x ＋2)＝0，解得x ＝1.令h ′(x )>0，并由x >0，解得x >1.令h ′(x )<0，由x >0，解得0<x <1.列表分析：x (0,1) 1 (1，＋∞)h ′(x ) － 0 ＋h (x ) 递减 极小值 递增可知h (x )在x =1处有一个最小值0，当x >0且x ≠1时，h (x )>0，∴h (x )＝0在(0，＋∞)上只有一个解．即当x >0时，方程f (x )＝g (x )＋2有唯一解． 7. 已知函数2()()f x ax a R =∈，()2ln g x x = （1）讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；（2）若方程()()f x g x =在区间[2,]e 上有两个不等的实数解，求实数a 的取值范围.ln 21()2a e≤< 解: (1)F (x )＝ax 2－2ln x ，其定义域为(0，＋∞)，∴F ′(x )＝2ax －2x ＝2(ax 2－1)x(x >0)．①当a >0时，由ax 2－1>0，得x >1a .由ax 2－1<0，得0<x <1a. 故当a >0时，F (x )的递增区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1a .②当a ≤0时，F ′(x )<0 (x >0)恒成立．故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)ln 22≤a <1e8.已知函数2()xf x ke x =-（其中k R ∈，e 是自然对数的底数）（1）若2k =-，判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性； （2）若函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，求k 的取值范围； (3)在（2）的条件下，试证明：10()1f x <<.解：（1）当2k =-时，'()222(1)0xxf x e x e =--=-+<.所以()f x 在(0,)+∞为减函数 （2）令'()20xf x ke x =-=，得2x x k e =，设2()x x g x e =，令2(1)'()x x g x e-=0=，得 1x = 显然()g x 在(,1)-∞为减函数，在(1,)+∞为增函数，()g x 在1x =取得最大值为max 2()(1)g x g e== 当x →-∞时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →，∴20k e<< （3）由（2）可知1201x x <<<，由112x x k e=，得122211111()2(1)1x f x ke x x x x =-=-=--+ ∵1(0,1)x ∈ ∴10()1f x <<9.(2013湖北卷)已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax 有两个极值点1212,()x x x x ，则（A ）121()0,()2f x f x （B ）121()0,()2f x f x （C ）121()0,()2f x f x （D ）121()0,()2f x f x 解：令'()12ln 0f x ax x得1ln 2xax令 1ln ()2xg x x，2222(1ln )ln '()42x xg x x x∴()g x 在(0,1)为增函数，在(1,)为减函数，在1x取得最大值1(1)2g . 当x时，()0g x ，且当1x 时()0g x .∴ 12a[法一]消去参数化为确定的一元函数： ∵函数()f x 的两个极值点为1212,(01)x x x x .∴1ln 2iix ax (1,2)i ， 111111()(ln )(ln 1)02x f x x x ax x222222()(ln )(ln 1)2x f x x x ax x ，记()(ln 1)2xh x x (1)x 11'()(11ln )ln 022h x x x ∴()(ln 1)2xh x x 在(1,)为增函数，1()(1)2h x h 即21()2f x 选（D ） [法二]消去超越式，化为代数函数式：∵11'()lnln 2022f a aa，∴函数()f x 的两个极值点满足：121012x x a.由ln 21i ix ax (1,2)i得22211111111111()ln (21)(1)0f x x x ax x ax ax ax x x ax =-=--=-=-<222222211()(1)1122f x ax x x ax ax a a =-=->->⋅-=- 故选（D ） 10.设函数2()2ln(1)(1)f x x x .（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若关于x 的方程2()x 30f x xa 在区间()f x 内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.解：（1）函数()f x 的定义域为(1,)+∞，令12(2)'()2[(1)]011x x f x x x x -=--=->-- 得12x <<.∴函数()f x 的单调递增区间为(1,2) （2）[法一]：由2()x 30f x xa得2()3ln(1)1a f x x x x x =--=---. 令()ln(1)1g x x x =---23'()111xg x x x -=-=-- (1)x >. 当23x <<时，'()0g x >；当34x <<时，'()0g x <. 所以()g x 在[2,3]为增函数，在[3,4]为减函数.(2)3,(3)2ln 24,(4)2ln35g g g =-=-=- ∵(2)(4)22ln32(1ln3)0g g -=-=-< ∴(2)(4)g g < 故实数a 的取值范围为2ln352ln 24a -≤<-.[法二]∵f (x )＝2ln ()x －1－()x －12，∴f (x )＋x 2－3x －a ＝0⇔x ＋a ＋1－2ln ()x －1＝0. 令g ()x ＝x ＋a ＋1－2ln ()x －1.∵g ′(x )＝1－2x －1＝x －3x －1，且x >1，由g ′(x )>0，得x >3；由g ′(x )<0，得1<x <3. ∴g (x )在区间[2,3]上单调递减，在区间[3,4]上单调递增． 故f (x )＋x 2－3x －a ＝0在区间[]2，4内恰有两个相异实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧g (2)≥0，g (3)<0，g (4)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥0，a ＋4－2ln 2<0，a ＋5－2ln 3≥0，解得2ln 3－5≤a <2ln 2－4. 11.（2013惠州一模改编）已知函数2()ax 1f x bx 在3x处的切线方程为58y x（1）求函数()f x 的解析式； （2）若关于x 的方程()x f x ke 恰有两个不同的实数根，求实数k 的值.解：（1）'()2f x ax bx =+，∴ '(3)65f a b =+=…………① 令3x =代入58y x =-得切点（3，7）.∴9617a b ++=…………② 由①②解得1,1a b ==-. 故所求函数()f x 的解析式为2()1f x x x =-+（2）由()xf x ke 得2()1x x f x x x k e e -+==.令21()xx x g x e -+=令2(21)(1)(1)(2)'()x xx x x x x g x e e---+---==0=得121,2x x == 当12x <<时，'()0g x >；当12x x <>或时，'()0g x <.∴()g x 在(1,2)为增函数；在(,1)-∞、(2,)+∞为增函数.当1x =时，取得极小值1(1)g e=；当2x =时，取得极大值23(2)g e=； ∴当12x x ==或时，关于x 的方程()x f x ke 恰有两个不同的实数根.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2，x ∈R ，a ，b 为常数。