栏目 导引
第三章
导数及其应用
全国名校高考数学优质学案汇编（附详解）
第6讲
利用导数研究函数零点问题
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导数及其应用
利用最值(极值)判断零点个数
[典例引领] 1 2 已知函数 f(x)＝－ ax ＋(1＋a)x－ln x(a∈R)． 2 (1)当 a＞0 时，求函数 f(x)的单调递减区间； (2)当 a＝0 时，设函数 g(x)＝xf(x)－k(x＋2)＋2.若函数 g(x)在区 1 间[ ，＋∞)上有两个零点，求实数 k 的取值范围． 2
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导数及其应用
【解】
(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
(ax－1)(x－1) 1 f(x)的导数为 f′(x)＝－ax＋1＋a－ ＝－ (a＞0)， x x 1 ①当 a∈(0，1)时，a＞1. 1 由 f′(x)＜0，得 x＞a或 a＜1. 所以
1 f(x)的单调递减区间为(0，1)，a，＋∞；
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数形结合法研究零点问题
[典例引领] 已知 f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x. (1)讨论函数 F(x)＝f(x)－g(x)的单调性； (2)若方程 f(x)＝g(x)在区间[ 2，e]上有两个不相等的解，求 a 的取值范围．
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导数及其应用
上单调递减． ②当 a≤0 时，F′(x)＜0(x＞0)恒成立． 故当 a≤0 时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．
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2ln x (2)原式等价于方程 a＝ 2 在区间[ 2，e]上有两个不等解． x 2x(1－2ln x) 2ln x 令 φ(x)＝ 2 ，由 φ′(x)＝ 易知，φ(x)在( 2， e)上 x x4 为增函数，在( e，e)上为减函数， 1 2 ln 2 则 φ(x)max＝φ( e)＝ ，而 φ(e)＝ 2，φ( 2)＝ . e e 2
1 9 ln 2 9 ln 2 因为 h2＝ ＋ ， h(1)＝1， 所以 k 的取值范围为1，10＋ 5 . 5 10
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导数及其应用
利用函数的极值(最值)判断函数零点个数， 主要是借助导数研究 函数的单调性、极值后，通过极值的正负、函数单调性判断函 数图象走势， 从而判断零点个ln x，其定义域为(0，＋∞)，
2 2 2(ax －1) 所以 F′(x)＝2ax－x＝ (x＞0)． x
1 ①当 a＞0 时，由 ax －1＞0，得 x＞ ， a
2
1 由 ax －1＜0，得 0＜x＜ ， a
2
故当 a＞0
时， F(x)在区间
1 1 ，＋∞上单调递增， 在区间0， a a
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导数及其应用
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题， 可利用函数的值域或 最值，结合函数的单调性，画草图确定其中参数的范围．
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导数及其应用
构造函数法研究零点问题
[典例引领] 1 2 设函数 f(x)＝ x －mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x. 2 (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 m≥1 时，讨论函数 f(x)与 g(x)图象的交点个数．
2
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(2x－1)(x＋2) 1 则 p′(x)＝ 在[ ，＋∞)上有 p′(x)≥0， x 2 1 故 p(x)在[ ，＋∞)上单调递增． 2 1 因为 p(1)＝0，所以当 x∈[ ，1)时，有 p(x)＜0， 2 即 h′(x)＜0，所以 h(x)单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，有 p(x)＞0， 即 h′(x)＞0，所以 h(x)单调递增．
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2 2 ln 2 4－e ln 2 由 φ(e)－φ( 2)＝ 2－ ＝ e 2 2e2
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ln e4－ln 2e ln 81－ln 27 ＝ ＜ ＜0， 2e2 2e2
2
所以 φ(e)＜φ( 2)． 所以 φ(x)min＝φ(e)， ln 2 1 如图可知 φ(x)＝a 有两个不相等的解时，需 ≤ a＜ . 2 e 即 f(x)＝g(x)在[ 2，e]上有两个不相等的解时 a 的取值范围为 ln 2 1 [ ， )． 2 e
1 f(x)的单调递减区间为(0，1)，a，＋∞；
当 a＝1 时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)； 1 当 a∈(1，＋∞)时，f(x)的单调递减区间为(0，a)，(1，＋∞)．
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导数及其应用
1 (2)g(x)＝x －xln x－k(x＋2)＋2 在 x∈[ ，＋∞)上有两个零点， 2
②当 a＝1 时，恒有 f′(x)≤0， 所以 f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；
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导数及其应用
1 ③当 a∈(1，＋∞)时， ＜1. a 1 由 f′(x)＜0, 得 x＞1 或 x＜ . a 1 所以 f(x)的单调递减区间为(0，a)，(1，＋∞)． 综上，当 a∈(0，1)时，
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2 m x －m 【解】 (1)函数 f(x)的定义域为(0， ＋∞)， f′(x)＝x－ ＝ ， x x
m≤0 时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上递增， (x＋ m)(x－ m) m＞0 时，f′(x)＝ ， x 当 0＜x＜ m时，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减， 当 x＞ m时，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增． 综上 m≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； m＞0 时，函数 f(x)的单调增区间是( m，＋∞)，单调减区间是 (0， m)．
2
x2－xln x＋2 1 即关于 x 的方程 k＝ 在 x∈[ ，＋∞)上有两个不相 2 x＋ 2 等的实数根． x2－xln x＋2 1 令函数 h(x)＝ ，x∈[ ，＋∞)， 2 x＋ 2 x2＋3x－2ln x－4 则 h′(x)＝ ， (x＋2)2 1 令函数 p(x)＝x ＋3x－2ln x－4，x∈[ ，＋∞)． 2