二次函数●知识梳理二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法： y =ax 2+bx +c ；y =a （x －x 1）（x －x 2）；y =a （x －x 0）2+n .（2）当a ＞0，f （x ）在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令x 0=21（p +q ）. 若－ab2＜p ，则f （p ）=m ，f （q ）=M ； 若p ≤－a b 2＜x 0，则f （－a b2）=m ，f （q ）=M ；若x 0≤－a b 2＜q ，则f （p ）=M ，f （－a b2）=m ；若－a b 2≥q ，则f （p ）=M ，f （q ）=m .●点击双基1.设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0），如果f （x 1）=f （x 2）（其中x 1≠x 2），则f （221x x +）等于A.－ab2 B.－a b C.cD.ab ac 442-解析：f （221x x +）=f （－ab2）=a b ac 442-.答案：D2.二次函数y =x 2－2（a +b ）x +c 2+2ab 的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 解析：y =［x －（a +b ）］2+c 2+2ab －（a +b ）2=［x －（a +b ）］2+c 2－a 2－b 2. ∴顶点为（a +b ，c 2－a 2－b 2）. 由题意知c 2－a 2－b 2=0. ∴△ABC 为直角三角形. 答案：B3.已知函数f （x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的范围是 A.f （1）≥25 B.f （1）=25 C.f （1）≤25 D.f （1）＞25解析：由y =f （x ）的对称轴是x =8m ，可知f （x ）在［8m，+∞）上递增，由题设只需8m≤－2⇒m ≤－16， ∴f （1）=9－m ≥25. 答案：A4.函数f （x ）=2x 2－6x +1在区间［－1，1］上的最小值是___________，最大值是___________.解析：f （x ）=2（x －23）2－27.当x =1时，f （x ）min =－3；当x =－1时，f （x ）max =9. 答案：－3 95.（2003年春季上海）若函数y =x 2+（a +2）x +3，x ∈［a ，b ］的图象关于直线x =1对称，则b =__________.解法一：二次函数y =x 2+（a +2）x +3的图象关于直线x =1对称，说明二次函数的对称轴为1，即－22+a =1.∴a =－4.而f （x ）是定义在［a ，b ］上的，即a 、b 关于x =1也是对称的，∴2b a +=1.∴b =6.解法二：∵二次函数y =x 2+（a +2）x +3的对称轴为x =1，∴f （x ）可表示为f （x ）=（x －1）2+c ，与原二次函数的表达式比较对应项系数，可得a +2=－2.∴a =－4，b 的计算同解法一.解法三：∵二次函数的对称轴为x =1，∴有f （x ）=f （2－x ），比较对应项系数，∴a =－4，b 的计算同解法一.答案：6 ●典例剖析【例1】 设x 、y 是关于m 的方程m 2－2am +a +6=0的两个实根，则（x －1）2+（y －1）2的最小值是A.－1241B.18C.8D.43剖析：由Δ=（－2a ）2－4（a +6）≥0，得a ≤－2或a ≥3.于是有（x －1）2+（y －1）2=x 2+y 2－2（x +y ）+2=（x +y ）2－2xy －2（x +y ）+2=（2a ）2－2（a +6）－4a +2=4a 2－6a －10=4（a －43）2－449.由此可知，当a =3时，（x －1）2+（y －1）2取得最小值8. 答案：C 深化拓展Δ≥0是二次方程有实根的隐含条件.【例2】 （2004年江苏，13）二次函数y =ax 2x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46则不等式ax +bx +c ＞0的解集是______________. 解析：由表知y =a （x +2）（x －3），又x =0，y =－6，代入知a =1.∴y =（x +2）（x －3）. 答案：{x |x ＞3或x ＜－2} 【例3】 已知二次函数f （x ）=ax 2+bx +c 的图象与直线y =25有公共点，且不等式ax 2+bx +c＞0的解是－21＜x ＜31，求a 、b 、c 的取值范围. 解：依题意ax 2+bx +c －25=0有解，故Δ=b 2－4a （c －25）≥0.又不等式ax 2+bx +c ＞0的解是－21＜x ＜31，∴a ＜0且有－ab =－61，ac =－61.∴b =61a ，c =－61a .∴b =－c ，代入Δ≥0得c 2+24c （c －25）≥0.∴c ≥24.故得a 、b 、c 的取值范围为a ≤－144，b ≤－24，c ≥24.评述：二次方程ax 2+bx +c =0，二次不等式ax 2+bx +c ＞0（或＜0）与二次函数y =ax 2+bx +c 的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题.●闯关训练 夯实基础1.下图所示为二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象，则｜OA ｜·｜OB ｜等于A.ac B.－ac C.±ac D.无法确定解析：|OA |·|OB |=|OA ·OB |=|x 1x 2|=|a c |=－ac（∵a ＜0，c ＞0）. 答案：B2.已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是___________________.解析：通过画二次函数图象知m ∈［1，2］. 答案：［1，2］3.已知函数y =（e x －a ）2+（e －x －a ）2（a ∈R ，且a ≠0），求y 的最小值.解：y ＝（e x ＋e －x ）2－2a （e x ＋e －x ）＋2a 2－2.令t ＝e x ＋e －x ，则f （t ）＝t 2－2at ＋2a 2－2.∵t ＝e x ＋e －x ≥2，∴f （t ）＝（t －a ）2＋a 2－2的定义域为［2，＋∞）. ∵抛物线的对称轴方程是t ＝a ，∴当a ≥2时，y min ＝f （a ）＝a 2－2；当a ＜2且a ≠0时，y min ＝f （2）＝2（a －1）2. 4.要使y =x 2+4x （x ≥a ）有反函数，则a 的最小值为___________________.解析：要使y =x 2+4x （x ≥a ）有反函数，则y =x 2+4x 在［a ，+∞）上是单调函数.∴a ≥－2.答案：－25.已知函数f （x ）=mx 2+（m －3）x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围.解：若m =0，则f （x ）=－3x +1，显然满足要求. 若m ≠0，有两种情况：①原点的两侧各有一个，则⇒⎪⎩⎪⎨⎧<=>--=0104)3(212m x x m m Δm ＜0； ②都在原点右侧，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥--=,01,023,04)3(21212m x x m m x x m m Δ 解得0＜m ≤1.综上可得m ∈（－∞，1］. 培养能力6.设f （x ）=x 2－2ax +2.当x ∈［－1，+∞）时，f （x ）≥a 恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）当a ≤－1时，f （x ）min =f （－1）=3+2a ，x ∈［－1，+∞），f （x ）≥a 恒成立⇔f （x ）min ≥a ，即3+2a ≥a ⇔a ≥－3.故此时－3≤a ≤－1.（2）当a ＞－1时，f （x ）min =f （a ）=a 2－2a 2+2=2－a 2，x ∈［－1，+∞），f （x ）≥a 恒成立⇔f （x ）min ≥a ，即2－a 2≥a ⇔a 2+a －2≤0⇔－2≤a ≤1.故此时－1＜a ≤1.由（1）（2）知，当－3≤a ≤1时，x ∈［－1，+∞），f （x ）≥a 恒成立. 7.对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0成立，则称x 0为f （x ）的不动点.已知函数f （x ）=ax 2+（b +1）x +b －1（a ≠0）.（1）当a =1，b =－2时，求f （x ）的不动点；（2）若对于任意实数b ，函数f （x ）恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围. 解：（1）当a =1，b =－2时，f （x ）=x 2－x －3=x ⇔x 2－2x －3=0⇔（x －3）（x +1）=0⇔x =3或x =－1，∴f （x ）的不动点为x =3或x =－1.（2）对任意实数b ，f （x ）恒有两个相异不动点⇔对任意实数b ，ax 2+（b +1）x +b －1=x 恒有两个不等实根⇔对任意实数b ，Δ=（b +1）2－4a （b －1）＞0恒成立⇔对任意实数b ，b 2+2（1－4a ）b +1+4a ＞0恒成立⇔Δ′=4（1－4a ）2－4（1+4a ）＜0⇔（1－4a ）2－（1+4a ）＜0⇔4a 2－3a ＜0⇔a （4a －3）＜0⇔0＜a ＜43. 8.（2003年全国，文）设函数f （x ）=x 2+|x －2|－1，x ∈R . （1）判断函数f （x ）的奇偶性； （2）求函数f （x ）的最小值.解：（1）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+.2,1,2,322x x x x x x∵f （0）=1≠0，∴f （x ）不是R 上的奇函数.∵f （1）=1，f （－1）=3，f （1）≠f （－1）， ∴f （x ）不是偶函数.故f （x ）是非奇非偶的函数.（2）当x ≥2时，f （x ）=x 2+x －3，此时f （x ）min =f （2）=3.当x ＜2时，f （x ）=x 2－x +1，此时f （x ）min =f （21）=43. 总之，f （x ）min =43.探究创新9.二次函数f （x ）=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足2+m p +1+m q +mr=0，其中m ＞0， 求证：（1）pf （1+m m）＜0； （2）方程f （x ）=0在（0，1）内恒有解.证明：（1）pf （1+m m ）=p ［p （1+m m ）2+q （1+m m）+r ］=pm ［2)1(+m pm +1+m q +m r ］=pm ［2)1(+m pm －2+m p］ =p 2m ［)2()1()1()2(22+++-+m m m m m ］ =p 2m ［－)2()1(12++m m ］.由于f （x ）是二次函数，故p ≠0.又m ＞0，所以pf （1+m m）＜0. （2）由题意，得f （0）=r ，f （1）=p +q +r .①当p ＞0时，由（1）知f （1+m m）＜0.若r ＞0，则f （0）＞0，又f （1+m m）＜0，∴f （x ）=0在（0，1+m m）内有解；若r ≤0，则f （1）=p +q +r =p +（m +1）（－2+m p －m r ）+r =2+m p －mr＞0，又f （1+m m）＜0，所以f （x ）=0在（1+m m，1）内有解.因此方程f （x ）=0在（0，1）内恒有解. ②当p ＜0时，同样可以证得结论. 评述：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数p ≠0，若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改.（2）对字母p 、r 分类时先对哪个分类是有一定讲究的.本题的证明中，先对p 分类，然后对r 分类显然是比较好的.●思悟小结1.二次函数f （x ）=ax 2+bx +c 的图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.2.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.●教师下载中心 教学点睛1.二次函数是最重要的初等函数之一，因为很多问题可化归为二次函数来处理，所以必须熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用这些性质去解决问题.2.求二次函数的解析式就是确定函数式f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0）中a 、b 、c 的值.二次函数也可以表示为y =a （x －x 0）2+h 或y =a （x －x 1）（x －x 2）（b 2－4ac ≥0）等形式，应提醒学生根据题设条件选用适当的表示形式，用待定系数法确定相应字母的值.3.结合图象可以得到一系列与二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的分布有关的结论，教学时可引导学生总结：（1）方程f （x ）=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f （r ）＜0.（2）二次方程f （x ）=0的两根都大于r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=⇔.0)(,2,042r f a r a bac b Δ （3）二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=⇔.0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b Δ （4）二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内只有一根⇔f （p ）·f （q ）＜0，或f （p ）=0，另一根在（p ，q ）内或f （q ）=0，另一根在（p ，q ）内.（5）方程f （x ）=0的两根中一根大于p ，另一根小于q （p ＜q ）⎩⎨⎧>⋅<⋅⇔.0)(,0)(q f a p f a 4.二次函数与二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可方便直观地解决与不等式有关的问题.例如：（1）二次不等式f （x ）=ax 2+bx +c ≤0的解集是（－∞，α］∪［β，+∞）⇔a ＜0且f （α）=f （β）=0.（2）当a ＞0时，f （α）＜f （β）⇔|α+a b 2|＜|β+a b 2|； 当a ＜0时，f （α）＜f （β）⇔|α+a b 2|＞|β+ab2|.（3）当a ＞0时，二次不等式f （x ）＞0在［p ，q ］上恒成立⇔⎪⎩⎪⎨⎧><-0)(,2p f p a b或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤0)2(,2a b f q ab p 或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-.0)(,2q f q a b（4）f （x ）＞0恒成立⇔⎩⎨⎧<>0,0Δa 或⎩⎨⎧>==;0,0c b af （x ）＜0恒成立⇔⎩⎨⎧<<0,0Δa 或⎩⎨⎧<==.0,0c b a拓展题例【例1】 已知当m ∈R 时，函数f （x ）＝m （x 2－1）＋x －a 的图象和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围.解：（1）m =0时，f （x ）=x －a 是一次函数，它的图象恒与x 轴相交，此时a ∈R .（2）m ≠0时，由题意知，方程mx 2＋x －（m ＋a ）＝0恒有实数解，其充要条件是Δ＝1＋4m （m ＋a ）＝4m 2＋4am ＋1≥0.又只需Δ′＝（4a ）2－16≤0，解得－1≤a ≤1，即a ∈［－1，1］.∴m ＝0时，a ∈R ；m ≠0时，a ∈［－1，1］.评述：g （a ）是a 的函数，可作出g （a ）的草图来求最大值. 【例2】 已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点（－1，0），是否存在常数a 、b 、c ，使不等式x ≤f （x ）≤212+x 对一切实数x 都成立？解：∵f （x ）的图象过点（－1，0）， ∴a －b +c =0①∵x ≤f （x ）≤212+x 对一切x ∈R 均成立，∴当x =1时也成立，即1≤a +b +c ≤1. 故有a ＋b ＋c ＝1.②由①②得b =21，c =21－a . ∴f （x ）＝ax 2＋21x ＋21－a .故x ≤ax 2＋21x ＋21－a ≤212+x 对一切x ∈R 成立，也即⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥-+-02)21(,0212122a x x a a x ax 恒成立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->≤--≤--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≤≤⇔.021,0,0)21(81,0)21(44102100021a a a a a a a a ΔΔ 解得a =41.∴c =21－a =41. ∴存在一组常数a =41，b =21，c =41，使不等式x ≤f （x ）≤212+x 对一切实数x 均成立.评述：赋值法（特殊值法）可以使“探索性”问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法.。