含参二次函数
类型一 函数类型确定型
1. 已知抛物线y ＝3ax 2＋2bx ＋c .
(1)若a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝k ＋1，试说明此类函数图象都具有的性质；
(2)若a ＝13，c ＝2＋b ，且抛物线在－2≤x ≤2区间上的最小值是－3，求b 的值；
(3)若a ＋b ＋c ＝1，是否存在实数x ，使得相应的y 值为1，请说明理由．
2. 在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于A (－3，0)、B (0，－3)两点，二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点A .
(1)求一次函数y ＝kx ＋b 的表达式；
(2)若二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象顶点在直线AB 上，求m ，n 的值；
(3)①设m ＝－2，当－3≤x ≤0时，求二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的最小值； ②若当－3≤x ≤0时，二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的最小值为－4，求m ，n 的值．
3. 在平面直角坐标系中，二次函数y 1＝x 2＋2(k －2)x ＋k 2－4k ＋5.
(1)求证：该二次函数图象与坐标轴仅有一个交点；
(2)若函数y 2＝kx ＋3经过y 1图象的顶点，求函数y 1的表达式；
(3)当1≤x ≤3时，二次函数的最小值是2，求k 的值．
4. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过A (1，1)、B (2，4)和C 三点．
(1)用含a 的代数式分别表示b 、c ；
(2)设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(p ，q )，用含a 的代数式分别表示p 、q ；
(3)当a ＞0时，求证：p ＜32，q ≤1.
5. 已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ≠c )过点A (1，0)，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限．
(1)用含a 、c 的代数式表示b ；
(2)判断点B 所在象限，并说明理由；
(3)若直线y 2＝2x ＋m 经过点B ，且与该抛物线交于另一点C (c a ，b ＋8)，求
当x ≥1时，y 1的取值范围．
6. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝ax2＋2ax＋3(a≠0)．
(1)若函数y1的图象经过点(－1，4)，求函数y1的表达式；
(2)若一次函数y2＝bx＋a(b≠0)的图象经过y1图象的顶点，探究实数a，b满足的关系式；
(3)已知点P(1，m)和Q(x0，n)在函数y1的图象上，若m＞n，求x0的取值范围．
类型二函数类型不确定型
1. 已知函数y＝(n＋1)x m＋mx＋1－n(m，n为实数)．
(1)当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；
(2)若它是一个二次函数，假设n＞－1，那么：
①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；
②它一定经过哪个点？请说明理由．
2. 设函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)．
(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并且在同一坐标系中，用描点法画出它们的图象；
(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；
(3)对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，试求m的取值范围．
第2题图
3. 已知函数y＝kx2＋(4
3
－3k)x－4.
(1)求证：无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；
(2)当k≠0时，A(n－3，n－7)、B(－n＋1，n－7)是抛物线上的两个不同点．
①求抛物线的表达式；
②求n的值．
4. 已知y关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点．
(1)求k的取值范围；
(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x21＋2kx2＋k ＋2＝4x1x2.
①求k的值；
②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．
5. 设函数y1＝(x－k)2＋k和y2＝(x＋k)2－k的图象相交于点A，函数y1，y2的图象的顶点分别为B和C.
(1)画出当k＝0，1时，函数y1，y2在直角坐标系中的图象；
(2)观察(1)中所画函数图象的顶点位置，发现它们均分布在某个函数的图象上，请写出这个函数的解析式，并说明理由；
(3)设A(x，y)，求证：x是与k无关的常数，并求y的最小值．
第5题图。