S
1 p

gS
2 p
g
1
(其中S
1 p
,
S p2为sylow
p子群)
8.对{e}≠G，若 G 没有非平凡正规子群，称为单群。
9.交换群 G 是单群⇔ G Z p ，p 为素数。 10.阶数最小的非交换单群是 60 阶的 5 元交代群 A5。
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2.6 群在集上的作用
2.4 同态
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1.设群(G,·)和(H,×)，φ 是 G 到 H 的映射，若对 x, y G 有
(x y) (x) (y) 则称 φ 是群(G,·)到(H,×)的同态。当 φ 是单/满射时称 φ 为单/满同态。φ 的像(G 的同态像)为 Im {(x) | x G} H ；φ 的核为 Ker {x G | (x) e,e为H的恒等元} G 。当 φ 为满 同态时 Imφ=H；当 φ 为单同态时 Kerφ={e}。
是双射，且 (1) S T (S) (T ) (2) S G (S) G (3)若 S G 则 G / S G /(S)
2.5 有限群 设有限群 G 的阶为 n，子群 H、元素 a 阶为 m。
1.m|n 且 an=e。 2.设 H 在 G 中不同左陪集的个数为[G:H]，称[G:H]为 H 在 G 中的指数，则 n=[G:H]m， 即|G|=|H|[G:H]。若 H G，则|G/H|=t，即|G|=|H||G/H|。
(x y) (y) (x) 则称 φ 是群(G,·)到(H,×)的反同构，称群(G,·)反同构于(H,×)，记为 (G,) 1 (H ,) 。反同构关 系具有对称性。
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2.2(群 G 的)子群
1.元素 a 的阶|a|：|a|是使 an e 成立的最小正整数 n。若 n 不存在，则|a|=∞。 注：一般 ab≠ba，但|ab|=|ba|。 2.中心元 a：对 x G有ax xa 。中心元的逆元是中心元，单位元是中心元。记 G 的中 心元全体为 C，是 G 的子群，称为 G 的中心。 3.设 H 为 G 的非空子集，若满足 (1) H H H ,即a,b H有ab H (2) H 1 H ,即a H有a1 H 则称 H 为 G 的子群，记为 H<G。 注：平凡子群：G 和{e}。真子群：不同于 G 的子群。 4.子群的性质 (1)设 H<G，则 G 的运算·也是 H 的运算，且(H,·)也是群。
m
m
若 M 只有一个 G-轨道，即∀m∈M,M=Om，即∀m,n∈M, ∃g∈G,m=gn，称 M 为传递 G-集。
对传递 G-集 M，∃H<G 使 M G / H 。
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6.对 S⊂G，定义 N(S)为 G 的正规化子：
N(S) {g G | gSg 1 S}
则 S N<G。若 S G，则 S=N。 7.Sylow 定理：对有限群 G，|G|=psm，(p,m)=1，p 为素数，则
(1)G 中存在 np 个 sylow-p 子群，即阶为 ps 的子群，且 np|m，np≡1(mod p)。若 np=1 则该子群 为 G 正规子群。 (2)G 中所有 sylow-p 子群彼此共轭，即∃g∈G 使
则 H 有 G-集 G/H。 3.对 G-集 M，m∈M，定义 m 的 G-轨道
m 的对称群
Om {gm | g G}
是 G 的子群，且有
Sm {g G | gm m}
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| Om | [G : Sm ], M Om ,| M | | Om |
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5.第二同态定理
G/H G
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对满同态 : G G Im ， H Ker ，令 L(G, H ) {N | H N G} L(G ) {N | N G}
则 : L(G, H ) L(G ), S (S) {(s),s S}
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3.对 n 阶循环群 G， m | n ， H G, a G ， | H || a | m 。
4.对有限交换群 G，|G|=n=pm，p 为素数，则 a G ，| a | p 。
5.对有限交换群 G，则 m | n | G | ， H G ， | H | m 。
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第二章 群
2.1 群
1.设·是集合 S 的一个二元运算，若满足 (1)对·封闭，即 a,b S有a b S (2)结合律，即 a,b,c S有(a b) c a (b c) 则称(S,·)为半群。若还满足 (3)有单位元 e，使 a S有a e e a a 则称(S,·)为幺半群。若还满足 (4)有逆元，即 a S,b S使a b b a e 则称(S,·)为群。若还满足 (5)交换律，即 a,b S有a b b a 则称(S,·)为交换群(Abel 群)。 注：I.可以证明群中的单位元和逆元都唯一。群的定义中可以只要求有左单位元和左逆元(或
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右单位元和右逆元)。 II.对半群 G：G 是群⇔ a,b G,方程ax b, ya b在G内有解 2.有限群 G：G 中元素个数是有限的，其元素个数称为 G 的阶|G|。 3.同构(双射同态)：设群(G,·)和(H,×)，φ 是 G 到 H 的一一对应，若对 x, y G 有 (x y) (x) (y)
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7. 商 群 G/H 为 正 规 子 群 H 的 左 陪 集 群 {aH | a G} ， 也 可 是 右 陪 集 群 。 运 算 为 aH bH abH
2.3 生成元集、循环群
1.n 元对称群 Sn，Sn 中所有偶置换全体称为 n 元交代群 An，|Sn|=n!，|An|=n!/2。 2.循环群〈a〉：由一个元素 a 生成的群，是交换群。 有限生成群：由有限个元素生成的群。 3.循环群的分类 (1)若|a|=n<∞，则 a {ai | i 0,1,...,n}同构于 Zn (2)若|a|=∞，则 a {an | n Z} 同构于整数加群 Z 4.子群相关 (1)n 阶群 G 同构于 Sn 的一个子群 (2)群 G 同构于变换群 T(G)的一个子群
5.生成元集 (1)G 中含集 M 的最小子群称为 M 在 G 中生成的子群，记为〈M〉。 (2)设 M⊂H，H<G,〈M〉=H，则称 M 是子群 H 的生成元集。 (3)设 M⊂G,〈M〉=G，则称 M 生成 G，且 M 是群 G 的生成元集。 6.正规子群和特征子群 (1)G 的内自同构记为 Ta：Ta(x)=axa-1，内自同构群记为 Inn(G)。则 Inn(G)为 Aut(G)正规 子群。 (2)正规子群 H：H 在 Inn(G)作用下保持不变，记为 H G。特征子群 H：H 在 Aut(G) 作用下保持不变。特征子群是正规子群，但正规子群不一定是特征子群。平凡子群是特征 子群。交换群的子群都是正规子群。 (3)特征子群具有传递性，即 G 的特征子群 H 的特征子群 K 是 G 的特征子群；正规子 群不具有传递性，即 G 的正规子群 H 的正规子群 K 不一定是 G 的正规子群。 (4)H 是正规子群⇔ a G, aH Ha;M G, MH HM 称 aH 为 H 的左陪集，Ha 为 H 的右陪集。
1.群 G，集合 M，运算 G×M 到 M，即
g G, m M , g m M
且满足
g1, g2 G, m M , g1 (g2 m) (g1g2 ) m 单位元e G,m M , e m m
称 M 为左 G-集。此运算也可以是 mg,gmg-1(共轭作用)等。 2.群 G 本身也是 G-集，因 g1, g2 G, g1g2 G 。对 H G ，定义 G/H 上的作用 g×aH，
反同态：(x y) ( y) (x) 2.同态将单位元映成单位元，逆元映成逆元，即
(e) e,(a1) (a)1 3.设 φ 是群 G 到 H 的同态，则 Im H ; Ker G 4.第一同态定理 (1)对群 G 的正规子群 H， : G G / H , g gH 是 G 到商群 G/H 的满同态，称 φ 为 自然同态。 (2)对满同态 : G G Im ，令 H Ker ，则有
(2)设 Hi<G，则 H Hi 是 G 的子群。
i
(3)设 H<G,K<G，则 I. H K H K {e}
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II. (H K) G H K或K H III. HK G HK KH 其中 HK {hk | h H , k H}
则称 φ 是群(G,·)到(H,×)的同构，称群(G,·)同构于(H,×)，记为 (G,) (H ,) 。此时逆映射 φ-1 是 H 到 G 的同构。
注：I.同构关系具有传递性、对称性。 II.同构映单位元到单位元，逆元到逆元。 4.自同构：群(G,·)到自身的同构记为 ϕ。(G,·)的自同构全体记为 Aut(G)。 5.反同构：设群(G,·)和(H,×)，φ 是 G 到 H 的一一对应，若对 x, y G 有