2020年湖北省鄂州市中考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−2020的相反数是()A. 2020B. −12020C. 12020D. −20202.下列运算正确的是()A. 2x+3x=5x2B. (−2x)3=−6x3C. 2x3⋅3x2=6x5D. (3x+2)(2−3x)=9x2−43.如图是由5个小正方体组合成的几何体，则其俯视图为()A. B.C. D.4.面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗．据统计共投入约21亿元资金．21亿用科学记数法可表示为()A. 0.21×108B. 2.1×108C. 2.1×109D. 0.21×10105.如图，a//b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若∠1=65°，则∠2的度数为()A. 25°B. 35°C. 55°D. 65°6.一组数据4，5，x，7，9的平均数为6，则这组数据的众数为()A. 4B. 5C. 7D. 97.目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为()A. 20%B. 30%C. 40%D. 50%8.如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°.连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD.其中正确的结论个数有()个．A. 4B. 3C. 2D. 19.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)和B，与y轴交于点C.下列结论：①abc<0，②2a+b<0，③4a−2b+c>0，④3a+c>0，其中正确的结论个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个(x>0)的10.如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y=1x图象上，点B1，B2，B3，…B n在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=⋯，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则B n(n为正整数)的坐标是()A. (2√n,0)B. (0,√2n+1)C. (0,√2n(n−1))D. (0,2√n)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.因式分解：2m2−12m+18=______．12.关于x的不等式组{2x>4x−5≤0的解集是______．13.用一个圆心角为120°，半径为4的扇形制作一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为______．(x<0)上一动点，连接OA，14.如图，点A是双曲线y=1x作OB⊥OA，且使OB=3OA，当点A在双曲线y=1上x上移动，则k的值为运动时，点B在双曲线y=kx______．15.如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒(2−√3)cm的速度向左运动______秒时，⊙O与正方形重π−√3)cm2．叠部分的面积为(2316.如图，已知直线y=−√3x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为______．三、解答题（本大题共8小题，共102.0分）17.先化简x2−4x+4x2−1÷x2−2xx+1+1x−1，再从−2.−1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．18.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM=BM，连接DE．(1)求证：△AMB≌△CND；(2)若BD=2AB，且AB=5，DN=4，求四边形DEMN的面积．19.某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间(包括线上听课及完成作业时间).如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：频数分布表学习时间分组频数频率A组(0≤x<1)9mB组(1≤x<2)180.3C组(2≤x<3)180.3D组(3≤x<4)n0.2E组(4≤x<5)30.05(2)若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？(3)已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．20.已知关于x的方程x2−4x+k+1=0有两实数根．(1)求k的取值范围；(2)设方程两实数根分别为x1、x2，且3x1+3x2=x1x2−4，求实数k的值．21.鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF 方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°.线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα=2，MC= 50√3米．(1)求无人机的飞行高度AM；(结果保留根号)(2)求河流的宽度CD.(结果精确到1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73)22.如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE//OB.DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG//OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．(1)求证：直线AB与⊙O相切；(2)求证：AE⋅ED=AC⋅EF；(3)若EF=3，tan∠ACE=1时，过A作AN//CE交⊙O于M、N两点(M在线段AN2上)，求AN的长．23.一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x(元/件)456y(件)1000095009000不求自变量的取值范围)；(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？(3)抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元(1≤m≤6)，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左边)，与y轴交24.如图，抛物线y=12x−2经过B、C两点．于点C.直线y=12(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M.PN⊥BC，垂足为N.设M(m,0)．①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外).请直接写出符合条件的m的值；②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.A解：−2020的相反数是2020，2.C解：A、2x+3x=5x，故原题计算错误；B、(−2x)3=−8x3，故原题计算错误；C、2x3⋅3x2=6x5，故原题计算正确；D、(3x+2)(2−3x)=4−9x2，故原题计算错误；3.A解：从上面看，第一层是三个小正方形，第二层右边是一个小正方形．4.C解：21亿=2100000000=2.1×109．5.A解：如图：∵∠1=65°，∠1+45°+∠3=180°，∴∠3=180°−45°−65°=70°，∵a//b，∴∠4+∠2=∠3=70°，∵∠4=45°，∴∠2=70°−∠4=70°−45°=25°．6.B解：∵数据4，5，x，7，9的平均数为6，∴x=6×5−4−5−7−9=5，∴这组数据的众数为5；7.C解：设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2(1+x)万户，2021年底全市5G用户数为2(1+x)2万户，依题意，得：2+2(1+x)+2(1+x)2=8.72，整理，得：x2+3x−1.36=0，解得：x1=0.4=40%，x2=−3.4(不合题意，舍去)．8.B解：∵∠AOB=∠COD=36°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，{OA=OB∠AOC=∠BOD OC=OD∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故②正确；∵∠OCA=∠ODB，由三角形的外角性质得：∠CMD+∠OCA=∠COD+∠ODB，得出∠CMD=∠COD=36°，∠AMB=∠CMD=36°，故①正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA=∠OHB=90°，在△OGA和△OHB中，∵{∠OGA=∠OHB=90°∠OAG=∠OBHOA=OB，∴△OGA≌△OHB(AAS)，∴OG=OH，∴OM平分∠AMD，故④正确；假设OM平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，在△AMO与△DMO中，{∠AOM=∠DOM OM=OM∠AMD=∠DMO，∴△AMO≌△OMD(ASA)，∴AO=OD，∵OC=OD，∴OA=OC，而OA<OC，故③错误；正确的个数有3个；故选：B．解：①∵由抛物线的开口向上知a >0， ∵对称轴位于y 轴的右侧， ∴b <0．∵抛物线与y 轴交于负半轴， ∴c <0， ∴abc >0； 故错误；②对称轴为x =−b2a <1，得2a >−b ，即2a +b >0， 故错误；③如图，当x =−2时，y >0，4a −2b +c >0， 故正确；④∵当x =−1时，y =0，∴0=a −b +c <a +2a +c =3a +c ，即3a +c >0． 故正确．综上所述，有2个结论正确． 10. D解：由题意，△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…，都是等腰直角三角形， ∵A 1(1,1)，∴OB 1=2，设A 2(m,2+m)， 则有m(2+m)=1， 解得m =√2−1， ∴OB 2=2√2，设A 3(a,2√2+n)，则有n =a(2√2+a)=1， 解得a =√3−√2， ∴OB 3=2√3，同法可得，OB 4=2√4， ∴OB n =2√n ， ∴B n (0,2√n).11. 2(m −3)2解：原式=2(m 2−6m +9)=2(m −3)2．12. 2<x ≤5解：{2x >4 ①x −5≤0 ②由①得：x >2， 由②得：x ≤5，所以不等式组的解集为：2<x ≤5，13.43解：设圆锥底面的半径为r，扇形的弧长为：120π×4180=83π，∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，∴根据题意得2πr=83π，解得：r=43．14.−9解：∵点A是反比例函数y=1x(x<0)上的一个动点，∴可设A(x,1x)，∴OC=x，AC=1x，∵OB⊥OA，∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BOD=∠OAC，且∠BDO=∠ACO，∴△AOC∽△OBD，∵OB=3OA，∴ACOD =OCBD=OAOB=13，∴OD=3AC=3x，BD=3OC=3x，∴B(3x,−3x)，∵点B反比例函数y=kx图象上，∴k=3x×(−3x)=−9，15.1或(11+6√3)解：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为(23π−√3)cm2此时，运动时间t=(2−√3)÷(2−√3)=1(秒)如图2中，当点C，D落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为(23π−√3)cm2此时，运动时间t=[4+2−(2−√3)]÷(2−√3)=(11+6√3)(秒)，综上所述，满足条件的t的值为1秒或(11+6√3)秒．16.2√3解：如图，在直线y=−√3x+4上，x=0时，y=4，当y=0时，x=4√33，∴OB=4，OA=4√33，∴tan∠OBA=OAOB =√33，∴∠OBA=30°，由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，∴PQ=√OP2−OQ2，由于OQ=1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，∴OP=12OB=2，此时PQ=√22−12=√3，BP=√42−22=2√3，∴OQ=12OP，即∠OPQ=30°，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，∴EP=12BP=√3，∴BE=√(2√3)2−(√3)2=3，∴OE=4−3=1，∵OE=12OP，∴∠OPE=30°，∴∠EPM=30°+30°=60°，即∠EMP=30°，∴PM=2EP=2√3．17.解：x2−4x+4x2−1÷x2−2xx+1+1x−1=(x−2)2(x+1)(x−1)⋅x+1x(x−2)+1x−1=x−2x(x−1)+1x−1=x−2+xx(x−1)=2(x−1)x(x−1)=2x，∵x=0，1，−1时，原分式无意义，∴x=−2，当x=−2时，原式=2−2=−1．18.解：(1)∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO=CO，又∵点M，N分别为OA、OC的中点，∴AM=CN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，∴∠BAM=∠DCN，∴△AMB≌△CND(SAS)；(2)∵△AMB≌△CND，∴BM=DN，∠ABM=∠CDN，又∵BM=EM，∴DN=EM，∵AB//CD，∴∠ABO=∠CDO，∴∠MBO=∠NDO，∴ME//DN∴四边形DEMN是平行四边形，∵BD=2AB，BD=2BO，∴AB=OB，又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO，∴∠EMN=90°，∴四边形DEMN是矩形，∵AB=5，DN=BM=4，∴AM=3=MO，∴MN=6，∴矩形DEMN的面积=6×4=24．19.0.1512解：(1)根据频数分布表可知：m=1−0.3−0.3−0.2−0.05=0.15，∵18÷0.3=60，∴n=60−9−18−18−3=12，补充完整的频数分布直方图如下：故答案为：0.15，12；(2)根据题意可知：1000×(0.15+0.3)=450(名)，答：估计全校需要提醒的学生有450名；(3)设2名男生用A，B表示，1名女生用C表示，根据题意，画出树状图如下：根据树状图可知：等可能的结果共有6种，符合条件的有4种，所以所选2名学生恰为一男生一女生的概率为：46=23．20.解：(1)△=16−4(k+1)=16−4k−4=12−4k≥0，∴k≤3．(2)由题意可知：x1+x2=4，x1x2=k+1，∵3x1+3x2=x1x2−4，∴3(x1+x2)x1x2=x1x2−4，∴3×4k+1=k+1−4，∴k=5或k=−3，由(1)可知：k=5舍去，∴k=−3．21.解：过点B作BN⊥MD，垂足为N，由题意可知，∠ACM=α，∠BDM=30°，AB=MN=50，(1)在Rt△ACM中，tanα= 2，MC=50√3，∴AM=2MC=100√3= BN，答：无人机的飞行高度AM为100√3米；(2)在Rt△BND中，∵tan∠BDN=BNDN ，即：tan30°=100√3DN，∴DN=300，∴DM=DN+MN=300+50=350，∴CD=DM−MC=350−50√3≈264，答：河流的宽度CD约为264米．22.(1)证明：∵CD是直径，∴∠DEC=90°，∴DE⊥EC，∵DE//OB，∴OB⊥EC，∴OB垂直平分线段EC，∴BE=EC，OE=OC，∵OB=OB，∴△OBE≌△OBC(SSS)，∴∠OEB=∠OCB，∵BC是⊙O的切线，∴OC⊥BC，∴∠OCB=90°，∴∠OEB=90°，∴OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线．(2)证明：连接EG．∵CD是直径，∴∠DGC=90°，∴CG⊥DG，∵CG//OE，∴OE⊥DG，∴DE⏜=EG⏜，∴DE=EG，∵AE⊥OE，DG⊥OE，∴AE//DG，∴∠EAC=∠GDC，∵∠GDC =∠GEF ，∴∠GEF =∠EAC ，∵∠EGF =∠ECA ，∴△AEC∽△EFG ， ∴AE EF =AC EG ， ∵EG =DE ， ∴AE ⋅DE =AC ⋅EF ．(3)解：过点O 作OH ⊥AN 于H ．∵DE⏜=EG ⏜， ∴∠EDG =∠ACE ，∴tan∠EDF =tan∠ACE =12=EF DE =DEEC ，∵EF =3，∴DE =6，EC =12，CD =√DE 2+EC 2=6√5，∵∠AED +∠OED =90°，∠OED +∠OEC =90°，∴∠AED =∠OEC ，∵OE =OC ，∴∠OEC =∠OCE ，∴∠AED =∠ACE ，∵∠EAD =∠EAC ，∴△EAD∽△CAE ，∴AE AC =DE EC ═AD AE 12，∴可以假设AE =x ，AC =2x ，∵AE 2=AD ⋅AC ，∴x 2=(2x −6√5)⋅2x ，解得x =4√5(x =0舍去)，∴AE =4√5，AC =8√5，AD =2√5，OA =5√5，∵EC//AN ，∴∠OAH =∠ACE ，∴tan∠OAH =tan∠ACE =OH AH =12， ∴OH =5，AH =10，∵OH ⊥MN ，∴HM =HN ，连接OM ，则MH =HN =√OM 2−OH 2=√(3√5)2−52=2√5， ∴AN =AH +HN =10+2√5．23. 解：(1)设y 与x 的函数关系式为：y =kx +b(k ≠0)，把x =4，y =10000和x =5，y =9500代入得，{4k +b =100005k +b =9500， 解得，{k =−500b =12000， ∴y =−500x +12000；(2)根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，{x≥3x≤15−500x+12000≥6000，解得，3≤x≤12，设利润为w元，根据题意得，w=(x−3)y=(x−3)(−500x+12000)=−500x2+13500x−36000=−500(x−13.5)2+55125，∵−500<0，∴当x<13.5时，w随x的增大而增大，∵3≤x≤12，∴当x=12时，w取最大值为：−500×(12−13.5)2+55125=54000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价分别为12元；(3)根据题意得，w=(x−3−m)(−500x+12000)=−500x2+(13500+500m)x−36000−12000m，∴对称轴为x=−13500+500m−1000=13.5+0.5m，∵−500<0，∴当x≤13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，∵捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．∴15≤13.5+0.5m，解得，m≥3，∵1≤m≤6，∴3≤m≤6．24.解：(1)针对于直线y=12x−2，令x=0，则y=−2，∴C(0,−2)，令y=0，则0=12x−2，∴x=4，∴B(4,0)，将点B，C坐标代入抛物线y=12x2+bx+c中，得{c=−28+4b+c=0，∴{b=−3 2c=−2，∴抛物线的解析式为y=12x2−32x−2；(2)①∵PM⊥x轴，M(m,0)，∴P(m,12m2−32m−2)，D(m,12m−2)，∵P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，∴Ⅰ、当点D是PM的中点时，12(0+12m2−32m−2)=12，∴m=−12或m=4(此时点D，M，P三点重合，舍去)，Ⅱ、当点P是DM的中点时，12(0+12m−2)=12m2−32m−2，∴m=1或m=4(此时点D，M，P三点重合，舍去)，Ⅲ、当点M是DP的中点时，12(12m2−32m−2+12m−2)=0，∴m=2或m=4(此时点D，M，P三点重合，舍去)，即满足条件的m的值为−12或1或2；②由(1)知，抛物线的解析式为y=12x2−32x−2，令y=0，则0=12x2−32x−2，∴x=−1或x=4，∴点A(−1,0)，∴OA=1，∵B(4,0)，C(0,−2)，∴OB=4，OC=2，∴OAOC =OCOB，∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB，∴∠OAC=∠OCB，∠ACO=∠OBC，∵△PNC与△AOC相似，∴Ⅰ、当△PNC∽△AOC，∴∠PCN=∠ACO，∴∠PCN=∠OBC，∴CP//OB，∴点P的纵坐标为−2，∴12m2−32m−2=−2，∴m=0(舍)或m=3，∴P(3,−2)；Ⅱ、当△PNC∽△AOC时，∴∠PCN=∠CAO，∴∠OCB=∠PCD，∵PD//OC，∴∠OCB=∠CDP，∴∠PCD=∠PDC，∴PC=PD，由①知，P(m,12m2−32m−2)，D(m,12m−2)，∵C(0,−2)，∴PD=2m−12m2，PC=√m2+(12m2−32m−2+2)2=√m2+(12m2−32m)2，∴2m2−12m=√m2+(12m2−32m)2，∴m=32，∴P(32,−258)，即满足条件的点P的坐标为(3,−2)或(32,−258).。