0
，计算乘数
mi1
a (1) i1
a (1) 11
，(i
2m)
(m-1)次除法运算
对增广矩阵 A~ 进行行初等变换： ri mi1r1 ri (i 2,3, m)，
具体计算公式为：
a (2) ij
a (1) ij
mi1a1(1j)
i 2,3,,m，j 2,3,,n
（m-1)(n-1) 次乘法运算
其中
a (1) 11
A(k)
a (1) 12
a (1) 1n
a (2) 22
a
(2) 2n
，
a(k) kk
a(k) kn
a(k) mk
a(k) mn
b1(1)
b2(2)
b(k)
。
bk( k
)
bm(k )
第 k步具体计算：
设a
(k kk
)
0， 计算乘数
a (1) 1n
x1
b (1) 1
a (1) 2n
a (1) mn
x2
xm
b (1) 2
b (1) m
a (1) 11
a
(1) 21
a
(1) m1
a (1) 12
a (1) 22
a (1) m2
a (1) 1n
a (1) 2n
a (1) mn
x1 x2
（m-k)次乘法运算
A(k与1) A前(k)k行元素相同， A(k左1)上角 阶阵
a (1) 11
a1(kk )
A(k) 11
为上三角阵。
a
(k kk
)
（3）继续上述约化过程，且设a
(k kk
)
ห้องสมุดไป่ตู้
0(k
1,2,, s)，
直到完成第S步计算，得到与原方程组等价的方程组 A(s1) x b (s1)
第二章 线性方程组与矩阵特征值 求解的数值方法
引言 高斯消元法 矩阵分解法
向量范数与矩阵范数 迭代法求解 方程组的病态问题与误差分析
方阵特征值计算
§1 引言
在自然科学和工程技术中，有很多问题的解决都需要 用到线性方程组的求解。因此，求解线性方程组的问题 是一个在科学技术中常见的普遍问题。
对于一般情形： m个方程，n个未知数的线性方程组 的高斯消元法
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a22 x2 a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
(2.2)
a11
其
系
数
矩
阶A
a21
am1
a12 a22
am2
(2.1)
A~
1 2
4 5
7 8
1
1
( (
E2 E3
) )
2( 3(
E1 E1
) )
E E
2 3
1 0
4 3
7 6
1(E3 ) 2(E2 ) E3 1
1
0
4 3
7 6
11，
3
6
11
1
0
6
10
2
0
0
2
0
（2）回代求解，得：x1
1， 3
x
2
1， 3
x
3
0。
结论：
整个计算过程可分为两部分：（1）消元：把原 方程组转化为系数矩阵为上三角矩阵的方程组； （2）回代：由系数矩阵为上三角矩阵的方程组求解
a1n
x1
a2n
amn
，
x
x2
xm
,
b
b1
b2
。
bm
若记 A A(1) (ai(j1) ), b b (1)，则(2.2)可写为A(1) x b (1)，即
a (1) 11
a
(1) 21
a
(1) m1
a (1) 12
a (1) 22
a (1) m2
对于 A(k1) x b(k1) ，则有：
其中 A(k1) , b元(k素1) 计算公式为：
（m-k)(n-k)次乘法运算
a (k1) ij
ai
(k) j
mik ak(kj )
i k 1,,m，j k 1,,n
b(k 1) i
bi(k )
mik bk(k )
(i k 1,,m)
bi(2) bi(1) mi1b1(1) (i 2,3,, m)
（m-1)次乘法运算
A(1)
x
b (1)
a (1) 11
a (1) 12
a (2) 22
a (2)
m2
a (1) 1n
x1
b (1) 1
a (2) 2n
a (2) mn
x2
xm
b(2) 2
b(2) m
其中A(s1) 为上梯形，具有以下三种情况（讨论）：
（i）
当m
>
n时，s
=
n，且设
a
(k kk
)
0，(k
1,2,, n)，则
a1(11)
a112 a (2)
22
a (1) 1n
a (2) 2n
A( S 1)
U
0
，
记为 A(2) x b (2)
（2）第k步（k 1,2,, s，s min(m 1, n)）
设已完成上述消元过程第1步，第2步，…，第k-1步，且
a (1) 11
0,,
a ( k 1) k 1,k 1
0
得到与原方程组 A(1) x b(1) 等价的方程组。
于是，即有： A(k) x b(k)
xm
b (1) 1
b (1) 2
b (1) m
A
a(1) 11
a(1) 21
a(1) m1
高斯消元法：
a(1) 12
a(1) 1n
a(1) 22
a(1) 2n
a(1) m2
a(1) mn
A~ 增广矩阵
b(1) 1
b(1) 2
b(1) m
（1）第1步(k=1)，设
a(1) 11
§2 高斯消元法
一、高斯消元法
高斯消元法是求解方程组的古典方法。
基本思想方法：由行初等变换将系数矩阵约化为三角矩阵；
用回代的方法求解方程组。
例2.1 用消去法解方程组
x1 4 x2 7 x3 1 (E1 ) 2x1 5x2 8 x3 1 (E2 ) 3x1 6x2 11x3 1 (E3 ) 解：（1）消元：
m ik
a(k) ik
a(k) kk
，(i
（m-k）次除法运算 k 1,, m)，
对
( A(k ) ,b
(k)
)进行行初等变换,使
A( k )第k列
a(k kk
) 以下元素约为零,
即 ri mikrk ri (i k 1, , m) ，得到与原方程组等价的方程组 A(k 1) x b(k 1)
一般地，这些线性方程组的系数矩阵大致可分为两类： 1）低阶稠密矩阵 2）大型稀疏矩阵
解线性方程组的数值解法：有直接法和迭代法两类。
直接法：计算过程没有舍入误差，经过有限次四则运算 可求得方程组的精确解。（实际计算有舍入误差） 高斯消元法，矩阵分解法
迭代法：核心是迭代求解的收敛条件和收敛速度。 雅可比（Jacobi）迭代，高斯-赛德尔（Gauss-Seidel） 迭代