A = (1 − b) I + bαβ T
α = β = (1,1,",1) T λ1 = λ2 = " = λn−1 = 1 − b ， λn = (1 − b) + bn = 1 + (n − 1)b .
由推论 1， 易得 A 的特征值为
再求 A 的特征向量及满足条件的可逆矩阵 P(见[2]).
i
其中
∑a
i =1
n
≠ 0 ，试讨论 a1 , a 2 ,", a n 和 b 满足何种关系时，
（1）方程组仅有零解； （2）方程组有非零解？在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.
2
1 1 分析：注意到方程组的系数矩阵为 A = bI + ( a1 , a 2 , " , a n ) # 1
4
令 则
α = (1,1,",1) T ， β = (a1 , a 2 ," , a n ) T ≠ 0
A = bI + αβ T
A = b n −1 (b + ∑ ai面根据 A ≠ 0 或 A = 0 讨论方程组解的情况（见[2]）.
例4 2
[ ]
ax1 + bx 2 + bx3 bx + ax 2 + bx3 设齐次线性方程组 1 " " bx bx + 2 + bx3 1
A = αβ T ，
A 2 = β T αA = ( β T α ) T A = (α T β ) A = 0
由定理 1 知 A = αβ T 的特征值为：
λ1 = λ2 =…= λn−1 =0， λn = β T α = ( β T α ) T = α T β = 0
易得 A 对应于特征值 0 的特征向量为
令 从而
α = β = (1,1,",1) T . 则 A = (a − b) I + bαβ T
A = (a − b) n −1 [a + (n − 1)b] .
下面根据 A ≠ 0 或 A = 0 讨论方程组解的情况（见[2]）.
例5
[1]
1 + a1 n 设 ∏ ai ≠ 0 ， a i 为实数，求证 D = a 2 a1 " i =1 a n a1
证 得 由 A 2 = (αβ T )(αβ T ) = α ( β T α ) β T = ( β T α ) A
A 2 − β T αA = 0
设 λ 为 A 的特征值， x 为 A 的对应于 λ 的特征向量 有 从而 得 又 故
[ ]
Ax = λx ， A 2 x = λ2 x
( A 2 − β T αA) x = (λ2 − β T αλ ) x = 0
证 由命题 3 及推论 1 即得.
n −1
( k1 + k 2 β T α )
例3
[2 ]
(a1 + b) x1 + a 2 x 2 + " + a n x n = 0 a x + ( a 2 + b ) x 2 + " + a n x n = 0 已知齐次线性方程组 1 1 " " " " + a x a 2 x 2 + " + ( a n + b) x n = 0 1 1
2
a1 a 2 2 1 + a2 " an a2
" a1 a n " a2 an > 1 " " 2 " 1 + an
证
a1 a T 注意到 D = I + 2 (a1 , a 2 , " , a n ) = I + αβ # a n
其中
α = β = (a1 , a 2 ," , a n ) T
+ " + bx n = 0 + " + bx n = 0 " " + " + ax n = 0
方程组仅有零解； 无穷多组解？在有无穷多组解时， 其中 a ≠ 0, b ≠ 0, n ≥ 2 . 试讨论 a, b 为何值时， 求出全部解，并用基础解系表示全部解. 分析：注意到方程组的系数矩阵
b A = (a − b) I + b (1,1,",1) . # b
c1v1 + c 2 v 2 + " + c n −1v n −1 （ c1 , c 2 ,", c n −1 不全为零）
其中
v1 = (−
b b b2 ,1,0,",0) T ， v 2 = (− 3 ,0,1,",0) T ，……， v n −1 = (− n ,0,0,",1) T . b1 b1 b1
D = ∑ ai + 1 > 1 .
2 i =1 n
故
3
λ − a1b1
例6
[2 ]
计算
D=
− a 2 b1 " − a n b1
− a1b2 λ − a 2 b2 " − a n b2
" − a1bn " − a 2 bn " " " λ − a n bn
解
注意到
− a1 − a D = λI + 2 (b1 , b2 , " , bn ) # − a n
2
B = k 1 + k 2αβ T 的特征值
定理 2 1
[]
设 λ1 ， λ 2 ，…， λ n 为 n 阶复矩阵 A 的全部特征值， f ( x ) 为复数域上次数大于
零的多项式，则 f (λ1 ) ， f (λ 2 ) ，…， f (λ n ) 为 f ( A) 的全部特征值.
1
推论 1
设 α , β 为 n 维列向量， k1 , k 2 为任意数，则 B = k1 I + k 2αβ T 的特征值为
λ1 = λ2 =…= λn−1 = k1 ， λ n = k1 + k 2 β T α .
证 由定理 1 及定理 2 即得.
例2
[2 ]
1 b " b b 1 " b 设 n 阶矩阵 A = " " " " b b " 1
(1) 求 A 的特征值和特征向量； (2) 求可逆矩阵 p ，使 p −1 Ap 为对角矩阵. 分析：注意到 其中
3
行列式 D = k 1 I + k 2αβ T 的值
定理 3 [3 ] A 为 n 阶矩阵, λ1 , λ 2 , " , λ n 为 A 的 n 个特征值,
则 推论 2
A = λ1λ 2 " λ n .
设 α , β 为 n 维列向量, k1 , k 2 为任意数，则
k1 I + k 2αβ T = k1
λ2 − β T αλ = 0 即 λ = 0 或 λ = β T α λ1 + λ2 + " + λn = a1b1 + a 2 b2 + " + a n bn λ1 = λ2 =…= λn−1 =0， λn = a1b1 + a2b2 + " + anbn = β T α .
例 1 2 设向量 α = ( a1 , a2 , " , an ) ≠ 0， β = (b1 , b2 , " , bn ) ≠ 0 ，且 α T β = 0 ，令 （1）求 A 2 ； 解 （1） （2） （2）求 A 的特征值及特征向量.
专题讲座七
1 矩阵 A= αβ T 的特征值
一类特殊矩阵的特征值
定理 1 设 α = ( a1 , a 2 , " , a n ) ， β = (b1 , b2 , " , bn ) 为 n 维向量，则 A= αβ 的特征值为
T T
T
λ1 = λ2 =…= λn−1 =0， λn = β T α .
令
α = (− a1 ,− a 2 ,",−a n ) T ， β = (b1 , b2 ,", bn ) T
D = λI + αβ T = λn−1 (λ + β T α ) = λn − λn −1 ∑ a i bi .
i =1 n
则
参考文献 [1]王品超.高等代数新方法[M].山东：山东教育出版社，1989，77，81 [2]童武.全国硕士研究生入学考试历年试题精解（数学三）[M].北京：北京大学出版社，2004，7， 10，12，24 [3]张禾瑞，郝炳新.高等代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1999，294，298