各种插值法对比研究目录1.引言 (1)2.插值法的历史背景 (1)3.五种插值法的基本思想 (2)3.1拉格朗日插值 (2)3.2牛顿插值 (3)3.3埃尔米特插值 (4)3.4分段线性插值 (5)3.5三次样条插值 (6)4.五种插值法的对比研究 (6)4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较 (6)4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较 (7)4.3多项式插值法与分段线性插值的比较 (7)4.4 分段线性插值与样条插值的比较 (7)5.插值法在实际生活中的应用 (7)6.结束语 (8)致谢 (8)参考文献 (8)各种插值法对比研究摘要：插值法是一种古老数学办法,也是数值计算中一种算法.插值法不但是微分方程、数值积分、数值微分等计算办法基本,并且在医学、通讯、精密机械加工等领域都涉及到了它.本文一方面简介了插值背景以及惯用五种插值法基本思想,然后通过拉格朗日插值与牛顿插值、多项式插值与埃尔米特插值、多项式插值与分段线性插值、分段线性插值和样条函数插值给出相应算法与MATLAB 程序,依照已学知识对五种插值办法与被插函数逼近限度进行对比研究,找出不同办法间联系与区别,分析出它们优缺陷,最后在此基本上进一步研究插值法实际应用,以提高插值法实用性,从而能让咱们在后来应用中看到一种问题,就懂得哪种办法更适合于它,然后大大地迅速提高效率.核心词：多项式插值;样条函数插值;MATLAB 程序;应用1.引言在诸多解题以及应用生活中,经常需要用数量关系来反映问题,但是有时没有办法通过数学语言精确地表达出来.已知有些变量之间存在一种函数关系,但没法用函数表达式表达出来.例如,)(x f 在某个区间上[]b a ,是存在某种数量关系,但是依照观测和测量或者实验只能得到有限个函数值,咱们可以运用这几点来拟定函数表达式.或者有某些函数表达式是已经懂得,但是它们计算是十分繁琐复杂,不容易发现它本质,并且它用法也比较局限.函数是表达数与数之间联系,为了能较好地用数学语言表达出函数关系,普通通过给定数据构造一种函数)(x P ,这样既能反映函数)(x f 特点,又以便计算,用)(x P 近似)(x f .普通选一种简朴函数)(x P ,并且=)(i x P )(i x f ()n i ,...,2,1,0=成立,这个时候)(x P ,从要表达函数规律来看,就是咱们需要插值函数[1].所用办法就是插值法,由于所选用)(x P 多样化,得到不同插值法.2.插值法历史背景插值法历史源远流长,在很早时候就涉及到了它.它是数值计算中一种古老分支,它来源于生产实践.由于牛顿力学物理理论知识在一千年前没有浮现,因此咱们祖先没有办法用很精确数学解析式来表达日月五星运营规律.日后,古代人们有着聪明头脑,想出了插值办法,然后发现了日月五星运营规律.例如唐朝数学家张遂提出了插值法概念以及不等距节点插值,并将其应用在天文历法观测中.当代工业革命后来欧洲知名数学家拉格朗日给出了拉格朗日插值法概念以及应用.微积分产生后,插值法基本理论和成果进一步得到改进.3.五种插值法基本思想如果一种函数)(x f y =在区间[]b a ,上有定义,且已知在点b x x x a n ≤<<<≤...10上值0y ,1y ,2y , ,n y ,若存在一简朴函数)(x P ,使得成立,)(x P 为插值函数,点0x ,1x ,2x , ,n x 称为插值节点,插值节点区间[]b a ,称为插值区间,求插值函数)(x P 办法称为插值法.若)(x P 多项式次数不超过n ,即有)(x P n n x a x a x a a ++++= (2210)3.1拉格朗日插值拉格朗日插值是n 次多项式插值,它是用构造插值基函数办法来解决n 次多项式插值问题.拉格朗日插值多项式可以表达为=)(x L n ∑=n k k k x ly 0)(,)(x l k 为插值基函数,表达式为=)(x l k ))...()()...(())...()()...((110110n k k k k k k n k k x x x x x x x x x x x x x x x x --------+-+-,n k ,,1,0 =截断误差为)()()(x L x f x R n n -=,也是插值余项.关于插值余项,预计有如下定理[2]: 设)(x f n 在[]b a ,上持续,)(1x f n +在()b a ,内存在,节点b x x x x a n ≤<<<<≤ 210,)(x L n 是满足条件(1.4)插值多项式,则对任何[]b a x ,∈,插值余项)()!1()()()()(1)1(x n f x L x f x R n n n n +++=-=ωξ 余项表达式应用有它局限性,普通只适合于)(x f 高阶导数存在状况下.若设1)1()(max ++≤≤=n n b x a M x f ,则误差为)()!1()(11x w n M x R n n n +++≤. 3.2牛顿插值牛顿插值基本思想是对n 次插值多项式)(x P n 进行逐次生成,然后用插值条件求出)(x P n 系数[3].因而,提出了均差（即差商）概念.设 称有函数)(x f ,1x ,2x ,3x , ,n x 是一系列不相等点,则[]=k x x f ,000)()(x x x f x f k k --为函数)(x f 关于点0x ,2x 一阶均差; []=k x x x f ,,10[]1100],[,x x x x f x x f k k -- 称为)(x f 二阶均差; []=k x x x f ,...,,10[][]1110210,...,,,,...,,-----k k k k k x x x x x f x x x x f 为)(x f )k 阶均差. 咱们先求出1次多项式,2次多项式,然后类推出n 次多项式,构造出n 次代数插值多项式此外一种表达形式—牛顿插值多项式=)(x P n +)(0x f []10,x x f +-)(0x x []210,,x x x f )(0x x -+-)(1x x … []n x x x x f ,...,,,210+)(0x x -))...((11---n x x x x , =)(x R n []n x x x x x f ,...,,,,210)(0x x -))...((1n x x x x --,=)(x f +)(x P n )(x R n . )(x P n 为牛顿插值多项式,)(x R n 为余项.3.3埃尔米特插值有时候解决函数)(x f 问题,不但要在某些点上懂得函数值,并且已知在某些点上导数值.那么这时插值函数)(x P ,它在某些点处导数值和函数值与原表达式值相等.那么咱们从几何这个方面来思考这个问题,求出插值多项式曲线,不但通过已知点组,并且在这些点处与原曲线＂相切＂[4].(一)、泰勒插值定义 [][])(,lim ,0'0000x f x x f x x f x x ==→为一阶重节点均差; [][])(21,,lim ,,0''2100000201x f x x x f x x x f x x x x ==→→为二阶重节点均差; 则n 阶重节点均差为[][])(!1,,,lim ,,,0100000x f n x x x f x x x f n n x x i ==→ . 当0x x i →时,牛顿插值公式极限为=)(x P n +)(0x f )(0'x f +-)(0x x ...！n x f n )(0)(nx x )(0-. 称为泰勒插值多项式.它满足条件=)(0)(x P k n )(0)(x f k ,),...,2,1,0(n k =（二）、两点三次埃尔米特插值若)(x f 在k x ,1+k x 函数值为k y ,1+k y ,k k m x f =)(',11')(++=k k m x f ,咱们可以构造出一种次数不超过3多项式,)(3x H 为插值函数.设=)(3x H +k k y x a )(+++11)(k k y x a +k k m x )(β11)(++k k m x β,k a ,1+k a ,k β,1+k β为插值基函数.可得成果 =)(3x H 2111))(21(+++----+k k k k k k x x x x x x x x k y 2111))(21(kk k k k k x x x x x x x x ----+++++++1k y )(k x x -+--++k k k k m x x x x 211)(121)(++--k k k k m x x x x, =)(3x R 2124)())((41+--k k x x x x f ξ！,),(1+∈k k x x ξ. 3.4分段线性插值分段线性插值:普通描述,如给定[]上b a ,1+n 个节点b x x x x a n =<<<<= 210和相应函数值)(i f f i =),...,2,1,0(n i =,记k k k x x h -=+1,k kh h max =. 构造)(x I h 满足:(1)[]b a C x I h ,)(∈;(2)k k h f x I =)(),,2,1,0(n k =;(3))(x I h 在每个社区间[]1,+k k x x 上是线性函数.由以上条件直接可得)(x I h 在社区间[]1,+k k x x 上表达式为=)(x I h +--++k k k k f x x x x 1111++--k kk k f x x x x ， )1,,2,1,0(-=n k 误差预计-)(x f =)(x I h ))((!2)(1)(''+--k k k x x x x x f ξ))((max 2121+≤≤--≤+k k x x x x x x x M k k . 当∞→h 时,0)()()(→-=x I x f x R h ,)(x I h 在[]b a ,上一致收敛到)(x f .3.5三次样条插值三次样条插值（Spline 插值）详细规定是：函数[]b a C x S ,)(2∈,并在每个社区间[]1,+j j x x 上是一种三次多项式,其中b x x x x a n =<<<<=...210是给定节点,如果对给定节点函数值有j y )(j x f =),...,2,1,0(n j =,并且=)(j x S j y ,),...,2,1,0(n j =成立,这时咱们就把)(x S 称为三次样条插值函数.4.五种插值法对比研究通过讨论插值法有关内容,可以让咱们更好理解插值法.当前咱们先从插值多项式形式上、用途上、计算办法上、精准度上等进行对比研究,比较各自优缺陷,然后再通过实例验证之.4.1拉格朗日插值与牛顿插值比较（一）拉格朗日插值多项式环节衔接紧密,条理清晰,在理论中十分重要.但是计算比较复杂,由于每添加一种点,因此公式都要重新计算,这样计算环节较多会导致计算量变大,反而会导致浮现误差与本来目背道而驰.（二）牛顿插值多项式计算量小,环节简洁.当添加一种节点时,它依然可以使用,即具备“承袭性”也叫“继承”,因此此类办法应用灵活.但是咱们依照正常想象和观测插值余项,咱们普通局部地总是以为当原函数给出点是越来越多时,咱们借助辅助函多次数越高,它就和原函数越来越近,误差越来越小.然而事实并非如此,当遇到插值节点等距分布状况时,只规定函数点值相等不可以充分反映插值函数性质[5].4.2多项式插值法与埃尔米特插值比较多项式插值规定在插值节点上函数值相等,计算简朴,条件不怎么苛刻.但是如果有时候一方面要在节点处函数值相等,另一方面要导数值相等,这时多项式插值否则不满足此类状况.埃尔米特插值不但算法简朴并且它具备强烈收敛性.但是它光滑度不高,并且它使用条件,也有局限性.在某些特定限制条件下,有时函数导数值在这点是完全没有必要懂得.因而,懂得节点处导数插值函数成为能否运用Hermite插值一种重要因素[6].4.3多项式插值法与分段线性插值比较多项式插计算简朴,比较以便,但是节点增长同步就会浮现龙格现象,图形波动较大[7].分段线性插值可以克服龙格现象,有收敛性,但是在区间内有转折点,光滑性不好.4.4 分段线性插值与样条插值比较样条插值插值函数算法稳定,并且插值函数光滑,收敛性强,误差小.但是它不能局部拟定,经常需要解线性方程组.5.插值法在实际生活中应用插值法是数值逼近中一种非常重要某些,另一方面它在实际生活中起着不容小觑作用,例如天文学以及数学.6.结束语插值法在解决实际问题中有很大应用.插值办法是各种各样,它包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、Hermite插值法、分段线性插值法以及三次样条插值法等.咱们无论使用哪个插值法,它原理都是同样.本课题一方面简介了插值背景以及各类办法基本思想;然后通过解题、画图、一道题用几种不同办法来解答,让咱们哪种办法适合解答哪种类型题,再然后进行对比,探讨出它们优缺陷,最后文章举个例子来阐明插值法有很大作用,它和咱们是相连,同步运用MATLAB给出了模仿图,通过这种数与形结合,更好地理解各类插值法应用于特性.道谢本论文在苏晓琴教师悉心指引下完毕，同样也是我第一次写这样文章。